1.2 CSFM 在 3D 中的主要假设与局限性

3D CSFM（协调应力场法）基于修正摩尔-库仑塑性理论定义单调加载下的混凝土行为。该方法考虑混凝土受压主应力以及裂缝处的钢筋应力（σ_sr），忽略混凝土的抗拉强度（拉力截断），但保留其对钢筋的刚化效应（拉力刚化）。

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

钢筋通过粘结单元与混凝土体有限单元相连，因此允许钢筋与混凝土之间发生滑移。需要注意的是，由于不考虑拉力，3D CSFM（协调应力场法）不适用于模拟素混凝土，否则可能导致错误的变形结果和模型不收敛。一般而言，摩尔-库仑理论包含两个控制塑性面在受压区及部分受拉区演化的基本参数：内摩擦角 φ 和黏聚力参数 c。3D CSFM（协调应力场法）假定内摩擦角为零 （图 1.2.1e），由于塑性面类似于 Tresca 模型且与第一应力不变量无关，因此设计结果偏于保守。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

混凝土 

所述材料模型是一个多面塑性模型，由适用于单调加载的摩尔-库仑模型与朗肯模型组合而成。需要注意的是，该模型不处理卸载，因此不存储状态变量，而用于循环加载的经典塑性模型则需要存储状态变量。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

如前所述，该材料模型用于计算钢筋混凝土的响应（不适用于素混凝土），这是因为模型不考虑混凝土的受拉作用。因此，对于不满足钢筋混凝土设计规则（如最小配筋率、最大钢筋间距等）的结构构件，该模型同样不适用。还需补充的是，出于数值稳定性的考虑，模型中定义了一个非常小的抗拉承载力。受拉部分由与朗肯模型对应的平面所限定。

IDEA StatiCa Detail 中的 3D CSFM（协调应力场法）未针对受压混凝土考虑以应变表示的明确破坏准则（即在达到峰值应力后，假定塑性分支无限延伸）。这一简化无法验证受压破坏结构的变形能力。然而，如果通过 fib Model Code 2010 中定义的折减系数 𝜂_𝑓𝑐 来考虑混凝土强度提高时脆性增大的影响，则可以正确预测其极限承载力，计算如下：

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

f_c 为混凝土圆柱体特征强度（在定义 $\eta_{fc}$ 时单位为 MPa）。

然后将 f_c,red 与混凝土中的等效主应力 σ_c,eq 进行比较（后文将给出其定义），当然，比较时需考虑规范规定的所有安全系数。

混凝土模型的详细说明可通过以下链接查阅：

• 3D Detail 混凝土材料模型

钢筋

设计规范所定义的钢筋双线性应力-应变图（图 1.2.1d）是一种理想化模型。该模型要求在设计阶段已知钢筋的基本特性，特别是强度等级和延性等级。此外，用户也可以自定义应力-应变关系。

拉力刚化通过修改裸钢筋的应力-应变关系来考虑，以反映埋入混凝土中的钢筋的平均刚度（ε_m）（图 1.2.1b）。

锚固

钢筋与混凝土之间的粘结-滑移通过简化的刚性-理想塑性本构关系引入有限元模型（图 1.2.1f），其中 f_bd 为设计规范针对具体粘结条件规定的极限粘结应力的设计值（已乘以系数的值）。

这是一个简化模型，其唯一目的是按设计规范验证粘结规定（即钢筋锚固）。采用弯钩、环形和类似形状的钢筋时锚固长度的折减，可通过在钢筋端部定义一定的承载力来考虑，后文将对此进行说明。

锚栓

锚栓单元可传递轴向拉力或压力以及剪力，并考虑其弯曲刚度。 

可用的锚栓类型如下：

• 现浇锚栓

  • 钢筋
  • 锚板
  • 栓钉
• 现浇钢筋

  • 钢筋
  • 螺纹杆

现浇 - 钢筋

按埋入混凝土中的带肋钢筋建模。粘结强度按所选规范的规则计算，与普通钢筋相同。在锚栓端部可以定义锚固类型，其作用与钢筋相同——根据所选规范设置 β 系数并施加锚固弹簧。提供三种几何形状：直形、L 形、U 形。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

