Interacțiune

Interacțiunea forței tăietoare și a torsiunii pentru armătura de forfecare

Determinarea forței în armătura de forfecare datorată forței tăietoare. 

Calculul se bazează pe formula de calcul a rezistenței armăturii de forfecare definită în EN 1992-1-1. Pe baza ecuației 6.13 (cap. 6.2.3 (4)), rezistența portantă a unui picior de etrier poate fi derivată astfel:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . aria secțiunii transversale a unui picior de etrier care rezistă la forfecare în secțiunea considerată

s .  .  .  .  . distanța dintre armăturile de forfecare în direcția axei longitudinale a elementului 

a_sw,V .  .  . aria secțiunii transversale a armăturii de forfecare pe unitatea de lungime

z .  .  .  .  . brațul interior al forțelor. Pentru un element cu înălțime constantă, corespunzând momentului încovoietor în elementul considerat. În analiza la forfecare a betonului armat fără forță axială, se poate utiliza în mod obișnuit valoarea aproximativă z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  valoarea de calcul a limitei de curgere a armăturii de forfecare

θ .  .  .  .  . unghiul dintre bielă comprimată din beton și axa elementului perpendiculară pe forța tăietoare

α .  .  .  .  . unghiul dintre armătura de forfecare și axa elementului perpendiculară pe forța tăietoare

β .  .  .  .  . înclinarea piciorului etrierului față de rezultanta forței tăietoare aplicate

Forța tăietoare este redistribuită uniform între armăturile individuale care rezistă la forfecare, în funcție de unghiul armăturii și de rigiditatea axială a picioarelor individuale ale etrierilor.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

În continuare, deformația medie a armăturii considerată în direcția forței tăietoare rezultante poate fi derivată:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

Deformația reală a armăturii de ordinul i poate fi calculată astfel:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

Tensiunea într-un picior dat al armăturii:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Determinarea forței în fiecare etrier datorată torsiunii

Rezistența la torsiune a unei secțiuni poate fi calculată pe baza unei secțiuni închise cu pereți subțiri, în care echilibrul este satisfăcut printr-un flux de forfecare închis. Secțiunile pline pot fi modelate prin secțiuni echivalente cu pereți subțiri. Pentru secțiunile nepline, grosimea echivalentă a peretelui nu trebuie să depășească grosimea reală a peretelui.

Fluxul de forfecare în pereții unei secțiuni închise cu pereți subțiri datorat torsiunii poate fi calculat astfel:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Forța tăietoare într-un perete particular este:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . lungimea liniei mediane a peretelui considerat

Forța tăietoare în inimă - lungimea liniei mediane a inimii poate fi substituită prin valoarea brațului interior al forțelor „z".

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Forța în etrieri care rezistă la torsiune pe un metru de lungime a elementului (pe unitatea de lungime):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Descompunerea forțelor pentru fiecare etrier

Dacă același material este definit pentru toți etrieri, tensiunea rezultantă datorată torsiunii în fiecare picior de etrier este constantă. Atunci:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

unde a_sw,T este aria totală a etrierilor care rezistă la torsiune pe unitatea de lungime.

În cazul în care etrieri individuali au materiale diferite, trebuie luată în considerare rigiditatea axială a barelor individuale.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . numărul de picioare ale armăturii (grupuri de armătură) care rezistă la torsiune

F_si,T .  .  . forța în grupul de armătură de ordinul i rezultată din torsiune pe unitatea de lungime

a_si,T .  .  . aria secțiunii transversale a armăturii de forfecare care rezistă la torsiune pe unitatea de lungime 

E_si,T .  .  . modulul de elasticitate Young al grupului de armătură de ordinul i care rezistă la torsiune

ε_sw,T .  .  deformația în armătură datorată torsiunii

Tensiunea rezultantă în fiecare etrier datorată torsiunii aplicate se calculează astfel:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

Interacțiunea V+T

Calculul tensiunilor în etrieri datorat forței tăietoare și torsiunii reprezintă suma tensiunilor datorate componentelor individuale de încărcare.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Forța rezultantă în armătura de ordinul i:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interacțiunea forței tăietoare, torsiunii și încovoierii pentru armătura longitudinală

Determinarea forței în fiecare armătură longitudinală datorată forței normale și momentului încovoietor

Aplicația RCS este utilizată pentru a calcula răspunsul secțiunii transversale la combinația forței normale și a momentului încovoietor, în vederea determinării tensiunii și deformației în barele longitudinale individuale și în armătura pretensionată.

