Un stâlp cu secțiunea transversală W12$\times$79 este ancorat într-un bloc de beton (rezistența la compresiune a betonului 4 ksi) prin patru buloane de ancorare 3/4'' A307 (f_y = 50 ksi, f_u= 65 ksi). Baza stâlpului este nivelată cu mortar. O contravântuire HSS 3.5$\times$0.203 este conectată printr-o placă de nod și 2 buloane cu alunecare controlată 3/4'' A490 (f_y = 130 ksi, f_u = 150 ksi). Tot oțelul este de calitate A36 (f_y = 36 ksi, f_u = 58 ksi). Forța tăietoare este preluată printr-un pivot de forfecare cu secțiunea transversală W6$\times$25. Electrozii de sudură E70XX sunt selectați. Stâlpul este încărcat cu o forță de compresiune de –160 kip, moment încovoietor de 1000 kip-in și forță tăietoare de 20 kip. Contravântuirea este încărcată cu o forță de întindere de 30 kip. 

Geometrie

Îmbinare investigată

Secțiunile transversale ale stâlpului (stânga), contravântuirii (mijloc) și pivotului de forfecare (dreapta)

Dimensiunile blocului de beton

Dimensiunile plăcii de nod și încărcările în modul transparent

Evaluare manuală

Verificarea manuală a buloanelor, sudurilor, plăcilor și betonului la compresiune se efectuează conform AISC 360-16. Capacitatea pivotului de forfecare este determinată conform ACI 349-01. Tijele de ancorare sunt proiectate conform AISC 360-16 – J9 și ACI 318-14 – Capitolul 17.

Sunt necesare următoarele verificări:

• Rezistența la alunecare a buloanelor la forfecare – AISC 360-16 – J3.8
• Rezistența la forfecare în bloc – AISC 360-16 – J4.3
• Rezistența la întindere a elementelor conectate – AISC 360-16 – J4.1
• Rezistența sudurilor – AISC 360-16 – AISC 360-16 – J2.4
• Rezistența la forfecare a pivotului de forfecare – AISC 360-16 – G2
• Rezistența la încovoiere a pivotului de forfecare – AISC 360-16 – F2.1
• Capacitatea portantă a pivotului de forfecare față de beton – ACI 349-01 – B.4.5 și RB11
• Rezistența la smulgere prin spargere a betonului pentru pivotul de forfecare – ACI 349 – B11
• Rezistența betonului la compresiune prin rezemare – AISC 360-16 – J8
• Rezistența oțelului ancorelor la întindere – ACI 318-14 – 17.4.1
• Rezistența la smulgere prin spargere a betonului – ACI 318-14 – 17.4.2
• Rezistența la smulgere a betonului – ACI 318-14 – 17.4.3
• Rezistența la spargere laterală a betonului – ACI 318-14 – 17.4.4

Se presupune că verificarea grinzii și a stâlpului este efectuată separat.

Distribuția forțelor

Se presupune că întreaga forță tăietoare este transferată prin pivotul de forfecare în blocul de beton. Forța tăietoare este transferată numai în blocul de beton, iar mortarul de nivelare este ineficient. Forța tăietoare este suma forței tăietoare din stâlp și a componentei orizontale a forței de întindere din contravântuire, adică $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip.

Forța de întindere din contravântuire, 30 kip, trebuie transferată prin două buloane pretensionate. Plăcile de nod și sudurile trebuie să fie suficiente.

Forța de compresiune, 160 kip, este redusă de componenta verticală a forței de întindere din contravântuire. Baza stâlpului trebuie să reziste la o forță de compresiune de $160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip și un moment încovoietor de 1000 kip-in. 

Verificarea îmbinării contravântuirii

Îmbinare cu alunecare controlată

Rezistența îmbinării cu alunecare controlată este determinată conform AISC 360-16 – J3.8. Pretensionarea minimă a bulonului este preluată din Tabelul J3.1 ca $T_b = 35$ kip. Rezistența la alunecare a unui singur bulon este:

$$\phi R_n = \phi \mu D_u h_f T_b n_s = 1 \cdot 0.3 \cdot 1.13 \cdot 1.0 \cdot 35 \cdot 2 = 24  \textrm{kip}$$

Rezistența la alunecare a 2 buloane, 47 kip, este suficientă pentru a transfera forța de întindere de 30 kip.

