Die Bemessung und Bewertung von Betonbauteilen erfolgt üblicherweise auf Querschnittsebene (1D-Elemente) oder auf Punktebene (2D-Elemente). Dieses Verfahren ist in allen Normen für die tragwerksbezogene Bemessung beschrieben, z. B. in (EN 1992-1-1 oder ACI 318-19), und wird in der täglichen Ingenieurpraxis angewendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder wird nicht immer beachtet, dass das Verfahren nur in Bereichen zulässig ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (sogenannte B-Bereiche). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitätsbereiche oder gestörte Bereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D-Bereiche von 1D-Elementen zeigt (Abb. 1). Dazu gehören z. B. Auflagerbereiche, Bereiche mit Einleitung von Einzellasten, Stellen mit abrupter Querschnittsänderung, Öffnungen usw. Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf viele weitere D-Bereiche, wie Wände, Brückenquerträger, Konsolen usw. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

In der Vergangenheit wurden für die Dimensionierung von Diskontinuitätsbereichen semiempirische Bemessungsregeln verwendet. Glücklicherweise wurden diese Regeln in den letzten Jahrzehnten weitgehend durch Strebe-und-Zugband-Modelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) abgelöst, die in den aktuellen Bemessungsnormen enthalten sind und heute häufig von Planern verwendet werden. Diese Modelle sind mechanisch konsistente und leistungsfähige Werkzeuge. Zu beachten ist, dass Spannungsfelder grundsätzlich kontinuierlich oder diskontinuierlich sein können und dass Strebe-und-Zugband-Modelle einen Sonderfall diskontinuierlicher Spannungsfelder darstellen.

Trotz der Weiterentwicklung der Berechnungswerkzeuge in den letzten Jahrzehnten werden Strebe-und-Zugband-Modelle im Wesentlichen nach wie vor als Handrechnungen angewendet. Ihre Anwendung auf reale Strukturen ist mühsam und zeitaufwendig, da Iterationen erforderlich sind und mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Außerdem ist diese Methode nicht geeignet, um Kriterien der Gebrauchstauglichkeit (Verformungen, Rissbreiten usw.) nachzuweisen.

Das Interesse von Tragwerksplanern an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug für die Bemessung von D-Bereichen führte zu der Entscheidung, das neue Kompatible Spannungsfeldverfahren zu entwickeln. Es handelt sich dabei um ein Verfahren zur computergestützten Bemessung mit Spannungsfeldern, das die automatische Bemessung und Bewertung von Betonbauteilen unter Scheibenbeanspruchung ermöglicht.

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) ist ein kontinuierliches, FE-basiertes Verfahren zur Spannungsfeldanalyse, bei dem klassische Spannungsfeldlösungen durch kinematische Betrachtungen ergänzt werden, d. h., der Dehnungszustand wird in der gesamten Struktur ermittelt. Dadurch kann die wirksame Druckfestigkeit des Betons automatisch auf Grundlage des Querdehnungszustands berechnet werden, ähnlich wie bei Druckfeldanalysen, die die Druckerweichung berücksichtigen  (Vecchio und Collins 1986; Kaufmann und Marti 1998), sowie beim EPSF-Verfahren (Fernández Ruiz und Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM die Zugverfestigung, wodurch den Elementen realistische Steifigkeiten zugewiesen werden, und deckt alle Normvorgaben ab (einschließlich der Aspekte der Gebrauchstauglichkeit und der Verformungsfähigkeit), die in früheren Ansätzen nicht konsistent behandelt wurden. Das CSFM verwendet die üblichen einachsigen Werkstoffgesetze, die in den Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung angegeben sind. Diese sind in der Bemessungsphase bekannt, sodass das Teilsicherheitsbeiwertverfahren angewendet werden kann. Somit müssen Planer keine zusätzlichen, oft willkürlichen Materialeigenschaften angeben, wie sie typischerweise für nichtlineare FE-Analysen erforderlich sind. Dadurch eignet sich das Verfahren hervorragend für die Ingenieurpraxis.

Um die Anwendung computergestützter Spannungsfelder durch Tragwerksplaner zu fördern, sollten diese Verfahren in benutzerfreundlichen Softwareumgebungen umgesetzt werden. Zu diesem Zweck wurde das CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert; einer neuen, benutzerfreundlichen kommerziellen Software, die gemeinsam von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des Projekts DR-Design Eurostars-10571 entwickelt wurde.

CSFM berücksichtigt die maximale Hauptdruckspannung im Beton (σ_c2r) und die Bewehrungsspannungen (σ_sr) an den Rissen und vernachlässigt dabei die Betonzugfestigkeit (σ_c1r = 0), mit Ausnahme ihres Versteifungseffekts auf die Bewehrung. Durch die Berücksichtigung der Zugverfestigung können die mittleren Bewehrungsdehnungen (ε_m) simuliert werden. Es werden fiktive, rotierende, spannungsfreie Risse angenommen, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a). Das Gleichgewicht an den Rissen wird zusammen mit den mittleren Dehnungen der Bewehrung berücksichtigt. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Trotz ihrer Einfachheit liefern ähnliche Annahmen nachweislich genaue Vorhersagen für bewehrte Bauteile unter Scheibenbeanspruchung (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), sofern die vorhandene Bewehrung sprödes Versagen bei Rissbildung vermeidet. Außerdem steht die Nichtberücksichtigung jeglichen Beitrags der Betonzugfestigkeit zur Traglast im Einklang mit den Prinzipien moderner Bemessungsnormen, die überwiegend auf der Plastizitätstheorie beruhen.

Allerdings ist die CSFM für schlanke Bauteile ohne Querbewehrung nicht geeignet. Maßgebende Mechanismen für solche Bauteile werden vernachlässigt, nämlich Rissverzahnung, Restzugspannungen an der Rissspitze und Dübelwirkung. Sie alle beruhen direkt oder indirekt auf der Zugfestigkeit des Betons. Einige Normen erlauben die Bemessung solcher Bauteile auf Grundlage halbempirischer Regeln. Die CSFM ist jedoch nicht für diese Art potenziell spröder Struktur vorgesehen.

Beton

Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Spannung-Dehnung-Beziehungen für Druck, die in den Bemessungsnormen für die Bemessung von Querschnitten vorgeschrieben sind und nur von der Druckfestigkeit abhängen. In der CSFM wird standardmäßig das Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 2c) verwendet. Der Anwender kann jedoch auch eine vereinfachte ideal elastisch-plastische Beziehung wählen. Bei der Bewertung nach der ACI-Norm kann ausschließlich das Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramm verwendet werden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie auch in der klassischen Stahlbetonbemessung.

Die wirksame Druckfestigkeit wird für gerissenen Beton automatisch auf Grundlage der Hauptzugdehnung (ε₁) mithilfe des Abminderungsbeiwerts k_c2 ermittelt, wie in Abb. 2c und e dargestellt. Die implementierte Abminderungsbeziehung (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags des fib Model Code 2010 für Querkraftnachweise. Dieser enthält einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis von wirksamer Betonfestigkeit zu Betondruckfestigkeit, der auf andere Belastungsfälle nicht anwendbar ist.

Die CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. es wird ein unendlich langer plastischer Ast nach Erreichen der Höchstspannung angesetzt). Aufgrund dieser Vereinfachung kann die Verformungsfähigkeit von Strukturen, die auf Druck versagen, nicht nachgewiesen werden. Ihre Traglast wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2) gemäß (Abb. 2e) die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons über den Abminderungsbeiwert $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

Dabei ist:

k_c der globale Abminderungsbeiwert der Druckfestigkeit

k_c2 der Abminderungsbeiwert infolge Querrissbildung

f_c die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Der Faktor k_c2 wird außerdem aus Gründen der Berechnungsstabilität abgemindert. Diese Abminderung beeinflusst nicht die Gesamttragfähigkeit der Bauteile. Wird für f_cd der Bemessungswert der Betonfestigkeit angesetzt, wird der Wert k_c2 nach den folgenden Regeln abgemindert.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 ist eine lineare Interpolation zwischen 1,0 und dem Wert aus dem
                                                              Diagramm in Abb. 2f
σ_c2r > 0,37f_cd                                            k_c2 wird direkt aus dem Diagramm in Abb. 2f entnommen

Bewehrung

Es wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für den unverbundenen Bewehrungsstahl angesetzt, das üblicherweise in den Bemessungsnormen definiert ist (Abb. 2d). Für die Definition dieses Diagramms müssen in der Bemessungsphase nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Es kann auch eine benutzerdefinierte Spannung-Dehnung-Beziehung festgelegt werden.

Die Zugverfestigung wird berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des unverbundenen Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) erfasst wird.

Verbundmodell

Der Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton wird im Finite-Elemente-Modell über die in Abb. 2f dargestellte vereinfachte starr-ideal plastische Materialbeziehung berücksichtigt. Dabei ist f_bd der Bemessungswert der Verbundspannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit, der in der Bemessungsnorm für die jeweiligen Verbundbedingungen angegeben ist.

Dies ist ein vereinfachtes Modell, das ausschließlich dem Nachweis der Verbundvorgaben nach den Bemessungsnormen dient (d. h. der Verankerung der Bewehrung). Die Verringerung der Verankerungslänge bei Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann berücksichtigt werden, indem am Ende der Bewehrung eine bestimmte Tragfähigkeit definiert wird, wie später beschrieben wird. 

Arbeitsablauf und Ziele

Die Werkzeuge zur Bemessung der Bewehrung im CSFM sollen Planer dabei unterstützen, die Lage und die erforderliche Menge der Bewehrungsstäbe effizient zu bestimmen. Dafür stehen folgende Werkzeuge zur Verfügung: die lineare Berechnung und die Topologieoptimierung.

