6.1 Materialmodelle (AASHTO)

Beton – Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den AASHTO-LRFD-Bemessungsannahmen für Gleichgewicht und Dehnungskompatibilität im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 wird die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Bruchkriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 von maximal 5 % angenommen, während AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, das Verformungsvermögen von Strukturen zu überprüfen, die durch Druckversagen versagen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Fig. 57)) die mit steigender Betonfestigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons mittels des Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₁ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist, definiert in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.2. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannungs-Dehnungs-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die anhand eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Widerstandsbeiwert für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

k_c2 ist der Abminderungsfaktor infolge des Vorhandenseins von Querrissen.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen basiert wie der Betonwirksamkeitsfaktor ν, angegeben in AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a und Tabelle 5.8.2.5.3a-1, mit dem Unterschied, dass im CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element geprüft wird (nicht nur für Knoten des Modells Strebe und Zugband).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Betons unter Druck wird nicht berücksichtigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen erhöhen die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (im Einklang mit dem AASHTO-LRFD-Ansatz für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Das Langzeit-Stoffgesetz (die rote Kurve in Fig. 59) wird für die Berechnung der Rissbreite, der Gesamtdurchbiegung und der Spannungsbegrenzung von vorgespannten Bauteilen verwendet, wenn der Langzeiteffekt im oberen Ribbon ausgewählt wird. In der Anwendung IDEA StatiCa Detail wird für die Überprüfung der Langzeiteffekte der effektive Elastizitätsmodul verwendet, wie in AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1 erwähnt.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

wobei:
E_c der in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.4 definierte Elastizitätsmodul ist
ψ der in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.3.2 definierte Kriechbeiwert ist

Die Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert.

Kurzzeiteffekte

Für Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Fig. 59 dargestellt.

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit definierter Fließgrenze angenommen, siehe AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.3. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, in diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen (die Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

wobei:

Φ_s der Widerstandsbeiwert für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, werden 10 % gewählt. Dies gilt basierend auf ASTM A955/A955M-20c Artikel 7 als sicher.

Die Zugverfestigung (Fig. 61)  wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannungs-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die durchschnittliche Steifigkeit der in den Beton eingebetteten Stäbe erfasst wird (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$