Rezistența la întindere a lamei de prindere

Lama de prindere este formată din două plăci cu grosimea de 1/4'' pentru a evita excentricitatea la încărcare de compresiune. Ariile brută și netă la întindere sunt $3.4 \cdot (2\cdot 1/4)=1.7$ in² și $(3.4-13/16)\cdot (2\cdot 1/4)=1.3$ in², respectiv.

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 1.7 = 55   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 1.3 = 57   \textrm{kip}$$

Rezistența lamei de prindere, 55 kip, este suficientă pentru a transfera forța de întindere de 30 kip. Sudurile sunt proiectate ca suduri cap la cap CJP, iar rezistența lor trebuie să fie egală cu cea a materialului de bază.

Dimensiunile lamei de prindere

Rezistența la forfecare în bloc a plăcii de nod

Linia de curgere preconizată la placa de nod pentru cedarea prin forfecare în bloc are lungimea de 6,6 in, ruperea poate apărea pe o linie mai scurtă cu diametrul găurii bulonului, adică 5,8 in. Grosimea plăcii de nod este de 3/8''. 

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 2.5 = 80   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 2.2 = 94   \textrm{kip}$$

Rezistența plăcii de nod, 80 kip, este suficientă pentru a transfera forța de întindere de 30 kip.

Rezistența sudurilor plăcii de nod

Sudurile de colț sunt proiectate pe ambele fețe ale plăcii de nod cu dimensiunea de 1/4''. Lungimile sudurilor sunt de 5,2 in și 4,0 in. Pentru a evita calculul excentricității, se presupune în mod conservativ că ambele suduri au lungimea de 4 in și ambele transferă jumătate din încărcare. Sudura critică este cea încărcată la un unghi de 40$^\circ$.

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 53 \cdot 2.83 = 112  \textrm{kip}$$

Rezistența sudurilor la placa de nod, 224 kip, este suficientă pentru a transfera forța de întindere de 30 kip.

Verificarea bazei stâlpului

Baza stâlpului trebuie să reziste la o forță de compresiune de $P_u=160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip și un moment încovoietor $M_u=1000$ kip-in. Deoarece aria de rezemare, A₂, este suficient de mare, rezistența betonului la compresiune prin rezemare este

$$\phi f_{p,(\max)}= \phi 1.7 f'_c = 0.65 \cdot 1.7 \cdot 4 = 4.4  \textrm{ksi}$$

$$\phi q_{\max} = f_{p,(\max)} B = 4.4 \cdot 19 = 83.6  \textrm{kip/in}$$

Placa de bază este alungită datorită îmbinării plăcii de nod a contravântuirii. Se presupune în mod conservativ că forța de compresiune acționează la talpa stâlpului, adică e = 6,18 in față de centrul îmbinării. Distanța dintre bulonul de ancorare și centrul îmbinării este f = 7,68 in. 

$$M_u= eP_r+2fN_{ua}$$

$$N_{ua}=\frac{M_u-eP_r}{2f}=\frac{1000-6.18 \cdot 141}{2\cdot 7.68}=8.4  \textrm{kip}$$

$$Y = \frac{P_r+2N_{ua}}{q_{\max}} = \frac{141+2\cdot 8.4}{83.6} = 1.9  \textrm{in}$$

Rezistența la compresiune a betonului este suficientă, deoarece placa de bază este suficient de mare pentru a acomoda lungimea ariei de rezemare, Y, iar forța de întindere în ancoră este de 8,4 kip. O verificare mai detaliată a plăcii de bază, inclusiv verificarea curgerii plăcii de bază, trebuie efectuată pentru cazul de încărcare cu forța de compresiune maximă.

