Un pilastro con sezione trasversale W12$\times$79 è ancorato in un blocco di calcestruzzo (resistenza a compressione del calcestruzzo 4 ksi) da quattro bulloni di ancoraggio 3/4'' A307 (f_y = 50 ksi, f_u= 65 ksi). La base del pilastro è sigillata con malta. Un controvento è HSS 3.5$\times$0.203 collegato tramite piastra di nodo e 2 bulloni ad attrito 3/4'' A490 (f_y = 130 ksi, f_u = 150 ksi). Tutto l'acciaio è di grado A36 (f_y = 36 ksi, f_u = 58 ksi). Il taglio è trasferito tramite chiavetta a taglio con sezione trasversale W6$\times$25. Sono selezionati elettrodi di saldatura E70XX. Il pilastro è caricato da una forza di compressione di –160 kip, momento flettente 1000 kip-in e forza di taglio 20 kip. Il controvento è caricato da una forza di trazione di 30 kip. 

Geometria

Giunto analizzato

Sezioni trasversali del pilastro (sinistra), controvento (centro) e chiavetta a taglio (destra)

Dimensioni del blocco di calcestruzzo

Dimensioni della piastra di nodo e carichi in modalità trasparente

Verifica manuale

La verifica manuale di bulloni, saldature, piastre e calcestruzzo in compressione è eseguita secondo AISC 360-16. La capacità della chiavetta a taglio è determinata secondo ACI 349-01. I tirafondi sono progettati secondo AISC 360-16 – J9 e ACI 318-14 – Capitolo 17.

Sono richieste le seguenti verifiche:

• Resistenza allo scorrimento dei bulloni a taglio – AISC 360-16 – J3.8
• Resistenza al block shear – AISC 360-16 – J4.3
• Resistenza a trazione degli elementi collegati – AISC 360-16 – J4.1
• Resistenza delle saldature – AISC 360-16 – AISC 360-16 – J2.4
• Resistenza a taglio della chiavetta a taglio – AISC 360-16 – G2
• Resistenza a flessione della chiavetta a taglio – AISC 360-16 – F2.1
• Capacità portante della chiavetta a taglio sul calcestruzzo – ACI 349-01 – B.4.5 e RB11
• Resistenza al cono di calcestruzzo della chiavetta a taglio – ACI 349 – B11
• Resistenza portante del calcestruzzo in compressione – AISC 360-16 – J8
• Resistenza dell'acciaio degli ancoraggi a trazione – ACI 318-14 – 17.4.1
• Resistenza al cono di calcestruzzo – ACI 318-14 – 17.4.2
• Resistenza allo sfilamento del calcestruzzo – ACI 318-14 – 17.4.3
• Resistenza al blowout laterale del calcestruzzo – ACI 318-14 – 17.4.4

Si assume che la verifica della trave e del pilastro sia effettuata altrove.

Distribuzione delle forze

Si prevede che l'intera forza di taglio sia trasferita tramite la chiavetta a taglio nel blocco di calcestruzzo. Il taglio è trasferito solo nel blocco di calcestruzzo e la malta è inefficace. La forza di taglio è la somma della forza di taglio nel pilastro e della componente orizzontale della forza di trazione nel controvento, ovvero $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip.

La forza di trazione nel controvento, 30 kip, deve essere trasferita tramite due bulloni precaricati. Le piastre di nodo e le saldature devono essere sufficienti.

La forza di compressione, 160 kip, è ridotta dalla componente verticale della forza di trazione nel controvento. La base del pilastro deve resistere a una forza di compressione di $160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip e a un momento flettente di 1000 kip-in. 

Verifica del collegamento del controvento

Collegamento ad attrito

La resistenza del collegamento ad attrito è determinata secondo AISC 360-16 – J3.8. La pretensione minima del bullone è ricavata dalla Tabella J3.1 come $T_b = 35$ kip. La resistenza allo scorrimento del singolo bullone è:

$$\phi R_n = \phi \mu D_u h_f T_b n_s = 1 \cdot 0.3 \cdot 1.13 \cdot 1.0 \cdot 35 \cdot 2 = 24  \textrm{kip}$$

La resistenza allo scorrimento di 2 bulloni, 47 kip, è sufficiente a trasferire la forza di trazione di 30 kip.

