2.5 Typy konečných prvků

Model nelineární (neelastické) analýzy metodou konečných prvků je vytvořen z několika typů konečných prvků, které slouží k modelování betonu, výztuže a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a výztuže se nejprve nezávisle generují do sítě a poté se vzájemně propojí pomocí vazeb více bodů (prvky MPC). Výztuž tak může mít vůči betonu libovolnou relativní polohu. Pokud se má vypočítat posouzení kotevní délky, vloží se mezi výztuž a prvky MPC prvky soudržnosti a pružiny kotevních konců.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton je modelován čtyřúhelníkovými a trojúhelníkovými skořepinovými prvky CQUAD4 a CTRIA3. Ty jsou definovány čtyřmi, respektive třemi uzly. V těchto prvcích se předpokládá pouze rovinná napjatost, tj. napětí nebo přetvoření ve směru z se neuvažují.

Každý prvek má čtyři nebo tři integrační body, které jsou umístěny přibližně v 1/4 jeho velikosti. V každém integračním bodě každého prvku se vypočítají směry hlavních přetvoření α₁, α₂. V obou těchto směrech se vyhodnotí hlavní napětí σ_c1, σ_c2 a tuhosti E₁, E₂ podle zadaného pracovního diagramu betonu (napětí-přetvoření) dle obr. 2. Je třeba zdůraznit, že vlivem tlakového změkčení závisí chování v hlavním tlakovém směru na aktuálním stavu v druhém hlavním směru.

Vyztužení

Pruty výztuže jsou modelovány dvouuzlovými 1D prvky typu „rod“ (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou připojeny ke speciálním prvkům soudržnosti („bond“), které byly vyvinuty pro modelování prokluzu mezi prutem výztuže a okolním betonem. Prvky soudržnosti jsou následně propojeny prvky MPC (vazba více bodů) se sítí představující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé generování sítě výztuže a betonu, přičemž jejich propojení je zajištěno dodatečně.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka se posuzuje zavedením smykových napětí soudržnosti mezi prvky betonu (2D) a prvky prutů výztuže (1D) v modelu metodou konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut typ konečného prvku „bond“.

Definice prvku soudržnosti je podobná definici skořepinového prvku (CQUAD4). Je rovněž definován čtyřmi uzly, ale na rozdíl od skořepiny má nenulovou tuhost pouze ve smyku mezi dvěma horními a dvěma dolními uzly. V modelu jsou horní uzly připojeny k prvkům představujícím výztuž a dolní uzly k prvkům představujícím beton. Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti τ_b jako bilineární funkcí prokluzu mezi horními a dolními uzly δ_u, viz obr. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modul pružnosti ve smyku vztahu soudržnost-prokluz, G_b, je definován takto:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

kde:

k_g            součinitel závisející na povrchu prutu výztuže (ve výchozím nastavení k_g = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (u EN se uvažuje E_cm)

Ø             průměr prutu výztuže

Pro posouzení kotevní délky se používají návrhové hodnoty (součinitelem upravené hodnoty) mezního smykového napětí soudržnosti f_bd, uvedené ve zvolených návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19. Zpevnění plastické větve se ve výchozím nastavení počítá jako G_b/10⁵.

Kotevní pružina

Zajištění kotevních konců prutů výztuže (tj. ohyby, háky, smyčky…), které splňuje požadavky návrhových norem, umožňuje snížit základní kotevní délku prutů (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako „součinitel kotvení“). Návrhová hodnota kotevní délky (l_b) se potom vypočítá takto:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Zamýšlené snížení l_b,net odpovídá aktivaci prutu výztuže na jeho konci při procentu jeho maximální únosnosti daném redukčním součinitelem kotvení, jak ukazuje obr. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Snížení kotevní délky je v modelu metodou konečných prvků zahrnuto pomocí pružiny na konci prutu (obr. 15), která je definována konstitutivním modelem na obr. 15b. Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

kde :

β             součinitel kotvení podle typu kotvení,

A_s            průřezová plocha prutu výztuže,

f_yd           návrhová hodnota (součinitelem upravená hodnota) meze kluzu výztuže.