Die Werkzeuge zur Bemessung der Bewehrung verwenden vereinfachtere Stoffmodelle als jene, die für den abschließenden Nachweis der Struktur eingesetzt werden. Die in diesem Schritt definierte Bewehrung ist daher als Vorbemessung zu betrachten, die im abschließenden Nachweis bestätigt bzw. verfeinert wird. Der Einsatz der verschiedenen Werkzeuge zur Bemessung der Bewehrung wird am Modell in Abb. 3 gezeigt. Es besteht aus einem Ende eines Einfeldträgers mit veränderlicher Höhe unter einer Gleichstreckenlast.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Lineare Berechnung

Die lineare Berechnung berücksichtigt linear-elastische Materialeigenschaften und vernachlässigt die Bewehrung im Betonbereich. Sie ist daher eine sehr schnelle Berechnung, die einen ersten Einblick in die Lage der Zug- und Druckbereiche liefert. Ein Beispiel für eine solche Berechnung zeigt Abb. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung ist ein Verfahren, das die optimale Materialverteilung in einem vorgegebenen Volumen für eine bestimmte Lastkonfiguration ermittelt. Die in Idea StatiCa Detail implementierte Topologieoptimierung verwendet ein lineares Finite-Elemente-Modell. Jedes finite Element kann eine relative Dichte von 0 bis 100 % aufweisen, welche den relativen Anteil des verwendeten Materials darstellt. Diese Elementdichten sind die Optimierungsparameter des Optimierungsproblems. Die resultierende Materialverteilung gilt für die gegebenen Lasten als optimal, wenn sie die gesamte Formänderungsenergie des Systems minimiert. Per Definition ist die optimale Verteilung zugleich die Geometrie mit der größtmöglichen Steifigkeit für die gegebenen Lasten.

Der iterative Optimierungsprozess beginnt mit einer homogenen Dichteverteilung. Die Berechnung wird für mehrere Gesamtvolumenanteile (20 %, 40 %, 60 % und 80 %) durchgeführt. So kann der Anwender das praktikabelste Ergebnis auswählen. Die resultierende Form besteht aus Fachwerken mit Streben und Zugbändern und stellt die optimale Form für die gegebenen Lastfälle dar (Abb. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Das CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite-Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-Elemente, die die Bewehrung abbilden (1D-Finite-Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht verschmiert in die 2D-Finite-Elemente des Betons eingebettet, sondern explizit modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand angenommen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Es können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als beschnittenes Ende bezeichnet) modelliert werden. Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Lager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) statisch bestimmte oder statisch unbestimmte Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den beschnittenen Enden von Trägern erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone, die eine realistische Spannungsverteilung im untersuchten Detailbereich gewährleistet.

Um die meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses abzubilden, stehen in der CSFM viele Lagerarten (Abb. 7) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 8) zur Verfügung.

Lager

Ein Punktlager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, damit die Spannungen nicht in einem Punkt konzentriert sind, sondern auf eine größere Fläche verteilt werden. Die erste Möglichkeit ist ein verteiltes Punktlager (Abb. 7a), das die Last am Rand des Bauteils gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Ein Patch-Lager (Abb. 7d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten Wirkradius angeordnet werden. Es wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher muss um das Patch-Lager ein Bewehrungskorb definiert werden.

Für die genauere Modellierung einiger realer Situationen gibt es zwei weitere Optionen für Punktlager. Erstens gibt es ein Punktlager mit einer Auflagerplatte definierter Breite und Dicke (Abb. 7b). Das Material der Auflagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Auflagerplatte wird separat vernetzt. Zweitens steht ein Hängelager zur Verfügung (Abb. 7e), mit dem Transportanker oder Hebebolzen modelliert werden können.

Ein Linienlager (Abb. 7c) kann an einem Rand (durch Angabe seiner Länge) oder innerhalb eines Elements (durch einen Polygonzug) definiert werden. Es ist außerdem möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Lager auf Druck/Zug oder nur auf Druck).

• Ausführliche Beschreibungen finden Sie unter Lagerarten in IDEA StatiCa Detail

Lastübertragende Komponenten

Auch die Einleitung von Lasten in die Struktur kann auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Auflagerplatte (Abb. 8a) ähnlich wie bei einem Punktlager verwendet werden. Sie verteilt die konzentrierte Last dank einer Stahlplatte mit definierter Breite und Dicke auf eine größere Fläche. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

Die Punktlast kann entweder direkt auf die Oberfläche der Struktur mit einem definierten Wirkradius aufgebracht werden (die Last wird auf die Betonelemente aufgebracht) oder über ein spezielles Übertragungselement, die sogenannte Patch-Last (Abb. 8b und Abb. 9). Die Patch-Last ermöglicht es, die Last direkt in die definierte Bewehrung innerhalb des Wirkradius zu übertragen. Damit die Patch-Last korrekt funktioniert, muss (in den Bewehrungseigenschaften) eine Gruppe von Bewehrungsstäben definiert werden, die mit der Last verbunden werden. Ist keine verbundene Bewehrung definiert, entspricht der Lastübertragungsmechanismus dem einer Punktlast auf der Bauteiloberfläche. Die Last wird dann über die Randbedingungen auf die Betonelemente übertragen und nicht direkt auf die Bewehrung. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Transportanker oder Hebebolzen können durch eine Hängelast modelliert werden (Abb. 8c). Der Anwender kann eine teilweise belastete Fläche verwenden (Abb. 8d). Diese ermöglicht eine Erhöhung der Tragfähigkeit des Betons unter Druck gemäß Eurocode (diese Art der lastübertragenden Komponente kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann außerdem mit Linienlasten an den Rändern, mit allgemeinen Polygonzügen oder mit Flächenlasten belastet werden. Die Detail-Anwendung kann das Eigengewicht in der Berechnung automatisch berücksichtigen.

In vielen Fällen muss nur ein Detail (Teilbereich) eines Bauteils modelliert werden, z. B. ein Trägerauflager oder eine Öffnung in Trägermitte. Dieser Ansatz kann zu Lagerungskonfigurationen führen, die instabil, in IDEA StatiCa Detail aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Lager). In solchen Fällen muss jedoch auch der Querschnitt modelliert werden, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt. Dazu gehören die Schnittgrößen in diesem Querschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z. B. bei der Modellierung eines Trägerauflagers) kann das Programm diese Schnittgrößen automatisch bestimmen.

Zwischen dem B-Bereich und dem untersuchten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übergangszone erzeugt. Sie stellt eine realistische Spannungsverteilung im untersuchten Bereich sicher. Die Breite der Übergangszone entspricht der halben Querschnittshöhe. Die Saint-Venant-Zone dient nur dazu, im restlichen Modell eine korrekte Spannungsverteilung zu erreichen. Daher werden für diesen Bereich im Nachweis keine Ergebnisse angezeigt, und es werden hier keine Abbruchkriterien berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das gekürzte Trägerende darstellt, wird als starr modelliert. Er darf sich also verdrehen, muss aber eben bleiben. Dazu werden alle FEM-Knoten des Rands mit einem separaten Knoten im Querschnittsschwerpunkt verbunden, und zwar über ein Starrkörperelement (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann an diesem Knoten angesetzt werden, wie in Abb. 10 dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

Die Reduzierung des Querschnitts erfolgt automatisch für Strukturen, die als Träger- oder Tragwerksverbindung definiert sind (festgelegt durch die x-Achse und einen Querschnitt). Diese Modifikation wird automatisch auf Querschnitte mit sehr breiten Gurten angewendet (Abb. 11). Sie beruht auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld von der Wand aus unter einem Winkel von 45° ausbreitet. Die genannte reduzierte Breite ist somit die maximale Breite, über die Lasten übertragen werden können

Beachten Sie, dass die in CSFM implementierte Methode zur Bestimmung der mitwirkenden Gurtbreite von der Methode in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) oder in 9.2.4.4 ACI 318-19 abweicht. Neben der Geometrie wird die mitwirkende Gurtbreite nach Eurocode ausdrücklich von den Stützweiten und den Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

Bei Vouten, die in der horizontalen Ebene liegen (Abb. 12), wird jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird anschließend als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Das nichtlineare (inelastische) Finite-Elemente-Berechnungsmodell wird aus mehreren Typen finiter Elemente aufgebaut, mit denen Beton, Bewehrung und der Verbund zwischen beiden abgebildet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und anschließend über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige Lage relativ zum Beton einnehmen. Soll der Nachweis der Verankerungslänge berechnet werden, werden zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen Verbund- und Verankerungsendfederelemente eingefügt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton wird mit viereckigen und dreieckigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Diese werden durch vier bzw. drei Knoten definiert. In diesen Elementen wird ausschließlich ein ebener Spannungszustand angenommen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element hat vier bzw. drei Integrationspunkte, die ungefähr bei 1/4 seiner Größe liegen. An jedem Integrationspunkt jedes Elements werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c2 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannung-Dehnung-Diagramm des Betons ausgewertet, siehe Fig. 2. Dabei ist zu beachten, dass der Einfluss der Druckerweichung das Verhalten in der Hauptdruckrichtung an den tatsächlichen Zustand in der anderen Hauptrichtung koppelt.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch eindimensionale „Stab“-Elemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifigkeit besitzen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbund“-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Schlupfverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton abzubilden. Diese Verbundelemente werden anschließend über MPC-Elemente (Mehrpunkt-Randbedingungen) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verknüpfung nachträglich sichergestellt wird.

Verbundelemente

Die Verankerungslänge wird nachgewiesen, indem die Verbundschubspannungen zwischen den Betonelementen (2D) und den Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck wurde ein finiter Elementtyp „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4). Es wird ebenfalls durch vier Knoten definiert, besitzt jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine von null verschiedene Schubsteifigkeit zwischen den zwei oberen und den zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, welche die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, welche den Beton darstellen. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfs zwischen den oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Der elastische Steifigkeitsmodul der Verbund-Schlupf-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

Dabei ist:

k_g            Beiwert in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (bei EN als E_cm angesetzt)

Ø             der Durchmesser des Bewehrungsstabs

Zum Nachweis der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte (mit Teilsicherheitsbeiwerten beaufschlagte Werte) der Verbundbruchspannung, f_bd, verwendet, die in den jeweils gewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 oder ACI 318-19 angegeben sind. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig als G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Die Ausbildung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d. h. Biegungen, Haken, Schlaufen usw.), welche die Vorgaben der Bemessungsnormen erfüllt, erlaubt es, die Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β zu verringern (im Folgenden als „Verankerungsbeiwert“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Die beabsichtigte Verringerung von l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Tragfähigkeit, der durch den Verankerungsreduktionsbeiwert gegeben ist, wie in Fig. 15a dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Die Verringerung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende berücksichtigt (Fig. 15), das durch das in Fig. 15b dargestellte Materialmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), beträgt:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

Dabei ist:

β             der Verankerungsbeiwert in Abhängigkeit von der Verankerungsart,

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd           der Bemessungswert (mit Teilsicherheitsbeiwerten beaufschlagter Wert) der Streckgrenze der Bewehrung.

