Słup o przekroju W12$\times$79 jest zakotwiony w bloku betonowym (wytrzymałość betonu na ściskanie 4 ksi) za pomocą czterech kotew 3/4'' A307 (f_y = 50 ksi, f_u= 65 ksi). Podstawa słupa jest podlana zaprawą. Stężenie HSS 3.5$\times$0.203 jest połączone za pomocą blachy węzłowej i 2 śrub sprężanych 3/4'' A490 (f_y = 130 ksi, f_u = 150 ksi). Cała stal jest gatunku A36 (f_y = 36 ksi, f_u = 58 ksi). Siła poprzeczna jest przenoszona przez ostrogę o przekroju W6$\times$25. Wybrano elektrody spawalnicze E70XX. Słup jest obciążony siłą ściskającą –160 kip, momentem gnącym 1000 kip-in oraz siłą poprzeczną 20 kip. Stężenie jest obciążone siłą rozciągającą 30 kip. 

Geometria

Analizowane złącze

Przekroje słupa (po lewej), stężenia (pośrodku) i ostrogi (po prawej)

Wymiary bloku betonowego

Wymiary blachy węzłowej i obciążenia w trybie przezroczystym

Obliczenia ręczne

Ręczne sprawdzenie śrub, spoin, blach i betonu na ściskanie jest wykonywane zgodnie z AISC 360-16. Nośność ostrogi jest wyznaczana zgodnie z ACI 349-01. Kotwy są projektowane zgodnie z AISC 360-16 – J9 oraz ACI 318-14 – Rozdział 17.

Wymagane są następujące sprawdzenia:

• Nośność na poślizg śrub na ścinanie – AISC 360-16 – J3.8
• Nośność na wyrwanie blokowe – AISC 360-16 – J4.3
• Nośność rozciąganych elementów łączonych – AISC 360-16 – J4.1
• Nośność spoin – AISC 360-16 – AISC 360-16 – J2.4
• Nośność na ścinanie ostrogi – AISC 360-16 – G2
• Nośność na zginanie ostrogi – AISC 360-16 – F2.1
• Nośność betonu na docisk od ostrogi – ACI 349-01 – B.4.5 i RB11
• Nośność betonu na wyrwanie stożkowe od ostrogi – ACI 349 – B11
• Nośność betonu na docisk przy ściskaniu – AISC 360-16 – J8
• Nośność stali kotew na rozciąganie – ACI 318-14 – 17.4.1
• Nośność betonu na wyrwanie stożkowe – ACI 318-14 – 17.4.2
• Nośność betonu na wyciąganie – ACI 318-14 – 17.4.3
• Nośność betonu na boczne wyrwanie – ACI 318-14 – 17.4.4

Przyjmuje się, że sprawdzenie nośności belki i słupa jest wykonywane oddzielnie.

Rozkład sił

Zakłada się, że cała siła poprzeczna jest przenoszona przez ostrogę do bloku betonowego. Siła poprzeczna jest przenoszona wyłącznie przez blok betonowy, a zaprawa jest nieefektywna. Siła poprzeczna jest sumą siły poprzecznej w słupie i poziomowej składowej siły rozciągającej w stężeniu, tj. $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip.

Siła rozciągająca w stężeniu, 30 kip, musi być przeniesiona przez dwie śruby sprężane. Blachy węzłowe i spoiny muszą być wystarczające.

Siła ściskająca, 160 kip, jest zmniejszona o pionową składową siły rozciągającej w stężeniu. Podstawa słupa musi przenieść siłę ściskającą $160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip oraz moment gnący 1000 kip-in. 

Sprawdzenie normowe połączenia stężenia

Połączenie sprężane

Nośność połączenia sprężanego jest wyznaczana zgodnie z AISC 360-16 – J3.8. Minimalne sprężenie śruby przyjęto z Tablicy J3.1 jako $T_b = 35$ kip. Nośność na poślizg pojedynczej śruby wynosi:

$$\phi R_n = \phi \mu D_u h_f T_b n_s = 1 \cdot 0.3 \cdot 1.13 \cdot 1.0 \cdot 35 \cdot 2 = 24  \textrm{kip}$$

Nośność na poślizg 2 śrub, 47 kip, jest wystarczająca do przeniesienia siły rozciągającej 30 kip.