Proiectarea ancorelor

Ancorele sunt de 3/4'', calitate A307, cu lungimea de încastrare de 12 in în blocul de beton, cu plăci tip șaibă circulare cu diametrul de 1,8 in. Ancorele sunt încărcate numai la întindere, deoarece forța tăietoare este transferată prin pivotul de forfecare. Verificarea ancorelor este efectuată conform ACI 318-14 – Capitolul 17. Rezistența oțelului și rezistența la smulgere sunt furnizate pentru ancorele individuale, iar rezistența la smulgere prin spargere a betonului și rezistența la spargere laterală a betonului sunt furnizate pentru grupul de ancoare, deoarece $3h_{ef} \ge s$, unde $h_{ef}$ este adâncimea de încastrare și s este distanța dintre ancoare.

Rezistența oțelului ancorelor la întindere – 17.4.1

$$\phi N_{sa}=\phi A_{se,N} f_{uta}$$

$$\phi N_{sa}= 0.7 \cdot 0.334 \cdot 60 = 14  \textrm{kip}$$

Rezistența la smulgere prin spargere a betonului – 17.4.2

$$h_{ef}=\min \left( \frac{c_{a,\max}}{1.5},   \frac{s}{3} \right ) \le h_{ef}  = \max \left(\frac{14}{1.5},   \frac{15.1}{3} \right ) = 9.33 \le 12   \textrm{in}$$

$$A_{Nc} = (14+1.8/2+14) \cdot (14+15.1+14)=1245  \textrm{in}^2$$

$$A_{Nco} = 9 h_{ef}^2 = 9 \cdot 9.33^2 = 783  \textrm{in}^2$$

$$N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 24 \cdot 1 \cdot \sqrt{4000} \cdot 9.33^{1.5} = 43.3  \textrm{kip}$$

$$\psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 9.33}} = 1$$

$$\psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 14}{1.5 \cdot 9.33}, 1 \right ) = 1$$

$$\phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b$$

$$\phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{1245}{783} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 43.3 = 48  \textrm{kip}$$

Rezistența la smulgere a betonului – 17.4.3

$$A_{brg} = \pi \left ( \frac{d_{wp}^2-d_a^2}{4} \right ) = \pi \left ( \frac{1.8^2-0.75^2}{4} \right ) = 2.1  \textrm{in}^2$$

$$N_p = 8 A_{brg} f'_c = 8 \cdot 2.1 \cdot 4 = 67  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{pn} = \phi \psi_{c,P} N_p = 0.7 \cdot 1 \cdot 67 = 47  \textrm{kip}$$

Rezistența la spargere laterală a betonului – 17.4.4

$$red = \frac{1+\frac{c_{a2}}{c_{a1}}}{4} = \frac{1+\frac{14}{14}}{4} = 0.5$$

$$\phi N_{sb} = \phi 160 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 0.7 \cdot 160 \cdot 14 \cdot \sqrt{2.1} \cdot \sqrt{4000}= 144  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{sbg} = n \cdot red \cdot \phi N_{sb} = 2 \cdot 0.5 \cdot 144 = 144  \textrm{kip}$$

Cea mai mică rezistență este cea a oțelului ancorelor, 14 kip. Este suficientă pentru a transfera încărcarea de 8,4 kip.

Proiectarea pivotului de forfecare

Se presupune că întreaga forță tăietoare este transferată prin pivotul de forfecare în blocul de beton. Forța tăietoare este transferată numai în blocul de beton, iar mortarul de nivelare este ineficient. Forța tăietoare este suma forței tăietoare din stâlp și a componentei orizontale a forței de întindere din contravântuire, adică $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip. Secțiunea transversală a pivotului de forfecare este W6x25 și are lungimea de 6 in. Stratul de mortar are grosimea de 1,5 in, astfel încât pivotul de forfecare este încastrat 4,5 in în blocul de beton. Presiunea betonului este considerată uniformă în blocul de beton. Momentul încovoietor care acționează asupra pivotului de forfecare este egal cu forța tăietoare înmulțită cu brațul de pârghie 1,5 + 4,5 / 2 = 3,75 in, adică M_u = 161 kip-in. Se presupune că sudurile de colț de pe tălpile și inima pivotului de forfecare transferă momentul încovoietor și, respectiv, forța tăietoare. Sudurile de colț de la tălpi trebuie să transfere 161 / 5,9 = 27,3 kip.