Die finiten Elemente sind intern implementiert, und das Berechnungsmodell wird automatisch generiert, ohne dass eine versierte Benutzerinteraktion erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile werden gemeinsam vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird von der Anwendung automatisch auf Grundlage von Größe und Form der Struktur berechnet, wobei der Durchmesser des größten Bewehrungsstabs berücksichtigt wird. Darüber hinaus stellt die empfohlene Elementgröße sicher, dass in dünnen Teilen der Struktur, wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, mindestens 4 Elemente erzeugt werden, um in diesen Bereichen zuverlässige Ergebnisse zu gewährleisten. Die maximale Anzahl der Betonelemente ist auf 5000 begrenzt. Dieser Wert reicht jedoch für die meisten Strukturen aus, um die empfohlene Elementgröße einzuhalten. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße wählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente unterteilt, deren Länge ungefähr der Größe der Betonelemente entspricht. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie über Verbundelemente miteinander verbunden, wie in Abb. 13 dargestellt.

Auflagerplatten

Tragwerksbezogene Hilfsteile, wie Auflagerplatten, werden unabhängig vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Auflagerplattennetzes werden anschließend mit den Randknoten des Betonnetzes über Interpolations-Randbedingungselemente (RBE3) verbunden.

Lasten und Lager

Teilflächenlasten und Teilflächenlager werden, wie in Abb. 16 dargestellt, nur mit der Bewehrung verbunden. Daher ist es erforderlich, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleicher Gewichtung sichergestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Linienlager und Linienlasten werden anhand der festgelegten Breite oder des wirksamen Radius über RBE3-Elemente mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Die Gewichtung der Verbindungen ist umgekehrt proportional zum Abstand vom Lager bzw. vom Lastimpuls.

• Weitere Informationen zur Verknüpfung zwischen einzelnen Lasten und dem Netz finden Sie in der Allgemeinen Beschreibung von Lastimpulsen in der Detail-Anwendung

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems wird ein standardmäßiger vollständiger Newton-Raphson-Algorithmus (NR) verwendet. 

Im Allgemeinen konvergiert der NR-Algorithmus häufig nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Üblicherweise, und so auch hier, wird die Last schrittweise in mehreren Inkrementen aufgebracht. Das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements dient dabei als Startwert für die Newton-Lösung des folgenden Inkrements. Zu diesem Zweck wurde ein Algorithmus zur Laststeuerung auf Basis des Newton-Raphson-Verfahrens implementiert. Konvergieren die NR-Iterationen nicht, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Wertes reduziert und die NR-Iterationen werden erneut durchgeführt.

Ein zweiter Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung ist die Ermittlung der kritischen Last, die bestimmten „Abbruchkriterien“ entspricht – konkret der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit dem Bisektionsverfahren bestimmt. Wird das Abbruchkriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen und ein neues Inkrement mit der halben Größe des vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden ist.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium an den Integrationspunkten der Schalenelemente auf eine Dehnung von 5 % im Druckbereich (d. h. etwa eine Größenordnung größer als die tatsächliche Bruchdehnung von Beton) und 7 % im Zugbereich festgelegt. Im Zugbereich wurde der Wert so gewählt, dass zuerst die Grenzdehnung der Bewehrung erreicht werden kann, die ohne Berücksichtigung der Zugverfestigung üblicherweise bei etwa 5 % liegt. Im Druckbereich wurde der Wert aus mehreren Alternativen so gewählt, dass er groß genug ist, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Für die Bewehrung wird das Abbruchkriterium über Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium im Zugbereich der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitsbeiwerts. Der gleiche Wert wird für das Kriterium im Druckbereich verwendet.

Das Abbruchkriterium in den Verbundelementen und Verankerungsfedern beträgt α·δu_max, wobei δu_max der in den Normnachweisen verwendete maximale Schlupf ist und α = 10.

Die Ergebnisse werden für Beton und für Bewehrungselemente getrennt dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten in dieser Form darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in den Knoten dargestellt, und zwar als Maximalwert der Druckspannung aus den benachbarten Gauß-Integrationspunkten der angeschlossenen Elemente (Abb. 18). Dabei ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an gedrückten Rändern von Bauteilen lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Höhe der Druckzone ähnelt.

Abb. 18 - Finites Betonelement mit Integrationspunkten und Knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und in finiten Elementen.

Die Ergebnisse für die finiten Bewehrungselemente sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert – z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte – für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente, wie z. B. Elemente von Auflagerplatten, werden nur Verformungen dargestellt.

Die Bewertung der Struktur mit der CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für Lastkombinationen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die Analyse im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit geht davon aus, dass das Tragverhalten des Bauteils im Grenzzustand der Tragfähigkeit zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials auf Gebrauchslastniveau nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Materialmodelle (mit einem linearen Ast der Spannung-Dehnung-Linie des Betons) für die Analyse im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird empfohlen, den nachfolgend beschriebenen Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse im Grenzzustand der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Analyse im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Die verschiedenen Nachweise, die von den jeweiligen Bemessungsnormen gefordert werden, werden auf Grundlage der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Festigkeit der Bewehrung und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Um eine effiziente Bemessung eines Bauteils sicherzustellen, wird dringend empfohlen, eine Vorabanalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Wählen Sie eine Auswahl der maßgebenden Lastkombinationen.
• Berechnen Sie nur Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT).
• Verwenden Sie ein grobes Netz (indem Sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße in Setup erhöhen (Abb. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen. So können Anwender die Konstruktionsdetails des Bauteils effizient überprüfen und die Analyse so lange wiederholen, bis alle Nachweisanforderungen für die maßgebenden Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Vorabanalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit einzubeziehen und ein feines Netz zu verwenden (die vom Programm empfohlene Netzgröße). Der Anwender kann die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Abb. 19).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. der berechnete Wert bezogen auf den Grenzwert der Norm) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonbauteilen) werden in verschiedenen Darstellungen angezeigt, wobei Druck im Allgemeinen rot und Zug blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jeden benutzerdefinierten Teil. In einer separaten Registerkarte des Programms können erweiterte Ergebnisse angezeigt werden, wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugverfestigung der Bewehrungsstäbe verwendet werden. Darüber hinaus können Lasten und Auflagerreaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Analyse im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Die GZG-Bewertungen werden für die Spannungsbegrenzung, die Rissbreite und die Grenzwerte der Durchbiegung durchgeführt. Die Spannungen in Beton und Bewehrung werden gemäß der anzuwendenden Norm ähnlich wie im GZT nachgewiesen.

Die Analyse im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Materialmodelle, die für die Analyse im Grenzzustand der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein vollkommener Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Außerdem wird der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Linie des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (wie von den Normen gefordert). Daher sind die für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

Berechnung der Rissbreite und Zugverfestigung

Berechnung der Rissbreite

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten – abgeschlossene und nicht abgeschlossene Rissbildung. Anhand des geometrischen Bewehrungsgrads in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welches Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für abgeschlossene Rissbildung und POM für das Modell der nicht abgeschlossenen Rissbildung).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Während das CSFM für die meisten Nachweise (z. B. Bauteiltragfähigkeit, Durchbiegungen …) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt von der FE-Analyse gemäß der in Fig. 20 beschriebenen Methodik geliefert werden. Es wird eine Rissbildungskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) angenommen (Fig. 20a), was mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen von Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s= θ_e). Gemäß (Fig. 20b) kann die Rissbreite (w) in Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu Folgendem führt:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

wobei θ_b die Stabneigung ist.

Bitte beachten Sie, dass das Programm Werte von θ_r und θ_b < π/2 anzeigt. Das bedeutet, dass die vorherige Gleichung für Fälle gilt, in denen die Bewehrung und der Riss durch unterschiedliche Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verlaufen, wie in Fig. 20 dargestellt, wobei die Bewehrung durch den I. und III. Quadranten und der Riss durch den II. und IV. verläuft. Für Fälle, in denen die Bewehrung und der Riss durch dieselben Quadranten verlaufen, muss die Gleichung wie folgt modifiziert werden:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Die Komponente w_b wird konsistent auf Grundlage der Zugverfestigungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für Bereiche mit voll ausgebildeten Rissmustern werden die berechneten Durchschnittsdehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt über den Rissabstand (s_r) integriert, wie in (Fig. 20c) angegeben. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, welche mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen werden an konkaven Ecken der berechneten Struktur beobachtet. In diesem Fall gibt die Ecke die Position eines einzelnen Risses vor, der sich vor der Entwicklung weiterer benachbarter Risse nicht abgeschlossen verhält. Diese zusätzlichen Risse entwickeln sich im Allgemeinen erst nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als wären sie nicht abgeschlossen (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Zugverfestigung

Die Implementierung der Zugverfestigung unterscheidet zwischen Fällen abgeschlossener und nicht abgeschlossener Rissmuster. In beiden Fällen wird der Beton standardmäßig vor Belastung als vollständig gerissen betrachtet.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Abgeschlossene Rissbildung

Bei voll ausgebildeten Rissmustern wird die Zugverfestigung mithilfe des Zuggurtmodells (Tension Chord Model, TCM) eingeführt (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a –, das trotz seiner Einfachheit hervorragende Vorhersagen des Verhaltens liefert (Burns 2012). Das TCM geht von einer abgestuften, starr-ideal-plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τ_b = τ_b0 =2 f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b =τ_b1 = f_ctm für σ_s > f_y aus. Indem jeder Bewehrungsstab als Zuggurt behandelt wird – Fig. 22b und Fig. 22a –, kann die Verteilung von Verbundschub-, Stahl- und Betonspannungen und somit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für s_r = s_r0 kann sich ein neuer Riss bilden oder auch nicht, da in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c1 = f_ct gilt. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h. s_r = λs_r0, mit l = 0,5…1,0. Unter Annahme eines bestimmten Werts für λ kann die durchschnittliche Dehnung des Zuggurts (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. der Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das im CSFM standardmäßig berücksichtigte idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für nackte Bewehrungsstäbe ergeben sich die folgenden geschlossenen analytischen Ausdrücke (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

wobei:
E_sh           der Stahlverfestigungsmodul E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø            Bewehrungsstabdurchmesser,

s_r                Rissabstand,

σ_sr           Bewehrungsspannungen an den Rissen,

σ_s            tatsächliche Bewehrungsspannungen,

f_y                Streckgrenze der Bewehrung.