Nośność rozciąganego języka

Język składa się z dwóch blach o grubości 1/4'' w celu uniknięcia mimośrodu przy obciążeniu ściskającym. Pole przekroju brutto i netto na rozciąganie wynoszą odpowiednio $3.4 \cdot (2\cdot 1/4)=1.7$ in² i $(3.4-13/16)\cdot (2\cdot 1/4)=1.3$ in².

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 1.7 = 55   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 1.3 = 57   \textrm{kip}$$

Nośność języka, 55 kip, jest wystarczająca do przeniesienia siły rozciągającej, 30 kip. Spoiny są zaprojektowane jako spoiny czołowe CJP, a ich nośność powinna być równa nośności materiału podstawowego.

Wymiary języka

Nośność blachy węzłowej na wyrwanie blokowe

Przewidywana linia plastyczna w blasze węzłowej przy zniszczeniu przez wyrwanie blokowe ma długość 6,6 in, a pęknięcie może nastąpić na linii krótszej o otwór na śrubę, tj. 5,8 in. Grubość blachy węzłowej wynosi 3/8''. 

$$\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 2.5 = 80   \textrm{kip}$$

$$\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 2.2 = 94   \textrm{kip}$$

Nośność blachy węzłowej, 80 kip, jest wystarczająca do przeniesienia siły rozciągającej, 30 kip.

Nośność spoin blachy węzłowej

Spoiny pachwinowe są zaprojektowane po obu stronach blachy węzłowej o rozmiarze 1/4''. Długości spoin wynoszą 5,2 in i 4,0 in. Aby uniknąć obliczania mimośrodu, przyjęto zachowawczo, że obie spoiny mają długość 4 in i każda przenosi połowę obciążenia. Spoina krytyczna jest obciążona pod kątem 40$^\circ$.

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 53 \cdot 2.83 = 112  \textrm{kip}$$

Nośność spoin przy blasze węzłowej, 224 kip, jest wystarczająca do przeniesienia siły rozciągającej, 30 kip.

Sprawdzenie normowe podstawy słupa

Podstawa słupa musi przenieść siłę ściskającą $P_u=160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141$ kip oraz moment gnący $M_u=1000$ kip-in. Ponieważ pole powierzchni podpory, A₂, jest wystarczająco duże, nośność betonu na docisk wynosi

$$\phi f_{p,(\max)}= \phi 1.7 f'_c = 0.65 \cdot 1.7 \cdot 4 = 4.4  \textrm{ksi}$$

$$\phi q_{\max} = f_{p,(\max)} B = 4.4 \cdot 19 = 83.6  \textrm{kip/in}$$

Płyta podstawy jest wydłużona ze względu na połączenie stężenia przez blachę węzłową. Przyjęto zachowawczo, że siła ściskająca działa na poziomie półki słupa, tj. e = 6,18 in od środka połączenia. Odległość między kotwą a środkiem połączenia wynosi f = 7,68 in. 

$$M_u= eP_r+2fN_{ua}$$

$$N_{ua}=\frac{M_u-eP_r}{2f}=\frac{1000-6.18 \cdot 141}{2\cdot 7.68}=8.4  \textrm{kip}$$

$$Y = \frac{P_r+2N_{ua}}{q_{\max}} = \frac{141+2\cdot 8.4}{83.6} = 1.9  \textrm{in}$$

Nośność betonu na docisk jest wystarczająca, ponieważ płyta podstawy jest wystarczająco duża, aby pomieścić długość strefy docisku, Y, a siła rozciągająca w kotwach wynosi 8,4 kip. Szczegółowe sprawdzenie normowe płyty podstawy z uwzględnieniem plastyczności płyty powinno być wykonane dla przypadku obciążenia z maksymalną siłą ściskającą.

Projektowanie kotew

Kotwy 3/4'', gatunku A307, o długości zakotwienia 12 in w bloku betonowym z okrągłymi podkładkami o średnicy 1,8 in. Kotwy są obciążone wyłącznie na rozciąganie, ponieważ siła poprzeczna jest przenoszona przez ostrogę. Sprawdzenie normowe kotew jest wykonywane zgodnie z ACI 318-14 – Rozdział 17. Nośność stali i nośność na wyciąganie są wyznaczane dla pojedynczych kotew, natomiast nośność betonu na wyrwanie stożkowe i nośność betonu na boczne wyrwanie są wyznaczane dla grupy kotew, ponieważ $3h_{ef} \ge s$, gdzie $h_{ef}$ jest głębokością zakotwienia, a s jest rozstawem kotew.

