Interacción

Interacción de la fuerza cortante y la torsión para la armadura de cortante

Determinación de la fuerza en la armadura de cortante debida a la fuerza cortante. 

El cálculo se basa en la fórmula para calcular la resistencia de la armadura de cortante definida en EN 1992-1-1. A partir de la ecuación 6.13 (cap. 6.2.3 (4)), la resistencia portante de una rama de estribo puede derivarse como:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . área de la sección transversal de una rama de estribo que resiste el cortante en la sección considerada

s .  .  .  .  . separación de la armadura de cortante en la dirección del eje longitudinal del elemento

a_sw,V .  .  . área de la sección transversal de la armadura de cortante por unidad de longitud

z .  .  .  .  . el brazo mecánico interior. Para un elemento de canto constante, correspondiente al momento flector en el elemento considerado. En el análisis a cortante de hormigón armado sin fuerza axial, normalmente puede utilizarse el valor aproximado z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  el valor de cálculo del límite elástico de la armadura de cortante

θ .  .  .  .  . el ángulo entre la biela comprimida de hormigón y el eje del elemento perpendicular a la fuerza cortante

α .  .  .  .  . el ángulo entre la armadura de cortante y el eje del elemento perpendicular a la fuerza cortante

β .  .  .  .  . inclinación de la rama del estribo respecto a la resultante de la fuerza cortante aplicada

La fuerza cortante se redistribuye uniformemente entre las armaduras individuales que resisten la fuerza cortante en función del ángulo de la armadura y la rigidez axial de las ramas individuales del estribo.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Además, puede derivarse la deformación media de la armadura considerada en la dirección de la fuerza cortante resultante:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

La deformación real de la i-ésima armadura puede calcularse como:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

La tensión en una rama determinada de la armadura:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Determinación de la fuerza en cada estribo debida a la torsión

La resistencia a torsión de una sección puede calcularse sobre la base de una sección cerrada de pared delgada, en la que el equilibrio se satisface mediante un flujo de cortante cerrado. Las secciones macizas pueden modelarse mediante secciones equivalentes de pared delgada. Para secciones no macizas, el espesor equivalente de pared no debe superar el espesor real de la pared.

El flujo de cortante en las paredes de una sección cerrada de pared delgada debido a la torsión puede calcularse como:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

La fuerza cortante en una pared particular es entonces:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . longitud de la línea media de la pared considerada

Fuerza cortante en el alma: la longitud de la línea media del alma puede sustituirse por el valor del brazo mecánico "z".

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Fuerza en los estribos que resisten la torsión por metro de longitud del elemento (por unidad de longitud):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Descomposición de fuerzas para cada estribo

Si se define el mismo material para todos los estribos, la tensión resultante debida a la torsión en cada rama del estribo es constante. Entonces:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

donde a_sw,T es el área total de estribos que resisten la torsión por unidad de longitud.

En el caso de que los estribos individuales tengan materiales diferentes, debe tenerse en cuenta la rigidez axial de las barras individuales.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . número de ramas de armadura (grupos de armadura) que resisten la torsión

F_si,T .  .  . fuerza en el i-ésimo grupo de armadura resultante de la torsión por unidad de longitud

a_si,T .  .  . área de la sección transversal de la armadura de cortante que resiste la torsión por unidad de longitud 

E_si,T .  .  . módulo de elasticidad de Young del i-ésimo grupo de armadura que resiste la torsión

ε_sw,T .  .  deformación en la armadura debida a la torsión

La tensión resultante en cada estribo debida a la torsión aplicada se calcula como:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

Interacción V+T

El cálculo de las tensiones en los estribos debidas al cortante y a la torsión es la suma de las tensiones debidas a los componentes de carga individuales.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Fuerza resultante en la i-ésima armadura:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interacción de cortante, torsión y flexión para la armadura longitudinal

Determinación de la fuerza en cada armadura longitudinal debida a la fuerza normal y al momento flector

La aplicación RCS se utiliza para calcular la respuesta de la sección transversal debida a la combinación de la fuerza normal y el momento flector, con el fin de determinar la tensión y la deformación en las barras longitudinales individuales y en la armadura de pretensado.