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt standardmäßig den durchschnittlichen Rissabstand bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse. Der durchschnittliche Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands angenommen (λ = 0,67), was den Empfehlungen entspricht, die auf Grundlage von Biege- und Zugversuchen aufgestellt wurden (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es ist zu beachten, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) berücksichtigt wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, weshalb die Zuordnung einer geeigneten, zwischen den Rissen auf Zug beanspruchten Betonfläche zu jedem Bewehrungsstab entscheidend ist. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um den entsprechenden effektiven Bewehrungsgrad (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich schräg verlaufender Bewehrung (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nicht abgeschlossene Rissbildung

Risse, die in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr auftreten – d. h. der minimalen Bewehrungsmenge, bei der die Bewehrung in der Lage ist, die Risslast ohne Fließen aufzunehmen –, entstehen entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z. B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

wobei:

f_y              Streckgrenze der Bewehrung,

f_ct             Betonzugfestigkeit,

n              Verhältnis der Elastizitätsmoduln, n = E_s / E_c .

Für herkömmlichen Beton und Betonstahl beträgt ρ_cr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr wird die Rissbildung als nicht abgeschlossen betrachtet, und die Zugverfestigung wird mittels des in Fig. 22b beschriebenen Verbund-Auszugmodells (Pull-Out Model, POM) umgesetzt. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses unter der Annahme, dass keine mechanische Wechselwirkung zwischen getrennten Rissen besteht, vernachlässigt die Verformbarkeit des Betons unter Zug und geht von derselben abgestuften, starr-ideal-plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung aus, die auch im TCM verwendet wird. Dies ermöglicht es, die Bewehrungsdehnungsverteilung (ε_s) in der Umgebung des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu bestimmen. Da der Rissabstand bei einem nicht vollständig ausgebildeten Rissmuster unbekannt ist, wird die durchschnittliche Dehnung (ε_m) für jedes Lastniveau über die Distanz zwischen Punkten mit null Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab am Riss seine Zugfestigkeit (f_t) erreicht (l_ε,avg in Fig. 22b), was zu folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der im Verbund liegenden Bewehrung, das schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugverfestigung) für den gängigsten europäischen Betonstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5 %) ist in Fig. 22c-d dargestellt.

Beton - GZT

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Werkstoffgesetzen für Druck nach EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen. Standardmäßig verwendet das CSFM das Parabel-Rechteck-Diagramm nach EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (1) (Abb. 24a). Tragwerksplaner können aber auch eine vereinfachte linear-elastisch-ideal-plastische Beziehung nach EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.7 (2) (Abb. 24b) wählen. Die Zugfestigkeit wird wie in der klassischen Stahlbetonbemessung vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck. Nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_cu2 (ε_cu3) in Höhe von 5 % angesetzt, während EN 1992-1-1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,35 % annimmt. Aufgrund dieser Vereinfachung kann die Verformungskapazität von Strukturen, die auf Druck versagen, nicht nachgewiesen werden. Ihre Tragfähigkeit f_cd nach EN 1992-1-1 3.1.3 wird jedoch zutreffend erfasst. Dazu wird zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Abb. 25)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons bei steigender Festigkeit durch den Abminderungsbeiwert $\eta_{fc}$ berücksichtigt, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

mit:

α_cc ist der Beiwert zur Berücksichtigung von Langzeitauswirkungen auf die Druckfestigkeit und von ungünstigen Auswirkungen aus der Art der Lastaufbringung. Er wird nach EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.6 (1) bestimmt. Der Standardwert beträgt 1,0.

k_c ist der globale Abminderungsbeiwert der Druckfestigkeit

k_c2 ist der Abminderungsbeiwert infolge von Querrissen

f_ck ist die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - GZG

Der Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit enthält gewisse Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für den Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve von Beton unter Druck wird nicht berücksichtigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Gesetz der Druckerweichung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit. Sie schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb der Fließgrenzen liegen (wie im Eurocode gefordert). Die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle sind daher nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Beim Nachweis der Gebrauchstauglichkeit werden die Langzeiteffekte von Beton über eine effektive Endkriechzahl ($\varphi$, standardmäßig mit dem Wert 2,5 angesetzt) berücksichtigt. Diese modifiziert den Sekantenmodul des Betons (E_cm) nach EN 1992-1-1, Abschnitt 3.1.4 (3) bzw. 7.4.3 (5) wie folgt:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Bei Berücksichtigung der Langzeiteffekte wird zunächst ein Laststufe mit allen ständigen Lasten unter Ansatz der Kriechzahl berechnet (d. h. mit dem effektiven Elastizitätsmodul des Betons, E_c,eff). Anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne Kriechzahl berechnet (d. h. mit E_cm). Für die Kurzzeitnachweise wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, in der alle Lasten ohne Kriechzahl berechnet werden. Beide Berechnungen für die Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Abb. 26 dargestellt.

Die Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert und sind nach EN 1992-1-1, Abb. 3.1 zu berechnen.

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für den blanken Bewehrungsstab nach EN 1992-1-1, Abschnitt 3.2.7 (Abb. 27) angesetzt. Für die Definition dieses Diagramms müssen in der Bemessungsphase nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Sofern bekannt, kann die tatsächliche Spannung-Dehnung-Beziehung der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, abgeschreckt und selbstangelassen, …) berücksichtigt werden. Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall kann die Zugverfestigung jedoch nicht angesetzt werden (die Rissbreite kann nicht berechnet werden). Die Verwendung des Spannung-Dehnung-Diagramms mit horizontalem oberem Ast erlaubt keinen Nachweis der tragwerksbezogenen Dauerhaftigkeit. Daher ist ein manueller Nachweis der normativen Duktilitätsanforderungen erforderlich.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Die Zugverfestigung (Abb. 28)  wird automatisch berücksichtigt. Dazu wird die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht den modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standardmaterialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwert-Format ohne Anpassung angewendet werden. Dabei werden die Eingangslasten mit Teilsicherheitsbeiwerten beaufschlagt und die charakteristischen Materialeigenschaften mit den jeweiligen, in den Bemessungsnormen vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerten abgemindert, genau wie bei der konventionellen Betonbemessung. Standardmäßig sind die Werte der Materialsicherheitsbeiwerte nach EN 1992-1-1, Kap. 2.4.2.4 eingestellt, der Benutzer kann die Sicherheitsbeiwerte jedoch in den Norm- und Berechnungseinstellungen ändern (Abb. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die Lastsicherheitsbeiwerte müssen vom Benutzer in den Kombinationsregeln für jede nichtlineare Kombination von Lastfällen definiert werden (Abb. 30). Für alle in Idea StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsbeiwerte bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Durch geeignete benutzerdefinierte Kombinationen von Teilsicherheitsbeiwerten können Anwender mit der CSFM auch nach dem Verfahren mit globalem Sicherheitsbeiwert für den Widerstand rechnen (Navrátil, et al. 2017), dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen, für die nichtlineare Berechnung das Verfahren mit globalem Sicherheitsbeiwert für den Widerstand anzuwenden. Bei vereinfachten nichtlinearen Berechnungen (wie der CSFM), die nur die Materialeigenschaften benötigen, die auch bei konventionellen Handberechnungen verwendet werden, ist es jedoch weiterhin vorzuziehen, das Teilsicherheitsbeiwert-Format zu verwenden.

Die verschiedenen nach EN 1992-1-1 erforderlichen Nachweise werden auf Grundlage der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c = σ_c2 aus der FE-Analyse und dem Grenzwert σ_c,lim = f_cd ermittelt. 

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim ermittelt:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

mit:

f_yk        Streckgrenze der Bewehrung nach EN 1992-1-1 Kap. 3.2.3,

k          Verhältnis der Zugfestigkeit f_tk zur Streckgrenze,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             ist der Teilsicherheitsbeiwert für Bewehrung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig davon als Verhältnis zwischen der mittels FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit im Grenzzustand f_bd, nach EN 1992-1-1 Kap. 8.4.2 ermittelt:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

mit:

f_ctd      ist der Bemessungswert der Betonzugfestigkeit nach EN 1992-1-1 Kap. 3.1.6 (2). Aufgrund der zunehmenden Sprödigkeit von Beton höherer Festigkeit wird f_ctk,0.05 nach EN 1992-1-1 Kap. 8.4.2 (2) auf den Wert für C60/75 begrenzt.

η₁       ist ein Beiwert zur Berücksichtigung der Verbundbedingungen und der Lage des Stabes beim Betonieren (Abb. 31).

η₁ = 1,0 bei ‚guten‘ Verbundbedingungen und

η₁ = 0,7 in allen anderen Fällen sowie für Stäbe in Bauteilen, die im Gleitschalungsverfahren hergestellt werden, sofern nicht nachgewiesen werden kann, dass ‚gute‘ Verbundbedingungen vorliegen

η₂        berücksichtigt den Stabdurchmesser:

            η₂ = 1,0 für Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail werden die Verbundbedingungen gemäß Abb. 31 c) und d) berücksichtigt. Die Betonierrichtung kann in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt festgelegt werden.

Diese Nachweise werden mit den jeweils zutreffenden Grenzwerten für die einzelnen Bereiche der Struktur geführt (d. h., obwohl für Beton und Bewehrung jeweils nur eine Festigkeitsklasse vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Bereich der Struktur aufgrund der Effekte der Zugverfestigung und der Druckerweichung).