Nośność stali kotwy na rozciąganie – 17.4.1

$$\phi N_{sa}=\phi A_{se,N} f_{uta}$$

$$\phi N_{sa}= 0.7 \cdot 0.334 \cdot 60 = 14  \textrm{kip}$$

Nośność betonu na wyrwanie stożkowe – 17.4.2

$$h_{ef}=\min \left( \frac{c_{a,\max}}{1.5},   \frac{s}{3} \right ) \le h_{ef}  = \max \left(\frac{14}{1.5},   \frac{15.1}{3} \right ) = 9.33 \le 12   \textrm{in}$$

$$A_{Nc} = (14+1.8/2+14) \cdot (14+15.1+14)=1245  \textrm{in}^2$$

$$A_{Nco} = 9 h_{ef}^2 = 9 \cdot 9.33^2 = 783  \textrm{in}^2$$

$$N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 24 \cdot 1 \cdot \sqrt{4000} \cdot 9.33^{1.5} = 43.3  \textrm{kip}$$

$$\psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 9.33}} = 1$$

$$\psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 14}{1.5 \cdot 9.33}, 1 \right ) = 1$$

$$\phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b$$

$$\phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{1245}{783} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 43.3 = 48  \textrm{kip}$$

Nośność betonu na wyciąganie – 17.4.3

$$A_{brg} = \pi \left ( \frac{d_{wp}^2-d_a^2}{4} \right ) = \pi \left ( \frac{1.8^2-0.75^2}{4} \right ) = 2.1  \textrm{in}^2$$

$$N_p = 8 A_{brg} f'_c = 8 \cdot 2.1 \cdot 4 = 67  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{pn} = \phi \psi_{c,P} N_p = 0.7 \cdot 1 \cdot 67 = 47  \textrm{kip}$$

Nośność betonu na boczne wyrwanie – 17.4.4

$$red = \frac{1+\frac{c_{a2}}{c_{a1}}}{4} = \frac{1+\frac{14}{14}}{4} = 0.5$$

$$\phi N_{sb} = \phi 160 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 0.7 \cdot 160 \cdot 14 \cdot \sqrt{2.1} \cdot \sqrt{4000}= 144  \textrm{kip}$$

$$\phi N_{sbg} = n \cdot red \cdot \phi N_{sb} = 2 \cdot 0.5 \cdot 144 = 144  \textrm{kip}$$

Najmniejsza nośność dotyczy stali kotew, 14 kip. Jest ona wystarczająca do przeniesienia obciążenia 8,4 kip.

Projektowanie ostrogi

Zakłada się, że cała siła poprzeczna jest przenoszona przez ostrogę do bloku betonowego. Siła poprzeczna jest przenoszona wyłącznie przez blok betonowy, a zaprawa jest nieefektywna. Siła poprzeczna jest sumą siły poprzecznej w słupie i poziomowej składowej siły rozciągającej w stężeniu, tj. $V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43$ kip. Przekrój ostrogi to W6x25, a jej długość wynosi 6 in. Warstwa zaprawy ma grubość 1,5 in, więc ostroga jest zabetonowana na głębokość 4,5 in w bloku betonowym. Przyjmuje się, że parcie betonu jest równomiernie rozłożone w bloku betonowym. Moment gnący działający na ostrogę jest równy sile poprzecznej pomnożonej przez ramię 1,5 + 4,5 / 2 = 3,75 in, tj. M_u = 161 kip-in. Przyjmuje się, że spoiny pachwinowe na półkach i środniku ostrogi przenoszą odpowiednio moment gnący i siłę poprzeczną. Spoiny pachwinowe przy półkach muszą przenieść 161 / 5,9 = 27,3 kip.