现浇 - 锚板和栓钉

锚板和栓钉的钉头按板壳单元建模，采用相应材料并直接连接到锚栓杆身上。它通过仅受压接触将荷载传递给混凝土。可用形状：圆形和方形（栓钉仅有圆形），尺寸可自定义。锚板和钉头模型为弹性模型，不进行承载力校核。 

在有限元模型层面，直接校核锚栓的拔出。受压接触设有终止准则，使其传递给混凝土的接触应力不会超过所选标准的规定值。实际上，这意味着如果锚栓所受的力不满足拔出验算，则在后续加载过程中会超过该终止准则，从而导致计算提前终止。

锚栓杆身的粘结强度为零——所有荷载都通过锚板或钉头传递给混凝土。

后锚固 - 钢筋和螺纹杆

设计为安装在钻孔中并用胶粘剂粘结的杆件。工程师直接根据胶粘剂产品的技术规格指定设计粘结强度。

螺栓材料锚栓的材料模型

对于由螺栓材料制成的锚栓（螺纹杆和带锚板的锚栓），材料模型有两个特性与螺栓材料的名义值不同：弹性模量和延性。二者描述的是螺栓组件的性能以及用于测定名义值的试件的几何形状。它们与设计规范无关，因此对所有设计规范均采用相同的取值。螺栓材料的名义应力-应变图以及经系数 C_E 和 C_A 显示在“材料”选项卡中（图 1.2.4）。

弹性刚度。螺栓材料的弹性模量按系数 C_E 折减：

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - 螺栓的弹性模量
• E_b - 分析中采用的锚栓弹性模量

该方法基于最新研究（尚未发表；发表后将补充参考文献）。该研究利用有限元分析，并对照大量螺栓试验数据库，标定了螺栓组件的有效弹性模量。已发表的 Janković 等人（2025）的试验结果也证实了这一点：在 66 个长 1000 mm 的螺纹杆拉伸试验中（M20 至 M30，8.8 级和 10.9 级），实测初始刚度对应于 0.8·E·A_s/L_b，刚度预测值与实测值之比的平均值为 0.98，变异系数为 7.9 %。对于这一长度的杆件，螺母和螺纹啮合的影响可以忽略，因此该折减代表螺纹杆本身的有效弹性模量。顺带一提，EN 1993-1-8 中拉力作用下螺栓的刚度也包含相同的系数（两个螺栓的螺栓排取系数 1.6）。

延性。螺栓材料的延性以断后伸长率 A 表征，通常约为 10 %。这些数值是在短试件上测得的，其中局部颈缩占实测伸长量的很大一部分。颈缩段的长度与试件长度无关，因此试件越长，伸长率越低。对于埋入混凝土数百毫米的锚栓，其伸长率远低于规定值。因此，软件采用折减后的延性：

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - 螺栓材料的断后伸长率
• A_red - 折减后的延性，用作锚栓的应变终止准则
• C_A - 延性折减系数
• L_s - 锚栓的埋入长度 [mm]

当锚栓中的应变达到 A_red 时，即满足终止准则，分析终止，这与 3D CSFM（协调应力场法）的其他终止准则相同。

该公式基于最新研究（尚未发表；发表后将补充参考文献）。该研究给出了螺栓在极限承载力下塑性变形的近似公式，并对照大量螺栓试验数据库进行了标定：Δ_u,p = A · (0.177 · L + 2.19)，其中 L 为螺栓的变形长度，单位为 mm。与长度成正比的项代表杆件的均匀伸长，常数项代表颈缩的局部贡献。在软件中，取锚栓的埋入长度 L_s 作为该长度，将 Δ_u,p 除以 L_s 即得到应变 A/C_A。系数 C_A 随长度增大而增大，并趋近于极限值 1/0.177 = 5.65。当埋入长度为 200 mm 及以上时，该系数超过 5.3，因此锚栓的延性降低至名义值的约五分之一，例如当 L_s = 300 mm 时，由 12 % 降至约 2.2 %。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

有关各类锚栓与底板或预埋板连接的更多信息，请参见“有限单元类型”一章中的荷载传递装置。