Resistenza a trazione del linguetto

Il linguetto è composto da due piastre con spessore 1/4'' per evitare l'eccentricità nel carico di compressione. Le aree lorda e netta a trazione sono rispettivamente $3.4 \cdot (2\cdot 1/4)=1.7$ in² e $(3.4-13/16)\cdot (2\cdot 1/4)=1.3$ in².

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 1.7 = 55   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 1.3 = 57   \textrm{kip}$$

La resistenza del linguetto, 55 kip, è sufficiente a trasferire la forza di trazione di 30 kip. Le saldature sono progettate come saldature di testa CJP e la loro resistenza deve essere uguale a quella del materiale base.

Dimensioni del linguetto

Resistenza al block shear della piastra di nodo

La linea di snervamento prevista sulla piastra di nodo per la rottura per block shear è lunga 6,6 in; la rottura può avvenire su una linea più corta del foro del bullone, ovvero 5,8 in. Lo spessore della piastra di nodo è 3/8''. 

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 2.5 = 80   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 2.2 = 94   \textrm{kip}$$

La resistenza della piastra di nodo, 80 kip, è sufficiente a trasferire la forza di trazione di 30 kip.

Resistenza delle saldature della piastra di nodo

Le saldature a cordone d'angolo sono progettate su entrambi i lati della piastra di nodo con dimensione 1/4''. Le lunghezze delle saldature sono 5,2 in e 4,0 in. Per evitare il calcolo dell'eccentricità, si assume in modo conservativo che entrambe le saldature siano lunghe 4 in e che entrambe trasferiscano metà del carico. La saldatura critica è quella caricata con un angolo di 40$^\circ$.

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 53 \cdot 2.83 = 112  \textrm{kip}$$

La resistenza delle saldature sulla piastra di nodo, 224 kip, è sufficiente a trasferire la forza di trazione di 30 kip.

Verifica della base del pilastro

La base del pilastro deve resistere a una forza di compressione di $P_u=160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip e a un momento flettente $M_u=1000$ kip-in. Poiché l'area di appoggio, A₂, è sufficientemente grande, la resistenza portante del calcestruzzo è

$$\phi f_{p,(\max)}= \phi 1.7 f'_c = 0.65 \cdot 1.7 \cdot 4 = 4.4  \textrm{ksi}$$

$$\phi q_{\max} = f_{p,(\max)} B = 4.4 \cdot 19 = 83.6  \textrm{kip/in}$$

La piastra di base è allungata a causa del collegamento della piastra di nodo del controvento. Si assume in modo conservativo che la forza di compressione agisca in corrispondenza dell'ala del pilastro, ovvero e = 6,18 in dal centro del collegamento. La distanza tra il bullone di ancoraggio e il centro del collegamento è f = 7,68 in. 

$$M_u= eP_r+2fN_{ua}$$

$$N_{ua}=\frac{M_u-eP_r}{2f}=\frac{1000-6.18 \cdot 141}{2\cdot 7.68}=8.4  \textrm{kip}$$

$$Y = \frac{P_r+2N_{ua}}{q_{\max}} = \frac{141+2\cdot 8.4}{83.6} = 1.9  \textrm{in}$$

La resistenza portante del calcestruzzo è sufficiente, poiché la piastra di base è abbastanza grande da accogliere la lunghezza dell'area di appoggio, Y, e la forza di trazione nell'ancoraggio è 8,4 kip. Una verifica più dettagliata della piastra di base con il controllo dello snervamento della piastra di base deve essere fornita per la combinazione di carico con la forza di compressione massima.

Progetto degli ancoraggi

Gli ancoraggi sono 3/4'', grado A307, con lunghezza di incorporamento di 12 in nel blocco di calcestruzzo con piastre rondella circolari di diametro 1,8 in. Gli ancoraggi sono caricati solo a trazione poiché il taglio è trasferito tramite la chiavetta a taglio. La verifica degli ancoraggi è eseguita secondo ACI 318-14 – Capitolo 17. La resistenza dell'acciaio e la resistenza allo sfilamento sono fornite per i singoli ancoraggi, mentre la resistenza al cono di calcestruzzo e la resistenza al blowout laterale del calcestruzzo sono fornite per il gruppo di ancoraggi poiché $3h_{ef} \ge s$, dove $h_{ef}$ è la profondità di incorporamento e s è l'interasse degli ancoraggi.