Es besteht außerdem die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

mit A_s als Querschnittsfläche des Bewehrungsstabes und σ_s als Spannung im Stab.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

mit F_a als der tatsächlichen Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond als der Verbundkraft, die sich durch Integration der Verbundspannung τ_b entlang der Länge des Bewehrungsstabes l ergibt.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabes.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabes unter Berücksichtigung der Bruchfestigkeit des Bewehrungsstabes sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

mit C_s als Umfang des Bewehrungsstabes und l als Länge vom Anfang des Bewehrungsstabes bis zum betrachteten Punkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

mit F_lim,add als zusätzlicher Kraft, die aus dem Winkel zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Zu den verfügbaren Verankerungsarten im CSFM gehören gerader Stab (d. h. ohne Abminderung durch Endverankerung), Winkelhaken, Haken, Schlaufe, angeschweißter Querstab, vollkommener Verbund und durchlaufender Stab. Alle diese Arten sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungsbeiwerten β in Abb. 32 für die Längsbewehrung und in Abb. 33 für Bügel dargestellt. Die verwendeten Verankerungsbeiwerte entsprechen EN 1992-1-1 Abschnitt 8.4.4 Tab. 8.2. Es ist zu beachten, dass das CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduzierung der Verankerungslänge, (ii) eine Reduzierung der Verankerungslänge um 30 % bei einer genormten Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Um EN 1992-1-1 einzuhalten, muss die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, daher muss der Benutzer bei der Definition derBewehrungsanfangs- und -endbedingungen eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden. 

Beim Bemessen von Betonstrukturen treten zwei große Gruppen von Teilflächenbelastungen (PLA) auf – die erste umfasst Auflager, die zweite Verankerungsbereiche. Nach den aktuell gültigen Normen für das Bemessen von Stahlbetonstrukturen, EN 1992-1-1, Kap. 6.7 (Abb. 34), sind bei Teilflächenbelastungen das lokale Quetschen des Betons und Querzugkräfte zu berücksichtigen. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c0 kann die Drucktragfähigkeit des Betons in Abhängigkeit von der Verteilungsfläche A_c1. auf bis zum Dreifachen erhöht werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Die Teilfläche muss mit ausreichender Querbewehrung versehen sein, die so bemessen ist, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltzugkräfte aufnimmt. Für das Bemessen der Querbewehrung in Teilflächen wird nach dem Eurocode das Verfahren Strebe-und-Zugband angewendet. Ohne die erforderliche Querbewehrung darf eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons nicht berücksichtigt werden.

Teilflächenbelastungen in der CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mit der CSFM ist es möglich, Stahlbetonstrukturen zu bemessen und zu bewerten und dabei den Einfluss der zunehmenden Druckfestigkeit des Betons in Teilflächen zu berücksichtigen. Da die CSFM ein scheibenartiges (2D) Modell ist und Teilflächenbelastungen eine räumliche (3D) Aufgabe darstellen, musste eine Lösung gefunden werden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Wenn die Funktion „Teilflächenbelastung“ aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie nach dem Eurocode erzeugt (Abb. 34). Alle geometrischen Überschneidungen werden für die vorgegebene Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder PLA vollständig in 3D gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der Teilfläche erstellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, vor allem weil die Zuordnung von Eigenschaften zum Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz die geeignetere Lösung ist. Für die bekannte Geometrie des Druckkegels werden vollständig kohärente fiktive Streben erzeugt (Abb. 35 und Abb. 37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last von der PLA schrittweise auf die Verteilungsfläche verteilen. Die flächenbezogene Dichte der fiktiven Streben ist in jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. In der Ebene der belasteten Fläche (A_c0) wird eine fiktive Betonfläche entsprechend dem Verhältnis $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  hinzugefügt (wobei A_real die im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist); diese Fläche nimmt in Richtung der Verteilungsfläche (A_c1) linear bis auf null ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Die Tragfähigkeit der Teilfläche wird entsprechend dem Verhältnis von Verteilungsfläche zu belasteter Fläche nach EN 1992-1-1  (6.7) erhöht.  Es ist zu beachten, dass es sich hierbei um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einer Teilfläche, dessen tatsächlicher Verlauf wesentlich komplexer ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Verteilung der Last auf das gesamte Modell und berücksichtigt dabei die erhöhte Tragfähigkeit der Teilfläche. Zudem werden in diesem Bereich die Querspannungen korrekt erfasst.

Wenn die Funktion Teilflächenbelastung verwendet wird, um die Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons zu simulieren, muss der Normnachweis nach EN 1992-1-1, Abschnitt 6.7 (2), separat geführt werden. Die von der Bewehrung aufgenommenen Querzugkräfte (Spaltzugkräfte) werden automatisch nachgewiesen.

GZG-Bewertungen werden für die Spannungsbegrenzung, die Rissbreite und die Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Die Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen nach EN 1992-1-1 in ähnlicher Weise nachgewiesen wie für den GZT.

Spannungsbegrenzung

Die Betondruckspannung ist zu begrenzen, um Längsrisse zu vermeiden. Nach EN 1992-1-1, Kap. 7.2 (2) können Längsrisse auftreten, wenn das Spannungsniveau unter der charakteristischen Lastkombination den Wert k₁f_ck überschreitet. Die Betondruckspannung wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c = σ_c2 aus der FE-Analyse für die Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit und dem Grenzwert σ_c,lim bewertet. Dann gilt:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

Dabei ist:

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons,

k₁         =0,6.

Wenn die Spannung im Beton unter den quasi-ständigen Lasten nach EN 1992-1-1, Abschn. 7.2(3) kleiner als k₂f_ck ist, darf lineares Kriechen angenommen werden. Überschreitet die Betonspannung k₂f_ck, ist nichtlineares Kriechen zu berücksichtigen (siehe EN 1992-1-1, Abschn. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kann nur lineares Kriechen nach EN 1992-1-1, Abschn. 3.1.4 (3) angenommen werden (siehe Materialmodelle (EN)).

Unzulässige Rissbildung oder Verformung kann als vermieden angenommen werden, wenn unter der charakteristischen Lastkombination die Zugspannung in der Bewehrung k₃f_yk nicht überschreitet (EN 1992-1-1, Kap. 7.2 (5)). Die Ausnutzung der Bewehrung wird als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_s = σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim bewertet:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

Dabei ist:

f_yk        Streckgrenze der Bewehrung,

k₃        =0,8.

Durchbiegung

Durchbiegungen können nur für Wände oder für isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Träger bewertet werden. In diesen Fällen wird der Absolutwert der Durchbiegungen (verglichen mit dem Ausgangszustand vor der Belastung) betrachtet, und der maximal zulässige Wert der Durchbiegungen muss vom Benutzer festgelegt werden. Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht nachgewiesen werden, da es sich dabei im Wesentlichen um instabile Strukturen handelt, bei denen das Gleichgewicht durch das Hinzufügen von Endkräften hergestellt wird und die Durchbiegungen daher unrealistisch sind. Die Kurzzeitdurchbiegung u_z,st oder die Langzeitdurchbiegung u_z,lt kann berechnet und mit benutzerdefinierten Grenzwerten verglichen werden:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

Dabei ist:

u_z         Kurz- oder Langzeitdurchbiegung, berechnet mit der FE-Analyse,

u_z,lim    vom Benutzer definierter Grenzwert der Durchbiegung.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden nur für Langzeiteffekte (mit E_c,eff) für Kombinationen berechnet, bei denen die Rissbreitenbewertung aktiviert ist. Nachweise auf Grundlage benutzerdefinierter Grenzwerte gemäß Eurocode werden wie folgt dargestellt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

Dabei ist:

w         mit der FE-Analyse berechnete Rissbreite,

w_lim     vom Benutzer definierter Grenzwert der Rissbreite.

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Rissbreiten (abgeschlossene und nicht abgeschlossene Rissbildung). Im allgemeinen Fall (abgeschlossene Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird anschließend aus den drei nächstgelegenen Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung aus gemessen). Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte. Diese führen zu Rissbreitenergebnissen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Stelle des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Beton - Festigkeit

Das in CSFM für Festigkeitsberechnungen implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannung-Dehnung-Kurve für Beton der Portland Cement Association, wie sie in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8 beschrieben ist. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie bei der klassischen Stahlbetonbemessung.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck. Nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 mit einem Maximalwert von 5 % angesetzt, während ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % annimmt. Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungskapazität von Strukturen nachzuweisen, die auf Druck versagen. Die Festigkeit wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Fig. 39)) die Zunahme der Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit durch den im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktor $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

mit:

α₁ ist der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit nach ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Festigkeitsreduktionsfaktor für Beton. Der Standardwert wird nach ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f) gesetzt.

k_c2 ist der Abminderungsfaktor infolge des Vorhandenseins von Querrissen.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen beruht wie der Knotenzonenbeiwert β_n in ACI 318-19 Table 23.9.2. Der Unterschied besteht darin, dass in CSFM für jedes finite Element (nicht nur für die Knoten des Modells Strebe und Zugband) geprüft wird, ob eine Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung vorhanden ist.

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Berechnung der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Festigkeitsberechnung verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve von Beton unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Gesetz der Druckerweichung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit. Sie schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Gebrauchszustand deutlich unterhalb ihrer Fließgrenzen liegen (wie von ACI gefordert). Daher gelten die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Das Langzeitverhalten der Struktur, wie Langzeitdurchbiegungen oder die Berechnung von Rissbreiten infolge ständig wirkender Lasten, wird durch das Kriechen des Betons beeinflusst. ACI 318-19 definiert in Abschnitt 24.2.4.1.3 den zeitabhängigen Faktor für ständig wirkende Lasten – ξ, der den Kriecheffekt für eine festgelegte Dauer der ständigen Last darstellt.

In der Detail-Anwendung wird der Elastizitätsmodul E_c mithilfe des Faktors ξ angepasst, um das Langzeitverhalten der Struktur zu bestimmen. Der angepasste Elastizitätsmodul wird als E_c,eff bezeichnet – siehe Figure 40.

Wird die Verformung des Elements durch die Dehnung ausgedrückt, gilt:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

mit:

ε₀ ist die Kurzzeitdehnung (ohne Einfluss des Kriechens) und ε_creep ist die durch Kriechen verursachte Dehnung.

Mit dem Hookeschen Gesetz erhalten wir:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Durch Einsetzen von $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ und $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ erhalten wir:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Die Dauer der ständigen Last zur Bestimmung des Faktors ξ kann für jede Langzeitkombination im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit individuell festgelegt werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Die zeitabhängigen Durchbiegungen, Spannungen und Rissbreiten werden dann mit einem modifizierten Materialmodell berechnet, bei dem der Effekt der Druckverfeinerung automatisch durch die Natur der FE-Berechnung berücksichtigt wird. Es ist daher nicht erforderlich, sie zusätzlich mit dem in 24.2.4.1.1 definierten Faktor zu multiplizieren.