Capacitatea portantă a pivotului de forfecare față de beton – ACI 349-01 – B4.5 și RB11

$$N_y = n A_{se} F_y = 4 \cdot 0.334 \cdot 36 = 48  \textrm{kip}$$

$$\phi P_{br}=\phi 1.3 f'_c A_1 + \phi K_c (N_y - P_a)$$

$$\phi P_{br}=0.7 \cdot 1.3 \cdot 4 \cdot 27.3 + 0.7 \cdot 1.6 \cdot (48 + 141) = 311  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Rezistența la smulgere prin spargere a betonului pentru pivotul de forfecare – ACI 349-01 – B11

$$A_{Vc} = (18.5+6.1+18.5) \cdot (4.5+20) - 6.1 \cdot 4.5 = 1028  \textrm{in}^2$$

$$\phi V_{cb} = A_{Vc} 4 \phi \sqrt{f'_c} = 1028 \cdot 4 \cdot 0.85 \cdot \sqrt{4000} = 221  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Rezistența la forfecare a pivotului de forfecare – AISC 360-16 – G2

$$\phi V_n = 0.6 F_y A_w C_{v1}= 1 \cdot 0.6 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 1 = 44  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Suduri de colț ale inimii pivotului de forfecare – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 0^\circ) = 42  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 42 \cdot 1.93 = 61  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Rezistența la încovoiere a pivotului de forfecare – AISC 360-16 – F2.1

$$\phi M_n = \phi M_p = F_y Z_x = 0.9 \cdot 36 \cdot 18.9 = 680.4  \textrm{kip-in} \ge 161  \textrm{kip-in}$$

Suduri de colț ale tălpii pivotului de forfecare – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 90^\circ) = 63  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 63 \cdot 2.1 = 100  \textrm{kip} \ge 27.3  \textrm{kip}$$

Rezistența la forfecare și încovoiere a pivotului de forfecare, rezistența sudurilor, rezistența betonului la compresiune prin rezemare și rezistența la smulgere prin spargere a betonului sunt suficiente pentru a transfera forța tăietoare de 43 kip.

Verificarea în IDEA StatiCa

Plăcile sunt verificate prin analiză cu elemente finite. Se utilizează modelul de material biliniar cu limita de curgere înmulțită cu factorul de rezistență al oțelului $\phi = 0.9$. Forțele care acționează asupra celorlalte componente ale îmbinării, adică buloane și suduri, sunt de asemenea determinate prin analiză cu elemente finite, dar rezistența lor este verificată folosind formulele standard din AISC 360-16, ACI 318-14 și ACI 349-01. Elementul de sudură cel mai solicitat este verificat și, odată cu creșterea încărcării, tensiunea în sudură se distribuie în elementele de sudură adiacente. Prin urmare, rezistența ultimă a sudurii este mai mare decât simpla împărțire a forței la gradul de utilizare al sudurii.

Tensiunea Von Mises

Deformația plastică inclusiv forțele de întindere în ancoare

Verificarea tensiunilor și deformațiilor plăcilor

Verificarea îmbinării cu alunecare controlată

Verificarea sudurilor

Verificarea ancorelor

Verificarea betonului la compresiune prin rezemare

Tensiunea în beton sub placa de bază și aria conului de smulgere prin spargere a betonului

Verificarea pivotului de forfecare – capacitatea portantă și rezistența la smulgere prin spargere a betonului

Comparație

Este evident că analiza cu elemente finite arată o distribuție diferită a forțelor interioare față de ipotezele simplificate. Placa de nod contribuie de asemenea la transferul momentului încovoietor, astfel încât placa de nod și sudurile sale sunt mult mai solicitate decât în ipotezele standard de proiectare. Forțele din ancoare sunt ușor mai mici în IDEA deoarece tensiunea de sub placa de bază nu se află exact sub talpa stâlpului. Elementul cel mai solicitat în evaluarea manuală este inima pivotului de forfecare. În IDEA StatiCa, tensiunea echivalentă pe inima pivotului de forfecare este de 30,1 kip, aproape de limita de curgere.

Verificarea conform codului în software-ul de proiectare IDEA StatiCa Connection este în concordanță cu evaluarea manuală conform AISC 360, ACI 318 și ACI 341. Micile diferențe sunt cauzate în principal de simplificările din calculele manuale.