截面为 W12$\times$79 的柱锚固于混凝土块（混凝土抗压强度 4 ksi）中，采用四根 3/4'' A307 锚栓（f_y = 50 ksi，f_u= 65 ksi）。柱底进行灌浆处理。支撑为 HSS 3.5$\times$0.203，通过节点板和 2 个摩擦型螺栓 3/4'' A490（f_y = 130 ksi，f_u = 150 ksi）连接。所有钢材均为 A36 级（f_y = 36 ksi，f_u = 58 ksi）。剪力通过截面为 W6$\times$25 的抗剪键传递。焊条选用 E70XX。柱承受压力 160 kip、弯矩 1000 kip-in 及剪力 20 kip。支撑承受拉力 30 kip。 

几何尺寸

计算节点

柱（左）、支撑（中）及抗剪键（右）截面

混凝土块尺寸

节点板尺寸及透明模式下的荷载

手算验证

螺栓、焊缝、板件及受压混凝土的手算校核依据 AISC 360-16 进行。抗剪键承载力依据 ACI 349-01 确定。锚栓设计依据 AISC 360-16 – J9 及 ACI 318-14 – 第 17 章。

需进行以下校核：

• 螺栓受剪摩擦承载力 – AISC 360-16 – J3.8
• 块体剪切承载力 – AISC 360-16 – J4.3
• 被连接构件抗拉承载力 – AISC 360-16 – J4.1
• 焊缝承载力 – AISC 360-16 – AISC 360-16 – J2.4
• 抗剪键抗剪承载力 – AISC 360-16 – G2
• 抗剪键抗弯承载力 – AISC 360-16 – F2.1
• 抗剪键对混凝土的承压承载力 – ACI 349-01 – B.4.5 及 RB11
• 抗剪键混凝土剪切破坏承载力 – ACI 349 – B11
• 受压混凝土承压承载力 – AISC 360-16 – J8
• 锚栓受拉钢材承载力 – ACI 318-14 – 17.4.1
• 混凝土剪切破坏承载力 – ACI 318-14 – 17.4.2
• 混凝土拔出承载力 – ACI 318-14 – 17.4.3
• 混凝土侧面崩裂承载力 – ACI 318-14 – 17.4.4

梁和柱的设计假定在其他地方另行校核。

内力分配

全部剪力预期通过抗剪键传入混凝土块。剪力仅在混凝土块中传递，灌浆层不起作用。剪力为柱中剪力与支撑拉力水平分量之和，即 $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip。

支撑中的拉力 30 kip 需通过两个预拉力螺栓传递。节点板和焊缝须满足承载要求。

压力 160 kip 因支撑拉力的竖向分量而减小。柱底需承受压力 $160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip 及弯矩 1000 kip-in。 

支撑节点校核

摩擦型连接

摩擦型连接承载力依据 AISC 360-16 – J3.8 确定。最小螺栓预拉力取自表 J3.1，$T_b = 35$ kip。单个螺栓抗滑移承载力为：

$$\phi R_n = \phi \mu D_u h_f T_b n_s = 1 \cdot 0.3 \cdot 1.13 \cdot 1.0 \cdot 35 \cdot 2 = 24  \textrm{kip}$$

2 个螺栓的抗滑移承载力为 47 kip，足以传递拉力 30 kip。

插板抗拉承载力

插板为两块厚度 1/4'' 的板，以避免受压时产生偏心。受拉毛截面面积和净截面面积分别为 $3.4 \cdot (2\cdot 1/4)=1.7$ in² 和 $(3.4-13/16)\cdot (2\cdot 1/4)=1.3$ in²。

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 1.7 = 55   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 1.3 = 57   \textrm{kip}$$

插板承载力 55 kip，足以传递拉力 30 kip。焊缝设计为 CJP 对接焊缝，其承载力应与母材相同。

插板尺寸

节点板块体剪切承载力

节点板块体剪切破坏预期屈服线长 6.6 in，断裂线因螺栓孔而缩短，即 5.8 in。节点板厚度为 3/8''。 

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 2.5 = 80   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 2.2 = 94   \textrm{kip}$$

节点板承载力 80 kip，足以传递拉力 30 kip。

节点板焊缝承载力

节点板两侧均设角焊缝，焊脚尺寸 1/4''。焊缝长度分别为 5.2 in 和 4.0 in。为避免计算偏心，保守假定两条焊缝均取 4 in 长，且各传递一半荷载。控制焊缝为与荷载成 40$^\circ$ 角的焊缝。