Kurzzeiteffekte

Für die Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den zeitabhängigen Faktor für ständig wirkende Lasten berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Fig. 40 dargestellt.

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit definierter Fließgrenze angesetzt, siehe ACI 319-19 CL. 20.2.1. Für die Definition dieses Diagramms müssen nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein – die Festigkeit und der Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Effekt der Zugverfestigung anzusetzen (die Rissbreite kann nicht berechnet werden). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

mit:

Φ_s ist der Festigkeitsreduktionsfaktor für die Bewehrung. Der Standardwert wird nach ACI 318-19 Table 24.2.1 gesetzt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s ist der Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, ist 10 % gewählt. Dies gilt nach ASTM A955/A955M-20c Article 7 als sicher.

Die Zugverfestigung (Fig. 43)  wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) erfasst wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht den modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle ausschließlich Standardmaterialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitskonzept ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten mit Faktoren beaufschlagt, und die charakteristischen Materialeigenschaften werden mit den jeweiligen Festigkeitsreduktionsfaktoren abgemindert, genau wie bei der konventionellen Betonbemessung.

Die Werte der Festigkeitsreduktionsfaktoren sind in ACI 318-19 Abschn. 21.2 vorgeschrieben. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung werden unter der Annahme gewählt, dass das typische, in der Anwendung gelöste Beispiel querkraftgesteuert ist (gemäß Tabelle 21.2.1 (b), (f), (g)). Es lässt sich jedoch jede Art von Element modellieren. Wird daher ein druck- oder zuggesteuertes Element bewertet, kann der Benutzer den Wert des Festigkeitsreduktionsfaktors in den Einstellungen ändern.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren für Festigkeitskombinationen sind gemäß ACI 318-19 Tabelle 5.3.1 zu definieren.

Mit Ausnahme der Angaben in Kapitel 34 sind Lastkombinationen für den Gebrauchszustand in ACI 318-19 nicht definiert. Es wird empfohlen, Kombinationsregeln auf Grundlage von Anhang C der ASCE/SEI 7-16 zu verwenden. Für alle Vorlagen sind die Lastfaktoren bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen von ACI 318-19 geforderten Nachweise werden auf Grundlage der direkten Ergebnisse des Modells geführt. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Betonfestigkeit auf Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c (auch σ₂ in den Hilfsergebnissen) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim ermittelt.

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim ermittelt.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig davon als Verhältnis zwischen der in der FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu ermittelt.

Die Norm ACI behandelt die Verbundfestigkeit jedoch nicht explizit, sondern arbeitet mit der Berechnung der sogenannten Verankerungslänge (development length), die in Abschnitt 25.4.2 beschrieben ist. Da die Verbundfestigkeit ein grundlegender Eingangsparameter für die Bestimmung der Verankerungslänge ist, siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966, kann die Verbundfestigkeit wie folgt berechnet werden:

Wir nehmen an, dass beim Verankern eines Bewehrungsstabs in einem Betonblock mit der Verankerungslänge l_d oder mehr das Herausziehen der Bewehrung zum Bruch der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies lässt sich mit der folgenden Formel ausdrücken.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

mit:

d_b ist der Durchmesser des Bewehrungsstabs, l_d ist die Verankerungslänge, f_bu ist die Verbundfestigkeit, f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung und A_s ist die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs.

Daraus lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit einfach herleiten:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die Verankerungslänge l_d wird anschließend nach ACI 318-19 Table 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

mit:

C = 25 (2,1 für metrisch) für Stäbe Nr. 6 und kleiner sowie für profilierte Drähte, C = 20 (1,7 für metrisch) für Stäbe Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e, ψ_g werden nach ACI 318-19 Table 25.4.2.3 bestimmt. 

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte (feuerverzinkte) Bewehrung unterstützt, daher gilt ψ_e = 1,0. ψ_g wird automatisch aus der Festigkeitsklasse der Bewehrung bestimmt, und ψ_t wird automatisch aus der Lage der Bewehrung im Modell und aus der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt eingestellt werden kann.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Diese Nachweise werden mit den jeweils zutreffenden Grenzwerten für die einzelnen Teile der Struktur geführt (d. h., obwohl sowohl für den Beton als auch für die Bewehrung nur eine Festigkeitsklasse vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Effekte der Zugverfestigung und der Druckerweichung).

Es besteht außerdem die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

mit A_s als Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s als Spannung im Stab.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

mit F_a als tatsächlicher Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond als Verbundkraft, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

mit C_s als Umfang des Bewehrungsstabs und l als Länge vom Beginn des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

mit F_lim,add als zusätzlicher Kraft, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Zu den in CSFM verfügbaren Verankerungsarten gehören ein gerader Stab (d. h. keine Reduktion am Verankerungsende), ein 90-Grad-Haken, ein 180-Grad-Haken, vollkommener Verbund und ein durchlaufender Stab. Alle diese Arten sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungsbeiwerten β für die Längsbewehrung in Abb. 48 dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungsbeiwerte werden aus dem Vergleich der Gleichung aus ACI 318-19 25.4.3.1 mit den Gleichungen aus ACI 318-19 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduktion der Verankerungslänge, (ii) eine Reduktion der Verankerungslänge um 30 % bei einer normgemäßen Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungsbeiwert für Bügel beträgt stets β = 1,0.

Um die Anforderungen von ACI zu erfüllen, sollte in der Berechnung die Verankerungsfeder verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, daher muss der Benutzer bei der Definition der Start- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden. 

Beim Bemessen von Betonstrukturen treffen wir auf zwei große Gruppen von teilflächenbelasteten Bereichen (PLA). Die erste umfasst Auflager, die zweite Verankerungsbereiche. 

Nach den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur ACI 318-19, Kap. 22.8, sind bei Auflagern das lokale Quetschen des Betons und Querzugkräfte zu berücksichtigen. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c1 kann die Drucktragfähigkeit des Betons in Abhängigkeit von der rechnerischen Verteilungsfläche A_c2 um bis zum Zweifachen erhöht werden. Siehe ACI 318-19, Tabelle 22.8.3.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Für nachgespannte Verankerungsbereiche ist ACI 318-19, Kap. 25.9 zu beachten.

Der teilflächenbelastete Bereich muss ausreichend mit Querbewehrung versehen sein, die für die Aufnahme der in diesem Bereich auftretenden Spaltkräfte bemessen ist. Ohne die erforderliche Querbewehrung darf die Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons nicht berücksichtigt werden.

Teilflächenbelastete Bereiche in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mit CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten und dabei den Einfluss der erhöhten Druckfestigkeit des Betons in teilflächenbelasteten Bereichen zu berücksichtigen. Da CSFM ein Scheibenmodell (2D) ist und teilflächenbelastete Bereiche eine räumliche (3D) Aufgabe darstellen, war eine Lösung erforderlich, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen verbindet (Fig. 50). Wird die Funktion „Teilflächenbelastete Bereiche“ aktiviert, wird die zulässige Kegelgeometrie nach ACI erzeugt (Fig. 49). Alle geometrischen Überschneidungen werden vollständig in 3D für die vorgegebene Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jedes PLA gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell des teilflächenbelasteten Bereichs erstellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Die Änderung des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, vor allem weil die Zuordnung der Eigenschaften zum Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz die geeignetere Lösung ist. Für die bekannte Geometrie des Druckkegels werden vollkommen kohärente fiktive Druckstreben erzeugt (Fig. 51 and Fig. 52). Diese Streben haben dieselben Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last schrittweise von der PLA auf die rechnerische Verteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist in jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. In der Ebene der belasteten Fläche (A_c1) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  hinzugefügt (wobei A_real die Auflagerfläche ist, die im 2D-Berechnungsmodell angenommen wird). Diese Fläche nimmt in Richtung der rechnerischen Verteilungsfläche (A_c2) linear bis auf null ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Die Tragfähigkeit des teilflächenbelasteten Bereichs wird gemäß dem in ACI 318-19, Kap. 22.8 festgelegten Verhältnis von rechnerischer Verteilungsfläche zu belasteter Fläche erhöht.  Dabei ist zu beachten, dass es sich um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einem teilflächenbelasteten Bereich, dessen tatsächlicher Kraftfluss wesentlich komplizierter ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Verteilung der Last auf das gesamte Modell und berücksichtigt dabei die erhöhte Tragfähigkeit des teilflächenbelasteten Bereichs. Zudem werden in diesem Bereich Querspannungen korrekt eingeführt, um die Bewehrung für Spaltkräfte richtig zu bemessen.

Die zulässige Auflagerpressung von 0.85f_c' ist in Tabelle 22.8.3.2 angegeben. Die Dichte wird so begrenzt, dass die in der Formel in Tabelle 22.8.3.2(b) angegebene maximale doppelte Tragfähigkeit nicht überschritten wird.  

Für die Verankerungsbereiche wird die PLA in der Anwendung auf dieselbe Weise wie für Auflager verwendet. Daher müssen die in ACI 318-19, Kap. 25.9 definierten lokalen Bereiche manuell nach ACI 318-19, 25.9.3 nachgewiesen werden. Die PLA wird deshalb nur verwendet, um eine Überschreitung des Dehnungskriteriums im lokalen Bereich und damit einen vorzeitigen Abbruch der Berechnung zu vermeiden. Dagegen kann die Bewehrung, die den Spaltzug- und Abplatzspannungen in der Ebene widersteht, gemäß ACI 318-19, Abschnitt 25.9.4.3.1 (b) direkt und mit Vorteil in der Anwendung nachgewiesen werden.

Bewertungen der Gebrauchstauglichkeit werden für die Spannungsbegrenzung, die Rissbreite und die Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Die Spannungen in Beton und Bewehrungselementen werden nach ACI 318-19 auf ähnliche Weise nachgewiesen wie für die Tragfähigkeit.