Determinarea forței în armătura longitudinală individuală datorată forței tăietoare

Incrementul forței de întindere în armătura longitudinală ΔF_td datorat forței tăietoare depinde de geometria modelului Bielă-tiranți. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  incrementul forței de întindere în armătura longitudinală datorat forței tăietoare

V_ed .  .  .  . valoarea de calcul a forței tăietoare care acționează în secțiunea considerată

θ .  .  .  .  . unghiul dintre bielă comprimată din beton și axa elementului 

α .  .  .  .  . unghiul dintre armătura de forfecare și axa elementului

Pentru armătura longitudinală situată în talpa întinsă, forța rezultantă F_t în armătura longitudinală datorată combinației N+M+V nu trebuie să depășească M_Ed,max/z (unde M_Ed,max este momentul maxim de-a lungul grinzii)

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

Forța ΔF_td este preluată de toate armăturile pretensionate aderente și de armătura situată în partea secțiunii transversale care rezistă la forfecare (inima în cazul unui profil I). Pe partea sigură, contribuția armăturii pretensionate poate fi considerată 0. Ipoteza de calcul este că incrementul deformației axiale al armăturii longitudinale individuale care rezistă la forfecare este constant (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Derivarea este valabilă pentru o diagramă bilineară de lucru a armăturii cu ramură plastică orizontală. În cazul unei diagrame cu ramură înclinată, calculul trebuie modificat.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . incrementul de deformație în armătura longitudinală datorat forței tăietoare

n_s,V .  .  .  . numărul de armături longitudinale care rezistă la forța tăietoare

A_sl,i,V .  .  . aria armăturii longitudinale de ordinul i care rezistă la forța tăietoare

E_sl,i,V .  .  . modulul de elasticitate Young al armăturii longitudinale de ordinul i care rezistă la forța tăietoare

n_p,V .  .  .  . numărul de armături pretensionate care rezistă la forța tăietoare

A_pl,i,V .  .  . aria armăturii pretensionate de ordinul i care rezistă la forța tăietoare

E_pl,i,V .  .  . modulul de elasticitate Young al armăturii pretensionate de ordinul i care rezistă la forța tăietoare

După determinarea valorii forței ΔF_td, deformația medie a armăturii Δε_V poate fi calculată.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Incrementul de tensiune în barele longitudinale individuale datorat forței tăietoare aplicate:

pentru bară $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

pentru armătură pretensionată $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Determinarea forței în fiecare armătură longitudinală datorată torsiunii

Este foarte important să se determine armătura longitudinală care rezistă la torsiune. Acestea sunt armăturile situate într-o secțiune transversală alternativă echivalentă cu pereți subțiri care rezistă la torsiune.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Conform EN 1992-1-1, mai multe condiții trebuie îndeplinite pentru armătura longitudinală rezistentă la torsiune:

- armătura trebuie distribuită uniform pe lungimea z_i, dar în secțiuni transversale mici armătura poate fi concentrată în colțurile etrierului

- distanța axială maximă a armăturii longitudinale este de 350 mm

Contribuția armăturii pretensionate nu este luată în considerare conform EN 1992-1-1.

Codul EN 1992-2 prevede că contribuția armăturii pretensionate poate fi luată în considerare, dar incrementul maxim de tensiune în armătura pretensionată nu trebuie să depășească Δσ_p ≤ 500MPa. Atunci formula poate fi modificată:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Cu toate acestea, deoarece incrementul armăturii pretensionate poate fi luat în considerare, aceasta rămâne la alegerea utilizatorului. În prezent, armătura pretensionată nu este luată în considerare în calcul. 

Ipoteza de calcul este că incrementul deformației axiale al fiecărei armături longitudinale care rezistă la forfecare este constant (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Derivarea este valabilă pentru o diagramă bilineară de lucru a armăturii cu ramură plastică orizontală. În cazul unei diagrame cu ramură crescătoare, calculul trebuie modificat.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . valoarea de calcul a momentului de torsiune aplicat în secțiunea considerată

θ .  .  .  .  . înclinarea diagonalelor comprimate față de axa longitudinală a grinzii (identică cu cea pentru forța tăietoare)

u_k .  .  .  .  perimetrul ariei A_k

A_f .  .  .  .  aria definită de linia mediană a secțiunii echivalente goale cu pereți subțiri

n_s,T .  .  .  .numărul de armături longitudinale din beton care rezistă la torsiune

A_sl,i,T .  .  . aria armăturii longitudinale din beton de ordinul i care rezistă la torsiune

Δε_T .  .  .  .variația deformației armăturii longitudinale datorată momentului de torsiune

Δσ_s,i,T .  .  variația tensiunii în armătura longitudinală de ordinul i datorată momentului de torsiune

E_sl,i,T .  .  . modulul de elasticitate al armăturii longitudinale din beton de ordinul i care rezistă la torsiune

Incrementul de tensiune în fiecare armătură longitudinală datorat momentului de torsiune aplicat:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$