相互作用

剪力与扭矩对抗剪钢筋的相互作用

确定抗剪钢筋中由剪力引起的力。 

计算基于 EN 1992-1-1 中定义的抗剪钢筋承载力计算公式。根据公式 6.13（第 6.2.3 (4) 条），单肢箍筋的承载力可推导为：

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . 所考虑截面中承受剪力的单肢箍筋截面面积

s .  .  .  .  . 沿构件纵轴方向的抗剪钢筋间距 

a_sw,V .  .  . 单位长度内抗剪钢筋的截面面积

z .  .  .  .  . 内力臂。对于等截面构件，对应所考虑单元的弯矩。在无轴力的钢筋混凝土抗剪分析中，通常可采用近似值 z = 0.9d。

f_ywd .  .  .  抗剪钢筋的屈服强度设计值

θ .  .  .  .  . 混凝土压杆与垂直于剪力的构件轴线之间的夹角

α .  .  .  .  . 抗剪钢筋与垂直于剪力的构件轴线之间的夹角

β .  .  .  .  . 箍筋肢相对于所施加剪力合力的倾斜角

剪力根据钢筋角度及各箍筋肢的轴向刚度，均匀分配给各抗剪钢筋。

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

进一步，可推导出沿合力剪力方向考虑的平均钢筋应变：

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

第 i 根钢筋的实际应变可计算为：

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

给定钢筋肢中的拉力：

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

确定各箍筋由扭矩引起的力

截面的抗扭承载力可基于薄壁闭合截面进行计算，其中平衡条件由闭合剪力流满足。实心截面可用等效薄壁截面模拟。对于非实心截面，等效壁厚不应超过实际壁厚。

由扭矩引起的薄壁闭合截面壁中剪力流可计算为：

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

特定壁中的剪力为：

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . 所考虑壁中心线的长度

腹板中的剪力——腹板中心线长度可用内力臂"z"的值代替。

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

每米构件长度（单位长度）内抗扭箍筋中的力：

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

各箍筋的力分解

若所有箍筋采用相同材料，则每肢箍筋由扭矩引起的应力为常数。则：

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

其中 a_sw,T 为单位长度内抗扭箍筋的总面积。

若各箍筋采用不同材料，则必须考虑各钢筋的轴向刚度。

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . 抗扭钢筋肢数（钢筋组数）

F_si,T .  .  . 第 i 组钢筋由单位长度扭矩产生的力

a_si,T .  .  . 单位长度内抗扭抗剪钢筋的截面面积 

E_si,T .  .  . 第 i 组抗扭钢筋的弹性模量

ε_sw,T .  .  由扭矩引起的钢筋应变

由所施加扭矩引起的各箍筋中的应力计算为：

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T 相互作用

箍筋中由剪力和扭矩引起的应力计算，是各荷载分量引起的应力之和。 

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

第 i 根钢筋中的合力：

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

剪力、扭矩与弯矩对纵向钢筋的相互作用

确定各纵向钢筋由轴力和弯矩引起的力

RCS 软件用于计算轴力与弯矩组合作用下的截面响应，以确定各纵向钢筋和预应力钢筋中的应力和应变。

确定各纵向钢筋由剪力引起的力

纵向钢筋中由剪力引起的拉力增量 ΔF_td 取决于拉压杆模型的几何形状。 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  由剪力引起的纵向钢筋拉力增量

V_ed .  .  .  . 所考虑截面处作用剪力的设计值

θ .  .  .  .  . 混凝土压杆与构件轴线之间的夹角 

α .  .  .  .  . 抗剪钢筋与构件轴线之间的夹角

对于位于受拉翼缘的纵向钢筋，由 N+M+V 组合作用引起的纵向钢筋合力 F_t 不应大于 M_Ed,max/z（其中 M_Ed,max 为梁沿长度方向的最大弯矩）

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

力 ΔF_td 由位于截面抗剪部分（工字形截面情况下为腹板）的所有有粘结预应力钢束和钢筋共同承担。偏于安全，预应力钢筋的贡献可取为 0。计算假定各抗剪纵向钢筋的轴向应变增量相等（Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = 常数）。该推导适用于具有水平塑性段的双折线钢筋工作图。若采用斜线段图，则计算须作相应修正。

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . 由剪力引起的纵向钢筋应变增量

n_s,V .  .  .  . 抗剪纵向钢筋的数量

A_sl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪纵向钢筋的面积

E_sl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪纵向钢筋的弹性模量

n_p,V .  .  .  . 抗剪钢束的数量

A_pl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪钢束的面积

E_pl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪钢束的弹性模量

确定力 ΔF_td 的值后，即可计算平均钢筋应变 Δε_V。

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

由所施加剪力引起的各纵向钢筋应力增量：

对于普通钢筋 $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

对于钢束 $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

确定各纵向钢筋由扭矩引起的力

确定抗扭纵向钢筋至关重要。这些钢筋位于抗扭等效薄壁截面中。

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

根据 EN 1992-1-1，纵向抗扭钢筋须满足以下几个条件：

- 钢筋应沿 z_i 长度均匀分布，但对于小截面，钢筋可集中布置在箍筋角部

- 纵向钢筋的最大轴向间距为 350 mm

根据 EN 1992-1-1，不考虑预应力钢筋的贡献。

EN 1992-2 规定，可考虑预应力钢筋的贡献，但预应力钢筋的最大应力增量不应超过 Δσ_p ≤ 500MPa。则公式可修改为：

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

然而，由于预应力钢筋的增量可以考虑，但由用户自行选择。目前，计算中不考虑预应力钢筋。 

计算假定各抗剪纵向钢筋的轴向应变增量相等（Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = 常数）。该推导适用于具有水平塑性段的双折线钢筋工作图。若采用上升段图，则计算须作相应修正。

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . 所考虑截面处施加扭矩的设计值

θ .  .  .  .  . 压力斜杆相对于梁纵轴的倾斜角（与剪力情况相同）

u_k .  .  .  .  面积 A_k 的周长

A_f .  .  .  .  由等效空心薄壁截面中心线所围成的面积

n_s,T .  .  .  .抗扭纵向混凝土钢筋的数量

A_sl,i,T .  .  . 第 i 根抗扭纵向混凝土钢筋的面积

Δε_T .  .  .  .由扭矩引起的纵向钢筋变形变化量

Δσ_s,i,T .  .  由扭矩引起的第 i 根纵向钢筋应力变化量

E_sl,i,T .  .  . 第 i 根抗扭纵向混凝土钢筋的弹性模量

由所施加扭矩引起的各纵向钢筋应力增量：

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$