Spannungsbegrenzung

Die zulässigen Betondruckspannungen unter Gebrauchslast müssen für vorgespannte Bauteile der Klassen U und T nachgewiesen werden. Gemäß Tabelle R24.5.2.1 ist für Beton, der als gerissen angenommen wird, kein Nachweis der Spannungsbegrenzung erforderlich. Der Benutzer muss die Klasse des vorgespannten Bauteils in den Einstellungen des Bemessungsbauteils festlegen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

Die zulässige Druckspannung für Bauteile unter vorübergehenden Lasten ist in ACI 318-19 24.5.4.1 als 0,6f_c'. festgelegt. Die Druckspannungsgrenze von 0,45f_c' wurde festgelegt, um die Versagenswahrscheinlichkeit von vorgespannten Betonbauteilen infolge wiederholter Lasten zu verringern. Diese Grenze erschien außerdem angemessen, um übermäßige Kriechverformungen auszuschließen. Bei höheren Spannungswerten nehmen die Kriechdehnungen mit zunehmender Spannung tendenziell schneller zu.

Die Betonspannung im Druckbereich wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c = σ_c2 aus der FE-Analyse für die Gebrauchstauglichkeit und dem Grenzwert ausgewertet, der anhand von Tabelle 24.5.4.1 festgelegt wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In der Anwendung wird Vorspannung plus ständige Last als Langzeitkombination und Vorspannung plus Gesamtlast als Kurzzeitkombination behandelt.

Durchbiegung

Je nach gewähltem Kombinationstyp (Langzeit oder Kurzzeit) wird entweder die Langzeit- oder die Kurzzeitdurchbiegung ausgewertet. Der maximal zulässige Wert der Durchbiegung ist vom Benutzer festzulegen und gemäß ACI 138-19 24.2 zu berücksichtigen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

In der Anwendung können die Durchbiegungen aus Eigenlast Δ_DL und Nutzlast Δ_LL sowie die Gesamtdurchbiegung Δ_Tot (Eigenlast + Nutzlast) getrennt angezeigt werden, jeweils zusammen mit der verformten Form.

Durchbiegungen an gekürzten Enden können nicht nachgewiesen werden.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden für Kurzzeit- oder Langzeitkombinationen der Gebrauchstauglichkeit berechnet. Da ACI Rissbreitengrenzen nicht direkt vorschreibt, muss der Benutzer eine Grenzrissbreite w_lim festlegen.

Die Nachweise werden wie folgt dargestellt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

mit:

w         Kurzzeit- oder Langzeit-Rissbreite, berechnet mit der FE-Analyse,

w_lim     vom Benutzer definierter Grenzwert der Rissbreite.

Die in der Anwendung verwendete Methode zur Berechnung der Rissbreiten, die auch in diesem Dokument ausführlicher beschrieben wird, entspricht ACI 224R-01. Daher kann Tabelle 4.1 aus ACI 224R-01 verwendet werden, um den Grenzwert der Rissbreiten zu bestimmen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Es gibt zwei Möglichkeiten, Rissbreiten zu berechnen (stabilisierte und nicht stabilisierte Rissbildung). Im allgemeinen Fall (stabilisierte Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird anschließend aus den drei nächstgelegenen Integrationspunkten (ausgehend vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung) der 2D-Betonelemente berechnet. Dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen entspricht zwar nicht der tatsächlichen Lage der Risse, liefert aber dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Beton – Festigkeit

Das für die Festigkeitsberechnungen in CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Annahmen der AASHTO-LRFD-Festigkeitsbemessung hinsichtlich Gleichgewicht und Dehnungskompatibilität. Gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.1, wird die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt für Beton unter Druck kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 bis zu einem Maximalwert von 5 % angesetzt, während AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.1, eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % annimmt). Aufgrund dieser Vereinfachung kann die Verformungsfähigkeit von Strukturen, die auf Druck versagen, nicht nachgewiesen werden. Die Festigkeit wird jedoch zutreffend vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Fig. 57)) die mit steigender Festigkeit zunehmende Sprödigkeit des beton über den Abminderungsfaktor $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

mit:

α₁ ist der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.2.2. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Widerstandsbeiwert für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4.2, festgelegt.

k_c2 ist der Abminderungsfaktor infolge von Querrissen.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen beruht wie der Wirksamkeitsbeiwert des Betons ν in AASHTO LRFD (2024), 5.8.2.5.3a und Tabelle 5.8.2.5.3a-1. Der Unterschied besteht darin, dass in CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element geprüft wird (nicht nur für die Knoten des Strebe-und-Zugband-Modells).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält gewisse Vereinfachungen der Materialgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve von Beton unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Gesetz der Druckerweichung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Spannungsgrenzen der Materialien im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließgrenzen liegen (entsprechend dem Ansatz des Gebrauchstauglichkeits-Grenzzustands nach AASHTO LRFD). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Das Langzeit-Materialgesetz (die rote Kurve in Fig. 59) wird für die Berechnung der Rissbreite, der gesamten Durchbiegung und für die Spannungsbegrenzung vorgespannter Bauteile verwendet, wenn in der oberen Multifunktionsleiste der Langzeiteffekt ausgewählt ist. In der IDEA StatiCa Detail-Anwendung wird für den Nachweis der Langzeiteffekte der effektive Elastizitätsmodul verwendet, wie in AASHTO LRFD (2024), C5.12.5.3.6-1, angegeben.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

mit:
E_c ist der Elastizitätsmodul gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.2.4
ψ ist die Kriechzahl gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.2.3.2

Die Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert.

Kurzzeiteffekte

Für die Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für die Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Fig. 59 dargestellt.

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit definierter Streckgrenze angesetzt, siehe AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.3. Für die Definition dieses Diagramms müssen nur die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein – die Festigkeit und der Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall kann jedoch der Effekt der Zugverfestigung nicht berücksichtigt werden (die Rissbreite kann nicht berechnet werden). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

mit:

Φ_s ist der Widerstandsbeiwert für die Bewehrung. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4.2, festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s ist der Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, ist 10 % gewählt. Dies gilt auf Grundlage von ASTM A955/A955M-20c, Artikel 7, als sicher.

Die Zugverfestigung (Fig. 61)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannung-Dehnung-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren entspricht den modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standard-Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwert-Format ohne Anpassung angewendet werden. Dabei werden die Eingangslasten mit Faktoren beaufschlagt und die charakteristischen Materialeigenschaften mit den jeweiligen Widerstandsfaktoren reduziert, genau wie bei der herkömmlichen Betonberechnung.

Die Werte der Widerstandsfaktoren sind in AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.5.4, vorgeschrieben. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung sind konservativ gewählt. Sie basieren auf der Annahme, dass das typische gelöste Beispiel ein D-Bereich ist, der Standardfall für das SaT-Verfahren. Es ist jedoch möglich, jeden Elementtyp zu modellieren. Wird daher ein druck- oder zugkontrolliertes Element nachgewiesen, kann der Benutzer den Wert des Festigkeitsreduktionsfaktors in den Einstellungen ändern.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren und Lastkombinationen sind gemäß AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 und Tabellen 3.4.1-1 bis 3.4.1-6, zu definieren. AASHTO LRFD legt die Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (Strength I bis Strength V) sowie die Lastkombinationen für die Gebrauchstauglichkeit (Service I bis Service IV) ausdrücklich fest, einschließlich der zugehörigen Lastfaktoren für jeden Fall.

Für jede Vorlage enthält das Programm vordefinierte Grundkombinationen, die je nach bearbeitetem Element vervollständigt werden müssen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen von AASHTO geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Festigkeit der Bewehrung und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis der maximalen Hauptdruckspannung f_c (auch σ₂ in den Hilfsergebnissen) aus der FE-Berechnung zum Grenzwert f'_c,lim ausgewertet.

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl für Zug als auch für Druck als Verhältnis der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s zum festgelegten Grenzwert f_y,lim ausgewertet.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig davon als Verhältnis der in der FE-Berechnung ermittelten Verbundspannung τ_b zur Verbundfestigkeit f_bu ausgewertet.

Da die Verbundfestigkeit in AASHTO jedoch nicht explizit definiert ist, muss ihr Wert mithilfe der Gleichungen bestimmt werden, die die Verankerungslänge definieren. Die Verbundfestigkeit ist tatsächlich die primäre Eingangsgröße für die Bestimmung der Verankerungslänge; siehe zum Beispiel AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 oder NCHRP Report 733, Attachment E, Seite E-9.

Die in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 und 5.10.8.2.2 beschriebene Berechnung erfordert die Kenntnis des maximalen Achsabstands der Querbewehrung innerhalb von l_d, der Anzahl der Stäbe oder Drähte, die entlang der Spaltebene verankert werden, der gesamten Querschnittsfläche der gesamten Querbewehrung und weiterer geometrischer Größen. Diese Größen können im Modell der Detail-Anwendung für allgemeine Eingaben nicht zuverlässig bestimmt werden. Daher wurde ein Ansatz aus AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 auf die folgende Weise übernommen:

Wir nehmen an, dass bei einer Verankerung des Bewehrungsstabs in einem Betonblock über die Verankerungslänge l_d oder mehr das Herausziehen der Bewehrung zum Bruch der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies kann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

Dabei gilt:

• d_b ist der Durchmesser des Bewehrungsstabs
• l_d ist die Verankerungslänge
• f_bu ist die Verbundfestigkeit
• f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung
• A_b ist die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs

Aus dem Vorstehenden lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit einfach herleiten.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die Grundverankerungslänge für Zug l_db wird in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 wie folgt bestimmt:

Für Stäbe Nr. 11 und kleiner:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Für Stäbe Nr. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Für Stäbe Nr. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Dabei gilt:

• A_b ist die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs (in²)
• f_y ist die festgelegte Streckgrenze der Bewehrung (ksi)
• f'_c ist die festgelegte Druckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen, sofern kein anderes Alter festgelegt ist (ksi)
• d_b ist der Durchmesser des Bewehrungsstabs (in)

Anschließend wird die Verankerungslänge l_d als Eingangsgröße bestimmt, indem die Grundverankerungslänge l_db mit den in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 und 5.11.2.1.3 beschriebenen Faktoren multipliziert wird.

Die Modifikationsfaktoren aus 5.11.2.1.3, die die Verankerungslänge verringern, sind in der Anwendung immer gleich 1,0. Der Modifikationsfaktor für obere horizontale oder nahezu horizontale Bewehrung ist bei „schlechten“ Verbundbedingungen gemäß der folgenden Abbildung gleich 1,4:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Die Betonierrichtung kann in der Anwendung eingestellt werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Alle anderen in 5.11.2.1.2 bestimmten Faktoren sind gleich 1,0, da nur Normalbeton und nur unbeschichtete Bewehrung unterstützt werden.