Determinación de la fuerza en la armadura longitudinal individual debida a la fuerza cortante

El incremento de la fuerza de tracción en la armadura longitudinal ΔF_td debida a la fuerza cortante depende de la geometría del modelo de biela y tirante. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  incremento de la fuerza de tracción en la armadura longitudinal debida a la fuerza cortante

V_ed .  .  .  . valor de cálculo de la fuerza cortante que actúa en la sección considerada

θ .  .  .  .  . el ángulo entre la biela comprimida de hormigón y el eje del elemento

α .  .  .  .  . el ángulo entre la armadura de cortante y el eje del elemento

Para la armadura longitudinal situada en el cordón traccionado, la fuerza resultante F_t en la armadura longitudinal debida a la combinación N+M+V no debe ser mayor que M_Ed,max/z (donde M_Ed,max es el momento máximo a lo largo de la viga)

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

La fuerza ΔF_td es transmitida por todos los tendones de pretensado adherentes y la armadura situada en la parte de la sección transversal que resiste el cortante (el alma en el caso de un perfil en I). Del lado de la seguridad, la contribución de la armadura de pretensado puede considerarse 0. La hipótesis del cálculo es que el incremento de la deformación axial de la armadura longitudinal individual que resiste el cortante es constante (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). La derivación es válida para un diagrama de trabajo bilineal de la armadura con rama plástica horizontal. En el caso de un diagrama con rama inclinada, el cálculo debe modificarse.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . incremento de deformación en la armadura longitudinal debida a la fuerza cortante

n_s,V .  .  .  . número de armaduras longitudinales que resisten la fuerza cortante

A_sl,i,V .  .  . área de la i-ésima armadura longitudinal que resiste la fuerza cortante

E_sl,i,V .  .  . módulo de elasticidad de Young de la i-ésima armadura longitudinal que resiste la fuerza cortante

n_p,V .  .  .  . número de tendones que resisten la fuerza cortante

A_pl,i,V .  .  . área del i-ésimo tendón que resiste la fuerza cortante

E_pl,i,V .  .  . módulo de elasticidad de Young del i-ésimo tendón que resiste la fuerza cortante

Tras determinar el valor de la fuerza ΔF_td, puede calcularse la deformación media de la armadura Δε_V.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Incremento de tensión en las barras longitudinales individuales debida a la fuerza cortante aplicada:

para barra corrugada $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

para tendón $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Determinación de la fuerza en cada armadura longitudinal debida a la torsión

Es muy importante determinar la armadura longitudinal que resiste la torsión. Estas son las armaduras situadas en una sección transversal alternativa de pared delgada hueca equivalente que resiste la torsión.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Según EN 1992-1-1, deben cumplirse varias condiciones para la armadura longitudinal resistente a la torsión:

- la armadura debe distribuirse uniformemente a lo largo de la longitud z_i, pero en secciones transversales pequeñas la armadura puede concentrarse en las esquinas del estribo

- la distancia axial máxima de la armadura longitudinal es de 350 mm

La contribución de la armadura de pretensado no se considera según EN 1992-1-1.

La norma EN 1992-2 establece que puede considerarse la contribución de la armadura de pretensado, pero el incremento máximo de tensión en la armadura de pretensado no debe superar Δσ_p ≤ 500MPa. La fórmula puede entonces modificarse:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Sin embargo, dado que el incremento de la armadura de pretensado puede considerarse, queda a elección del usuario. Actualmente, la armadura de pretensado no se considera en el cálculo. 

La hipótesis del cálculo es que el incremento de la deformación axial de cada armadura longitudinal que resiste el cortante es constante (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). La derivación es válida para un diagrama de trabajo bilineal de la armadura con rama plástica horizontal. En el caso de un diagrama con rama creciente, el cálculo debe modificarse.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . el valor de cálculo del torsor aplicado en la sección considerada

θ .  .  .  .  . inclinación de las diagonales comprimidas respecto al eje longitudinal de la viga (idéntica a la de la fuerza cortante)

u_k .  .  .  .  perímetro del área A_k

A_f .  .  .  .  el área definida por la línea media de la sección hueca de pared delgada equivalente

n_s,T .  .  .  .número de armaduras longitudinales de hormigón que resisten el torsor

A_sl,i,T .  .  . área de la i-ésima armadura longitudinal de hormigón que resiste el torsor

Δε_T .  .  .  .la variación de la deformación de la armadura longitudinal debida al torsor

Δσ_s,i,T .  .  variación de tensión en la i-ésima armadura longitudinal debida al torsor

E_sl,i,T .  .  . módulo de elasticidad de la i-ésima armadura longitudinal de hormigón que resiste el torsor

Incremento de tensión en cada armadura longitudinal debida al torsor aplicado:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$