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 53 \cdot 2.83 = 112  \textrm{kip}$$

节点板处焊缝承载力 224 kip，足以传递拉力 30 kip。

柱底板校核

柱底需承受压力 $P_u=160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip 及弯矩 $M_u=1000$ kip-in。由于支承面积 A₂ 足够大，混凝土承压强度为

$$\phi f_{p,(\max)}= \phi 1.7 f'_c = 0.65 \cdot 1.7 \cdot 4 = 4.4  \textrm{ksi}$$

$$\phi q_{\max} = f_{p,(\max)} B = 4.4 \cdot 19 = 83.6  \textrm{kip/in}$$

由于支撑节点板连接，底板尺寸有所加长。保守假定压力作用于柱翼缘处，即距节点中心 e = 6.18 in。锚栓与节点中心的距离为 f = 7.68 in。 

$$M_u= eP_r+2fN_{ua}$$

$$N_{ua}=\frac{M_u-eP_r}{2f}=\frac{1000-6.18 \cdot 141}{2\cdot 7.68}=8.4  \textrm{kip}$$

$$Y = \frac{P_r+2N_{ua}}{q_{\max}} = \frac{141+2\cdot 8.4}{83.6} = 1.9  \textrm{in}$$

混凝土承压承载力满足要求，底板尺寸足以容纳承压区长度 Y，锚栓拉力为 8.4 kip。对于最大压力工况，应进一步对底板屈服进行详细校核。

锚栓设计

锚栓为 3/4''，A307 级，锚固长度 12 in，配有直径 1.8 in 的圆形锚板。由于剪力通过抗剪键传递，锚栓仅承受拉力。锚栓校核依据 ACI 318-14 – 第 17 章进行。钢材承载力和拔出承载力按单根锚栓计算；由于 $3h_{ef} \ge s$（其中 $h_{ef}$ 为锚固深度，s 为锚栓间距），混凝土剪切破坏承载力和侧面崩裂承载力按锚栓群计算。

锚栓受拉钢材承载力 – 17.4.1

$$\phi N_{sa}=\phi A_{se,N} f_{uta}$$

$$\phi N_{sa}= 0.7 \cdot 0.334 \cdot 60 = 14  \textrm{kip}$$

混凝土剪切破坏承载力 – 17.4.2

$$h_{ef}=\min \left( \frac{c_{a,\max}}{1.5},   \frac{s}{3} \right ) \le h_{ef}  = \max \left(\frac{14}{1.5},   \frac{15.1}{3} \right ) = 9.33 \le 12   \textrm{in}$$

$$A_{Nc} = (14+1.8/2+14) \cdot (14+15.1+14)=1245  \textrm{in}^2$$

$$A_{Nco} = 9 h_{ef}^2 = 9 \cdot 9.33^2 = 783  \textrm{in}^2$$

$$N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 24 \cdot 1 \cdot \sqrt{4000} \cdot 9.33^{1.5} = 43.3  \textrm{kip}$$

$$\psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 9.33}} = 1$$

$$\psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 14}{1.5 \cdot 9.33}, 1 \right ) = 1$$

$$\phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b$$

$$\phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{1245}{783} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 43.3 = 48  \textrm{kip}$$

混凝土拔出承载力 – 17.4.3

$$A_{brg} = \pi \left ( \frac{d_{wp}^2-d_a^2}{4} \right ) = \pi \left ( \frac{1.8^2-0.75^2}{4} \right ) = 2.1  \textrm{in}^2$$

$$N_p = 8 A_{brg} f'_c = 8 \cdot 2.1 \cdot 4 = 67  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{pn} = \phi \psi_{c,P} N_p = 0.7 \cdot 1 \cdot 67 = 47  \textrm{kip}$$

混凝土侧面崩裂承载力 – 17.4.4

$$red = \frac{1+\frac{c_{a2}}{c_{a1}}}{4} = \frac{1+\frac{14}{14}}{4} = 0.5$$

$$\phi N_{sb} = \phi 160 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 0.7 \cdot 160 \cdot 14 \cdot \sqrt{2.1} \cdot \sqrt{4000}= 144  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{sbg} = n \cdot red \cdot \phi N_{sb} = 2 \cdot 0.5 \cdot 144 = 144  \textrm{kip}$$

