상호작용

전단력과 비틀림의 상호작용 - 전단 철근

전단력에 의한 전단 철근의 힘 산정. 

계산은 EN 1992-1-1에 정의된 전단 철근의 저항력 산정 공식을 기반으로 합니다. 식 6.13 (6.2.3 (4)절)에 따라 스터럽 한 가닥의 내력은 다음과 같이 유도됩니다:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . 검토 단면에서 전단력에 저항하는 스터럽 한 가닥의 단면적

s .  .  .  .  . 부재 종축 방향의 전단 철근 간격 

a_sw,V .  .  . 단위 길이당 전단 철근의 단면적

z .  .  .  .  . 내부 모멘트 팔 길이. 등단면 부재의 경우, 검토 요소의 휨 모멘트에 해당하는 값. 축력이 없는 철근콘크리트의 전단 해석에서는 일반적으로 근사값 z = 0.9d를 사용할 수 있습니다.

f_ywd .  .  .  전단 철근의 설계 항복강도

θ .  .  .  .  . 콘크리트 압축 스트럿과 전단력에 수직인 부재 축 사이의 각도

α .  .  .  .  . 전단 철근과 전단력에 수직인 부재 축 사이의 각도

β .  .  .  .  . 작용 전단력의 합력에 대한 스터럽 가닥의 경사각

전단력은 철근의 각도와 각 스터럽 가닥의 축 강성을 기반으로 전단력에 저항하는 개별 철근에 균등하게 분배됩니다.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

또한, 합력 전단력 방향으로 고려된 평균 철근 변형률은 다음과 같이 유도됩니다:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

i번째 철근의 실제 변형률은 다음과 같이 계산됩니다:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

해당 철근 가닥의 인장 응력:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

비틀림에 의한 개별 스터럽의 힘 산정

단면의 비틀림 저항력은 폐쇄 전단 흐름에 의해 평형이 만족되는 얇은 벽 폐단면을 기반으로 계산할 수 있습니다. 솔리드 단면은 등가 얇은 벽 단면으로 모델링할 수 있습니다. 비솔리드 단면의 경우, 등가 벽 두께는 실제 벽 두께를 초과해서는 안 됩니다.

비틀림에 의한 얇은 벽 폐단면 벽체의 전단 흐름은 다음과 같이 계산됩니다:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

특정 벽체의 전단력은 다음과 같습니다:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . 검토 벽체 중심선의 길이

복부의 전단력 - 복부 중심선의 길이는 모멘트 팔 "z" 값으로 대체할 수 있습니다.

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

부재 단위 길이당 비틀림에 저항하는 스터럽의 힘:

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

개별 스터럽에 대한 힘의 분해

모든 스터럽에 동일한 재료가 정의된 경우, 각 스터럽 가닥에서 비틀림으로 인한 응력은 일정합니다. 이 경우:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

여기서 a_sw,T는 단위 길이당 비틀림에 저항하는 스터럽의 총 면적입니다.

개별 스터럽의 재료가 서로 다른 경우, 각 철근의 축 강성을 고려해야 합니다.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . 비틀림에 저항하는 철근 가닥(철근 그룹)의 수

F_si,T .  .  . 단위 길이당 비틀림으로 인한 i번째 철근 그룹의 힘

a_si,T .  .  . 단위 길이당 비틀림에 저항하는 전단 철근의 단면적 

E_si,T .  .  . 비틀림에 저항하는 i번째 철근 그룹의 탄성계수

ε_sw,T .  .  비틀림으로 인한 철근의 변형률

작용 비틀림에 의한 각 스터럽의 결과 응력은 다음과 같이 계산됩니다:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T 상호작용

전단력과 비틀림에 의한 스터럽의 응력 계산은 각 하중 성분에 의한 응력의 합산으로 이루어집니다. 

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

i번째 철근의 합력:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

종방향 철근에 대한 전단력, 비틀림 및 휨의 상호작용

축력 및 휨 모멘트에 의한 각 종방향 철근의 힘 산정

RCS 애플리케이션은 축력과 휨 모멘트의 조합에 의한 단면 응답을 계산하여 개별 종방향 철근 및 프리스트레스 철근의 응력과 변형률을 산정하는 데 사용됩니다.