Nośność betonu na docisk od ostrogi – ACI 349-01 – B4.5 i RB11

$$N_y = n A_{se} F_y = 4 \cdot 0.334 \cdot 36 = 48  \textrm{kip}$$

$$\phi P_{br}=\phi 1.3 f'_c A_1 + \phi K_c (N_y - P_a)$$

$$\phi P_{br}=0.7 \cdot 1.3 \cdot 4 \cdot 27.3 + 0.7 \cdot 1.6 \cdot (48 + 141) = 311  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Nośność betonu na wyrwanie stożkowe od ostrogi – ACI 349-01 – B11

$$A_{Vc} = (18.5+6.1+18.5) \cdot (4.5+20) - 6.1 \cdot 4.5 = 1028  \textrm{in}^2$$

$$\phi V_{cb} = A_{Vc} 4 \phi \sqrt{f'_c} = 1028 \cdot 4 \cdot 0.85 \cdot \sqrt{4000} = 221  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Nośność na ścinanie ostrogi – AISC 360-16 – G2

$$\phi V_n = 0.6 F_y A_w C_{v1}= 1 \cdot 0.6 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 1 = 44  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Spoiny pachwinowe środnika ostrogi – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 0^\circ) = 42  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 42 \cdot 1.93 = 61  \textrm{kip} \ge 43  \textrm{kip}$$

Nośność na zginanie ostrogi – AISC 360-16 – F2.1

$$\phi M_n = \phi M_p = F_y Z_x = 0.9 \cdot 36 \cdot 18.9 = 680.4  \textrm{kip-in} \ge 161  \textrm{kip-in}$$

Spoiny pachwinowe półki ostrogi – AISC 360-16 – J2.4

$$F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 90^\circ) = 63  \textrm{ksi}$$

$$\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 63 \cdot 2.1 = 100  \textrm{kip} \ge 27.3  \textrm{kip}$$

Nośność na ścinanie i zginanie ostrogi, nośność spoin, nośność betonu na docisk oraz nośność betonu na wyrwanie stożkowe są wystarczające do przeniesienia siły poprzecznej 43 kip.

Sprawdzenie normowe w IDEA StatiCa

Blachy są sprawdzane metodą elementów skończonych. Stosowany jest dwuliniowy model materiału z granicą plastyczności pomnożoną przez współczynnik nośności stali $\phi = 0.9$. Siły działające na pozostałe elementy połączenia, tj. śruby i spoiny, są również wyznaczane metodą elementów skończonych, jednak ich nośność jest sprawdzana przy użyciu standardowych wzorów z AISC 360-16, ACI 318-14 i ACI 349-01. Sprawdzany jest najbardziej wytężony element spoiny, a przy dalszym obciążaniu naprężenia w spoinie rozprzestrzeniają się na kolejne elementy spoiny. Dlatego ostateczna nośność spoiny jest wyższa niż wynikałoby to z prostego podzielenia siły przez stopień wykorzystania spoiny.

Naprężenie von Misesa

Odkształcenie plastyczne z uwzględnieniem sił rozciągających w kotwach

Sprawdzenie naprężeń i odkształceń blach

Sprawdzenie połączenia sprężanego

Sprawdzenie spoin

Sprawdzenie kotew

Sprawdzenie betonu na docisk

Naprężenia w betonie pod płytą podstawy i obszar wyrwania stożkowego betonu

Sprawdzenie ostrogi – nośność na docisk i nośność betonu na wyrwanie stożkowe

Porównanie

Analiza metodą elementów skończonych wykazuje inny rozkład sił wewnętrznych niż uproszczone założenia. Blacha węzłowa również uczestniczy w przenoszeniu momentu gnącego, w związku z czym blacha węzłowa i jej spoiny są znacznie bardziej obciążone niż wynika to ze standardowych założeń projektowych. Siły w kotwach są nieco mniejsze w IDEA StatiCa, ponieważ naprężenia pod płytą podstawy nie występują dokładnie pod półką słupa. Najbardziej wytężonym elementem w obliczeniach ręcznych jest środnik ostrogi. W IDEA StatiCa naprężenie zastępcze na środniku ostrogi wynosi 30,1 kip, co jest bliskie granicy plastyczności.

Sprawdzenie normowe w oprogramowaniu projektowym IDEA StatiCa Connection jest zgodne z obliczeniami ręcznymi według AISC 360, ACI 318 i ACI 341. Niewielkie różnice wynikają głównie z uproszczeń przyjętych w obliczeniach ręcznych.