最小承载力为锚栓钢材承载力，14 kip，足以传递荷载 8.4 kip。

抗剪键设计

全部剪力预期通过抗剪键传入混凝土块。剪力仅在混凝土块中传递，灌浆层不起作用。剪力为柱中剪力与支撑拉力水平分量之和，即 $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip。抗剪键截面为 W6x25，长度 6 in。灌浆层厚 1.5 in，因此抗剪键在混凝土块中的锚固深度为 4.5 in。混凝土块中的混凝土压力假定为均匀分布。作用于抗剪键的弯矩等于剪力乘以力臂 1.5 + 4.5 / 2 = 3.75 in，即 M_u = 161 kip-in。预期抗剪键翼缘和腹板处的角焊缝分别传递弯矩和剪力。翼缘处角焊缝需传递 161 / 5.9 = 27.3 kip。

抗剪键对混凝土的承压承载力 – ACI 349-01 – B4.5 及 RB11

$$N_y = n A_{se} F_y = 4 \cdot 0.334 \cdot 36 = 48  \textrm{kip}$$

$$\phi P_{br}=\phi 1.3 f'_c A_1 + \phi K_c (N_y - P_a)$$

$$\phi P_{br}=0.7 \cdot 1.3 \cdot 4 \cdot 27.3 + 0.7 \cdot 1.6 \cdot (48 + 141) = 311  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

抗剪键混凝土剪切破坏承载力 – ACI 349-01 – B11

$$A_{Vc} = (18.5+6.1+18.5) \cdot (4.5+20) - 6.1 \cdot 4.5 = 1028  \textrm{in}^2$$

$$\phi V_{cb} = A_{Vc} 4 \phi \sqrt{f'_c} = 1028 \cdot 4 \cdot 0.85 \cdot \sqrt{4000} = 221  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

抗剪键抗剪承载力 – AISC 360-16 – G2

$$\phi V_n = 0.6 F_y A_w C_{v1}= 1 \cdot 0.6 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 1 = 44  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

抗剪键腹板角焊缝 – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 0^\circ) = 42  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 42 \cdot 1.93 = 61  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

抗剪键抗弯承载力 – AISC 360-16 – F2.1

$$\phi M_n = \phi M_p = F_y Z_x = 0.9 \cdot 36 \cdot 18.9 = 680.4  \textrm{kip-in} \ge 161  \textrm{kip-in}$$

抗剪键翼缘角焊缝 – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 90^\circ) = 63  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 63 \cdot 2.1 = 100  \textrm{kip} \ge 27.3  \textrm{kip}$$

抗剪键的抗剪和抗弯承载力、焊缝承载力、混凝土承压承载力及混凝土剪切破坏承载力均足以传递剪力 43 kip。

IDEA StatiCa 校核

板件通过有限单元法分析进行校核。采用双线性材料模型，屈服强度乘以钢材抗力系数 $\phi = 0.9$。节点其他组件（即螺栓和焊缝）所受内力同样由有限单元法分析确定，但其承载力采用 AISC 360-16、ACI 318-14 及 ACI 349-01 的标准公式进行校核。应力最大的焊缝单元首先被校核，随着荷载增加，焊缝应力向相邻焊缝单元扩展。因此，焊缝的极限承载力高于简单地用力除以焊缝承载比所得结果。

Von Mises 应力

含锚栓拉力的塑性应变

板件应力与应变校核

摩擦型连接校核

焊缝校核

锚栓校核

混凝土承压校核

底板下混凝土应力及混凝土锥体剪切破坏区域

抗剪键校核 – 承压承载力及混凝土剪切破坏承载力

对比

有限单元法分析所得内力分布与简化假定存在明显差异。节点板同样参与传递弯矩，因此节点板及其焊缝所受荷载远大于标准设计假定。由于底板下应力并非恰好位于柱翼缘正下方，IDEA StatiCa 中锚栓内力略低于手算结果。手算中承载比最高的构件为抗剪键腹板。在 IDEA StatiCa 中，抗剪键腹板的等效应力为 30.1 kip，接近屈服。

设计软件 IDEA StatiCa Connection 的校核结果与依据 AISC 360、ACI 318 及 ACI 341 的手算结果吻合。微小差异主要由手算中的简化假定引起。