전단력에 의한 개별 종방향 철근의 힘 산정

전단력으로 인한 종방향 철근의 인장력 증분 ΔF_td는 스트럿-타이 모델의 기하학적 형상에 따라 달라집니다. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  전단력으로 인한 종방향 철근의 인장력 증분

V_ed .  .  .  . 검토 단면에 작용하는 전단력의 설계값

θ .  .  .  .  . 콘크리트 압축 스트럿과 부재 축 사이의 각도 

α .  .  .  .  . 전단 철근과 부재 축 사이의 각도

인장 플랜지에 위치한 종방향 철근의 경우, N+M+V 조합에 의한 종방향 철근의 합력 F_t는 M_Ed,max/z를 초과하지 않아야 합니다 (여기서 M_Ed,max는 보 전체에서의 최대 모멘트).

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

힘 ΔF_td는 전단력에 저항하는 단면 부분(I형 단면의 경우 복부)에 위치한 모든 부착된 프리스트레스 텐던 및 철근에 의해 전달됩니다. 안전측으로, 프리스트레스 철근의 기여는 0으로 간주할 수 있습니다. 계산의 가정은 전단력에 저항하는 개별 종방향 철근의 축 변형률 증분이 일정하다는 것입니다 (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). 이 유도는 수평 소성 분기를 가진 이선형 철근 작업 선도에 대해 유효합니다. 경사 분기를 가진 선도의 경우, 계산을 수정해야 합니다.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . 전단력으로 인한 종방향 철근의 변형률 증분

n_s,V .  .  .  . 전단력에 저항하는 종방향 철근의 수

A_sl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 종방향 철근의 면적

E_sl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 종방향 철근의 탄성계수

n_p,V .  .  .  . 전단력에 저항하는 텐던의 수

A_pl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 텐던의 면적

E_pl,i,V .  .  . 전단력에 저항하는 i번째 텐던의 탄성계수

ΔF_td 힘의 값을 산정한 후, 평균 철근 변형률 Δε_V를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

작용 전단력으로 인한 개별 종방향 철근의 응력 증분:

철근의 경우 $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

텐던의 경우 $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

비틀림에 의한 각 종방향 철근의 힘 산정

비틀림에 저항하는 종방향 철근을 파악하는 것이 매우 중요합니다. 이는 비틀림에 저항하는 등가 얇은 벽 단면 내에 위치한 철근입니다.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

EN 1992-1-1에 따르면, 종방향 비틀림 저항 철근에 대해 다음 조건들이 충족되어야 합니다:

- 철근은 길이 z_i를 따라 균등하게 분포되어야 하지만, 소형 단면의 경우 철근을 스터럽 모서리에 집중 배치할 수 있습니다.

- 종방향 철근의 최대 축 간격은 350mm입니다.

EN 1992-1-1에 따르면 프리스트레스 철근의 기여는 고려하지 않습니다.

EN 1992-2에서는 프리스트레스 철근의 기여를 고려할 수 있으나, 프리스트레스 철근의 최대 응력 증분은 Δσ_p ≤ 500MPa를 초과해서는 안 된다고 규정합니다. 이 경우 공식은 다음과 같이 수정됩니다:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

그러나 프리스트레스 철근의 증분을 고려할 수 있지만, 이는 사용자의 선택에 달려 있습니다. 현재 계산에서는 프리스트레스 철근을 고려하지 않습니다. 

계산의 가정은 전단력에 저항하는 각 종방향 철근의 축 변형률 증분이 일정하다는 것입니다 (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). 이 유도는 수평 소성 분기를 가진 이선형 철근 작업 선도에 대해 유효합니다. 증가 분기를 가진 선도의 경우, 계산을 수정해야 합니다.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . 검토 단면에 작용하는 비틀림 모멘트의 설계값

θ .  .  .  .  . 보의 종축에 대한 압축 대각선의 경사각 (전단력에 대한 값과 동일)

u_k .  .  .  .  면적 A_k의 둘레

A_f .  .  .  .  등가 중공 얇은 벽 단면의 중심선으로 정의되는 면적

n_s,T .  .  .  .비틀림에 저항하는 종방향 콘크리트 철근의 수

A_sl,i,T .  .  . 비틀림에 저항하는 i번째 종방향 콘크리트 철근의 면적

Δε_T .  .  .  .비틀림 모멘트로 인한 종방향 철근 변형의 변화량

Δσ_s,i,T .  .  비틀림 모멘트로 인한 i번째 종방향 철근의 응력 변화량

E_sl,i,T .  .  . 비틀림에 저항하는 i번째 종방향 콘크리트 철근의 탄성계수

작용 비틀림 모멘트로 인한 각 종방향 철근의 응력 증분:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$