Resistenza dell'acciaio di un ancoraggio a trazione – 17.4.1

$$\phi N_{sa}=\phi A_{se,N} f_{uta}$$

$$\phi N_{sa}= 0.7 \cdot 0.334 \cdot 60 = 14  \textrm{kip}$$

Resistenza al cono di calcestruzzo – 17.4.2

$$h_{ef}=\min \left( \frac{c_{a,\max}}{1.5},   \frac{s}{3} \right ) \le h_{ef}  = \max \left(\frac{14}{1.5},   \frac{15.1}{3} \right ) = 9.33 \le 12   \textrm{in}$$

$$A_{Nc} = (14+1.8/2+14) \cdot (14+15.1+14)=1245  \textrm{in}^2$$

$$A_{Nco} = 9 h_{ef}^2 = 9 \cdot 9.33^2 = 783  \textrm{in}^2$$

$$N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 24 \cdot 1 \cdot \sqrt{4000} \cdot 9.33^{1.5} = 43.3  \textrm{kip}$$

$$\psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 9.33}} = 1$$

$$\psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 14}{1.5 \cdot 9.33}, 1 \right ) = 1$$

$$\phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b$$

$$\phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{1245}{783} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 43.3 = 48  \textrm{kip}$$

Resistenza allo sfilamento del calcestruzzo – 17.4.3

$$A_{brg} = \pi \left ( \frac{d_{wp}^2-d_a^2}{4} \right ) = \pi \left ( \frac{1.8^2-0.75^2}{4} \right ) = 2.1  \textrm{in}^2$$

$$N_p = 8 A_{brg} f'_c = 8 \cdot 2.1 \cdot 4 = 67  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{pn} = \phi \psi_{c,P} N_p = 0.7 \cdot 1 \cdot 67 = 47  \textrm{kip}$$

Resistenza al blowout laterale del calcestruzzo – 17.4.4

$$red = \frac{1+\frac{c_{a2}}{c_{a1}}}{4} = \frac{1+\frac{14}{14}}{4} = 0.5$$

$$\phi N_{sb} = \phi 160 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 0.7 \cdot 160 \cdot 14 \cdot \sqrt{2.1} \cdot \sqrt{4000}= 144  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{sbg} = n \cdot red \cdot \phi N_{sb} = 2 \cdot 0.5 \cdot 144 = 144  \textrm{kip}$$

La resistenza minima è quella dell'acciaio dell'ancoraggio, 14 kip. È sufficiente a trasferire il carico di 8,4 kip.

Progetto della chiavetta a taglio

Si prevede che l'intera forza di taglio sia trasferita tramite la chiavetta a taglio nel blocco di calcestruzzo. Il taglio è trasferito solo nel blocco di calcestruzzo e la malta è inefficace. La forza di taglio è la somma della forza di taglio nel pilastro e della componente orizzontale della forza di trazione nel controvento, ovvero $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip. La sezione trasversale della chiavetta a taglio è W6x25 ed è lunga 6 in. Lo strato di malta è spesso 1,5 in, quindi la chiavetta a taglio è incorporata per 4,5 in nel blocco di calcestruzzo. La pressione del calcestruzzo è assunta uniforme nel blocco di calcestruzzo. Il momento flettente agente sulla chiavetta a taglio è uguale alla forza di taglio moltiplicata per il braccio di leva 1,5 + 4,5 / 2 = 3,75 in, ovvero M_u = 161 kip-in. Si prevede che le saldature a cordone d'angolo sulle ali e sull'anima della chiavetta a taglio trasferiscano rispettivamente il momento flettente e il taglio. Le saldature a cordone d'angolo sulle ali devono trasferire 161 / 5,9 = 27,3 kip.

