2.5 Tipos de elementos finitos

O modelo de análise não linear (inelástica) por elementos finitos é criado a partir de vários tipos de elementos finitos, utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre ambos. Os elementos de betão e de armadura são primeiro discretizados em malha de forma independente e depois ligados entre si através de restrições multipontos (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição relativa arbitrária em relação ao betão. Se for necessário calcular a verificação do comprimento de ancoragem, inserem-se elementos de aderência e de mola de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Betão

O betão é modelado com elementos de casca quadrilaterais e triangulares, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos por quatro ou três nós, respetivamente. Considera-se que nestes elementos existe apenas um estado plano de tensão, ou seja, não são consideradas as tensões ou deformações na direção z.

Cada elemento tem quatro ou três pontos de integração, colocados aproximadamente a 1/4 da sua dimensão. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direções das deformações principais α₁, α₂. Em ambas as direções, as tensões principais σ_c1, σ_c2 e as rigidezes E₁, E₂ são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. Deve notar-se que o efeito do amolecimento à compressão acopla o comportamento da direção principal de compressão ao estado real da outra direção principal.

Armadura

Os varões são modelados por elementos 1D de dois nós do tipo “barra” (CROD), que têm apenas rigidez axial. Estes elementos são ligados a elementos especiais de “aderência”, desenvolvidos para modelar o comportamento de escorregamento entre um varão de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são, por sua vez, ligados por elementos MPC (restrição multipontos) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização em malha independente da armadura e do betão, ficando a sua interligação assegurada posteriormente.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da introdução, no modelo de elementos finitos, das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (2D) e os elementos de varão de armadura (1D). Para este efeito, foi desenvolvido um tipo de elemento finito de “aderência”.

A definição do elemento de aderência é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). Também é definido por 4 nós, mas, ao contrário de uma casca, apenas tem rigidez de corte não nula entre os dois nós superiores e os dois nós inferiores. No modelo, os nós superiores são ligados aos elementos que representam a armadura e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do escorregamento entre os nós superiores e inferiores, δ_u, ver Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-escorregamento, G_b, é definido da seguinte forma:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

onde:

k_g            coeficiente dependente da superfície do varão de armadura (por defeito k_g = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (considerado como E_cm no caso da EN)

Ø             o diâmetro do varão de armadura

Os valores de cálculo (valores majorados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nas normas de cálculo selecionadas, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como G_b/10⁵.

Mola de ancoragem

A existência de extremidades de ancoragem nos varões de armadura (isto é, dobras, ganchos, laços…), que cumpram as prescrições das normas de cálculo, permite reduzir o comprimento de ancoragem básico dos varões (l_b,net) por um determinado fator β (designado abaixo como “coeficiente de ancoragem”). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (l_b) é então calculado da seguinte forma:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

A redução pretendida de l_b,net é equivalente à ativação do varão de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima, dada pelo coeficiente de redução de ancoragem, como se mostra na Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos por meio de um elemento de mola na extremidade do varão (Fig. 15), definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

onde :

β             o coeficiente de ancoragem em função do tipo de ancoragem,

A_s            a secção transversal do varão de armadura,

f_yd           o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de cedência da armadura.