Die Verbundschubspannung und die Verbundfestigkeit von Stäben unter Druck werden analog zu Stäben unter Zug berechnet, jedoch werden dabei die Gleichungen aus AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 verwendet.

Es besteht außerdem die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Berechnung und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

Dabei ist A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

Dabei ist F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft, die sich durch Integration der Verbundspannung τ_b entlang der Länge des Bewehrungsstabs l ergibt.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Bewehrungsstabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

Dabei ist C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

Dabei ist F_lim,add die zusätzliche Kraft, die aus dem Winkel zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss immer kleiner als F_u sein.

Zu den in CSFM verfügbaren Verankerungsarten gehören ein gerader Stab (d. h. keine Reduktion für das Verankerungsende), ein 90-Grad-Haken, ein 180-Grad-Haken, vollkommener Verbund und ein durchlaufender Stab. Alle diese Arten sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungsbeiwerten β in Fig. 67 für die Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der angesetzten Verankerungsbeiwerte werden aus dem Vergleich der Gleichung aus AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 mit den Gleichungen aus AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduktion der Verankerungslänge, (ii) eine Reduktion der Verankerungslänge um 30 % bei einer normierten Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchoragetypes and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungsbeiwert für Bügel (verfügbar für das Beam-Element) beträgt immer β = 1,0.

Um die Anforderungen von AASHTO zu erfüllen, sollte in der Berechnung die Verankerungsfeder verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, daher muss der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden. 

Bei der Bemessung von Betonstrukturen treten zwei große Gruppen von teilflächenbelasteten Bereichen (PLA) auf. Die erste umfasst Auflager, die zweite Verankerungsbereiche. 

Nach den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstrukturen sind bei Auflagern das lokale Quetschen des Betons und die Querzugkräfte zu berücksichtigen. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A₁ kann die Drucktragfähigkeit des Betons in Abhängigkeit von der rechnerischen Verteilungsfläche A₂ bis auf das Doppelte erhöht werden. Siehe AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Für Verankerungsbereiche von nachgespannten Bauteilen ist AASHTO LRFD (2024) Article 5.8.4.4 zu beachten.

Der teilflächenbelastete Bereich muss mit ausreichender Querbewehrung versehen sein. Diese ist so zu bemessen, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltkräfte überträgt. Ohne die erforderliche Querbewehrung darf eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons nicht berücksichtigt werden.

Teilflächenbelastete Bereiche im CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mit dem CSFM lassen sich Stahlbetonstrukturen bemessen und bewerten, wobei der Einfluss der zunehmenden Druckfestigkeit des Betons in teilflächenbelasteten Bereichen berücksichtigt wird. Das CSFM ist ein Scheibenmodell (2D), während teilflächenbelastete Bereiche eine räumliche (3D) Aufgabenstellung darstellen. Daher musste eine Lösung gefunden werden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 69). Wird die Funktion „Teilflächenbelastete Bereiche“ aktiviert, wird die zulässige Kegelgeometrie nach ACI erzeugt (Abb. 68). Alle geometrischen Überschneidungen werden vollständig in 3D für die vorgegebene Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jedes PLA gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell des teilflächenbelasteten Bereichs erstellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz. Der Hauptgrund dafür war, dass die Abbildung der Eigenschaften auf das Netz der finiten Elemente problematisch ist. Es zeigte sich, dass ein vom Netz der finiten Elemente unabhängiger Ansatz die besser geeignete Lösung ist. Für die bekannte Geometrie des Druckkegels werden vollständig zusammenhängende fiktive Druckstreben erzeugt (Abb. 70 und Abb. 71). Diese Streben haben dieselben Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last schrittweise vom PLA auf die rechnerische Verteilungsfläche verteilen. Die flächenbezogene Dichte der fiktiven Streben ist in jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. In der Ebene der belasteten Fläche (A₁) wird entsprechend dem Verhältnis $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  eine fiktive Betonfläche hinzugefügt (wobei A_real die im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist). Diese Fläche nimmt linear bis auf null zur rechnerischen Verteilungsfläche (A₂) hin ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Betondruckspannung über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Die Tragfähigkeit des teilflächenbelasteten Bereichs wird entsprechend dem Verhältnis von rechnerischer Verteilungsfläche zu belasteter Fläche erhöht, wie in AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5 festgelegt.  Es ist zu beachten, dass es sich um ein Bemessungsmodell handelt, das den Spannungszustand über einem teilflächenbelasteten Bereich, dessen tatsächlicher Kraftfluss wesentlich komplizierter ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Verteilung der Last auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit des teilflächenbelasteten Bereichs. Darüber hinaus werden in diesem Bereich die Querspannungen korrekt erfasst, sodass die Bewehrung für Spaltkräfte richtig bemessen werden kann.

Die zulässige Auflagerpressung von 0,85f_c' ist in AASHTO LRFD (2024) Article 5.8.4.4 angegeben. Die Dichte wird so begrenzt, dass die in Formel 5.6.5-3 angegebene maximale doppelte Tragfähigkeit nicht überschritten wird.  

Für die Verankerungsbereiche wird das PLA in der Anwendung auf dieselbe Weise verwendet wie für Auflager. Deshalb müssen die Druckspannungen in den lokalen und globalen Bereichen, die in Article 5.8.4.4 und 5.8.4.5 definiert sind, manuell nachgewiesen werden. Das PLA dient daher nur dazu, eine Überschreitung des Dehnungskriteriums im lokalen Bereich und damit einen vorzeitigen Abbruch der Berechnung zu vermeiden. Dagegen kann die Bewehrung, die den Spaltzug-, den Abplatz- (in der Ebene) und den Randzugspannungen in den globalen Bereichen (definiert in Article 5.8.4.5) widersteht, direkt und mit Vorteil in der Anwendung nachgewiesen werden.

Die Bewertungen der Gebrauchstauglichkeit werden für die Spannungsbegrenzung, die Rissbreite und die Durchbiegungsgrenzwerte durchgeführt. Die Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen werden nach AASHTO LRFD ähnlich geprüft wie für die Tragfähigkeit.

Spannungsbegrenzung

Die Betondruckspannung wird nur für vorgespannte Bauteile (wenn der Lastfall Vorspannung im Modell vorhanden ist) ausgewertet. Sie wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c = σ_c2 aus der FE-Analyse für die Gebrauchstauglichkeit und den Grenzwerten ermittelt. Die Grenzwerte werden nach AASHTO LRFD Tabelle 5.9.2.3.2a-1 festgelegt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In der Anwendung wird Vorspannung plus ständige Last als Sustain-Last behandelt und Vorspannung, ständige und veränderliche Last als Total-Last.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Zusätzlich kann immer eine Analyse sowohl für Kurzzeit- als auch für Langzeiteffekte durchgeführt werden. Dazu werden Materialmodelle verwendet, die den Kriechbeiwert entweder berücksichtigen oder nicht berücksichtigen – siehe Abschnitt „Materialmodelle (AASHTO)“.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Durchbiegung

Anfangsdurchbiegungen und Gesamtdurchbiegungen werden für jede Kombination ausgewertet, für die die Auswertung der Durchbiegung aktiviert ist. 

• Für Anfangsdurchbiegungen wird der Elastizitätsmodul E_c nach AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.4.2.4, verwendet. 
• Für Gesamtdurchbiegungen wird der effektive Elastizitätsmodul E_c,eff nach AASHTO LRFD (2024), Artikel C5.12.5.3.6, verwendet. 

Siehe das Kapitel 'Materialmodelle (AASHTO) - Beton – Gebrauchstauglichkeit' in diesem Dokument.

Der Nachweis der Durchbiegung selbst wird in der oberen Multifunktionsleiste aktiviert. Der Benutzer legt die Grenzwerte der Durchbiegung nach AASHTO LRFD (2024), Artikel 2.5.2.6.2, in Abhängigkeit vom Typ des untersuchten Elements fest.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Die Durchbiegung an gekürzten Enden kann nicht nachgewiesen werden.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden nur für Langzeiteffekte berechnet (mit E_c,eff nach AASHTO LRFD (2024), Artikel C5.12.5.3.6). Dies gilt für Kombinationen, für die die Auswertung der Rissbreite aktiviert ist. Die Nachweise auf Grundlage der vom Benutzer festgelegten Grenzwerte lauten wie folgt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

wobei:

w         die mit der FE-Analyse berechnete Rissbreite ist,

w_lim     der vom Benutzer festgelegte Grenzwert der Rissbreite ist.

Der Grenzwert w_lim ist in Abhängigkeit vom Elementtyp und von der Expositionsklasse nach AASHTO LRFD (2024), Artikel 5.6.7 und dem zugehörigen Kommentar, zu bestimmen. 

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Rissbreiten (abgeschlossenes Rissbild und Erstrissbildung). Im allgemeinen Fall (abgeschlossenes Rissbild) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an den 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird anschließend aus den drei nächstgelegenen Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet, gemessen vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung. Diese Berechnung der Rissrichtungen entspricht zwar nicht der tatsächlichen Lage der Risse. Sie liefert aber dennoch repräsentative Werte, aus denen sich Rissbreiten ergeben, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Beton – Festigkeit

Das in CSFM für Festigkeitsberechnungen implementierte Betonmodell basiert auf der parabelförmig-plastischen Spannung-Dehnung-Kurve. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie auch in der klassischen Stahlbetonbemessung.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 mit einem Maximalwert von 5 % angesetzt, während AS 3600 Cl. 8.3.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % annimmt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungskapazität von Konstruktionen, die auf Druck versagen, nachzuweisen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Fig. 77)) die Zunahme der Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mithilfe des Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₂ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit nach AS 3600 Cl. 8.3.1 ist
Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms ist es erforderlich, die maximale Druckspannung um diesen Faktor abzumindern. Dadurch wird die Spannungsverteilung in der Druckzone so gemittelt, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird. Ein analoges Vorgehen ist für den Rechteck-Spannungsblock in Kapitel 8.1.3 definiert.

Φ_s der Abminderungsfaktor der Spannung für Beton ist. Der Standardwert wird gemäß AS 3600 Table 2.2.3 festgelegt.

β der Abminderungsfaktor infolge von Querrissen ist (in diesem Text auch als k_c2 bezeichnet)