Capacità portante della chiavetta a taglio sul calcestruzzo – ACI 349-01 – B4.5 e RB11

$$N_y = n A_{se} F_y = 4 \cdot 0.334 \cdot 36 = 48  \textrm{kip}$$

$$\phi P_{br}=\phi 1.3 f'_c A_1 + \phi K_c (N_y - P_a)$$

$$\phi P_{br}=0.7 \cdot 1.3 \cdot 4 \cdot 27.3 + 0.7 \cdot 1.6 \cdot (48 + 141) = 311  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Resistenza al cono di calcestruzzo della chiavetta a taglio – ACI 349-01 – B11

$$A_{Vc} = (18.5+6.1+18.5) \cdot (4.5+20) - 6.1 \cdot 4.5 = 1028  \textrm{in}^2$$

$$\phi V_{cb} = A_{Vc} 4 \phi \sqrt{f'_c} = 1028 \cdot 4 \cdot 0.85 \cdot \sqrt{4000} = 221  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Resistenza a taglio della chiavetta a taglio – AISC 360-16 – G2

$$\phi V_n = 0.6 F_y A_w C_{v1}= 1 \cdot 0.6 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 1 = 44  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Saldature a cordone d'angolo dell'anima della chiavetta a taglio – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 0^\circ) = 42  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 42 \cdot 1.93 = 61  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Resistenza a flessione della chiavetta a taglio – AISC 360-16 – F2.1

$$\phi M_n = \phi M_p = F_y Z_x = 0.9 \cdot 36 \cdot 18.9 = 680.4  \textrm{kip-in} \ge 161  \textrm{kip-in}$$

Saldature a cordone d'angolo dell'ala della chiavetta a taglio – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 90^\circ) = 63  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 63 \cdot 2.1 = 100  \textrm{kip} \ge 27.3  \textrm{kip}$$

La resistenza a taglio e a flessione della chiavetta a taglio, la resistenza delle saldature, la resistenza portante del calcestruzzo e la resistenza al cono di calcestruzzo sono sufficienti a trasferire la forza di taglio di 43 kip.

Verifica in IDEA StatiCa

Le piastre sono verificate mediante analisi agli elementi finiti. Il modello di materiale bilineare è utilizzato con la resistenza allo snervamento moltiplicata per il fattore di resistenza dell'acciaio $\phi = 0.9$. Le forze agenti sugli altri componenti del collegamento, ovvero bulloni e saldature, sono anch'esse determinate mediante analisi agli elementi finiti, ma la loro resistenza è verificata utilizzando le formule standard di AISC 360-16, ACI 318-14 e ACI 349-01. L'elemento di saldatura più sollecitato è verificato e, con un ulteriore incremento del carico, la tensione nella saldatura si distribuisce negli elementi di saldatura adiacenti. Pertanto, la resistenza ultima della saldatura è superiore a quella ottenuta semplicemente dividendo la forza per lo sfruttamento della saldatura.

Tensione di Von Mises

Deformazione plastica incluse le forze di trazione negli ancoraggi

Verifica della tensione e della deformazione delle piastre

Verifica del collegamento ad attrito

Verifica delle saldature

Verifica degli ancoraggi

Verifica del calcestruzzo in appoggio

Tensione nel calcestruzzo sotto la piastra di base e area del cono di rottura del calcestruzzo

Verifica della chiavetta a taglio – capacità portante e resistenza al cono di calcestruzzo

Confronto

È evidente che l'analisi agli elementi finiti mostra una distribuzione delle forze interne diversa rispetto alle semplici ipotesi di calcolo. La piastra di nodo contribuisce anche al trasferimento del momento flettente e pertanto la piastra di nodo e le sue saldature risultano molto più sollecitate rispetto alle ipotesi di progetto standard. Le forze negli ancoraggi sono leggermente inferiori in IDEA perché la tensione sotto la piastra di base non è esattamente in corrispondenza dell'ala del pilastro. L'elemento più sfruttato nella verifica manuale è l'anima della chiavetta a taglio. In IDEA StatiCa, la tensione equivalente sull'anima della chiavetta a taglio è pari a 30,1 kip, valore prossimo allo snervamento.

La verifica nel software di progettazione IDEA StatiCa Connection è in accordo con la verifica manuale secondo AISC 360, ACI 318 e ACI 341. Le piccole differenze sono dovute principalmente alle semplificazioni nei calcoli manuali.