2.7 Oplossingsmethode en belastingsgestuurd algoritme

Voor het oplossen van een niet-lineair EEM-probleem wordt een standaard volledig Newton-Raphson-algoritme (NR) gebruikt. 

Over het algemeen convergeert het NR-algoritme vaak niet wanneer de volledige belasting in één stap wordt aangebracht. Een gebruikelijke aanpak, die ook hier wordt toegepast, is de belasting achtereenvolgens in meerdere incrementen aan te brengen en het resultaat van het vorige belastingsincrement te gebruiken als startpunt voor de Newton-oplossing van het volgende increment. Hiervoor is bovenop het Newton-Raphson-algoritme een belastingsgestuurd algoritme geïmplementeerd. Als de NR-iteraties niet convergeren, wordt het huidige belastingsincrement gehalveerd en worden de NR-iteraties opnieuw uitgevoerd.

Een tweede doel van het belastingsgestuurde algoritme is het bepalen van de kritieke belasting, die overeenkomt met bepaalde "stopcriteria". Dit zijn de maximale rek in het beton, de maximale slip in aanhechtingselementen, de maximale verplaatsing in verankeringselementen en de maximale rek in wapeningsstaven. De kritieke belasting wordt bepaald met de bisectiemethode. Als het stopcriterium ergens in het model wordt overschreden, worden de resultaten van het laatste belastingsincrement verworpen en wordt een nieuw increment berekend dat half zo groot is als het vorige. Dit proces wordt herhaald totdat de kritieke belasting is gevonden binnen een bepaalde foutentolerantie.

Voor beton is het stopcriterium in de integratiepunten van schaalelementen ingesteld op een rek van 5% in druk (dus ongeveer een orde van grootte groter dan de werkelijke bezwijkrek van beton) en 7% in trek. In trek is de waarde zo gekozen dat eerst de grensrek van de wapening kan worden bereikt, die zonder rekening te houden met tension stiffening meestal rond 5% ligt. In druk is de waarde gekozen uit meerdere alternatieven als een waarde die groot genoeg is om de effecten van verbrijzelen zichtbaar te maken in de resultaten, maar klein genoeg om niet te veel problemen met de numerieke stabiliteit te veroorzaken.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Voor wapening is het stopcriterium gedefinieerd in termen van spanningen. Omdat de spanningen ter plaatse van de scheur worden gemodelleerd, komt het criterium in trek overeen met de treksterkte van de wapening, rekening houdend met de veiligheidscoëfficiënt. Dezelfde waarde wordt gebruikt voor het criterium in druk.

Het stopcriterium in aanhechtingselementen en verankeringsveren is α·δu_max, waarbij δu_max de maximale slip is die in normtoetsingen wordt gebruikt en α = 10.