Torsiune

Ipoteze de calcul

Comportamentul unei secțiuni de beton armat supuse la torsiune poate fi împărțit în două categorii - înainte și după momentul în care se pot produce primele fisuri. Înainte de fisurare, secțiunea transversală se comportă ca un material elastic. Tensiunea de torsiune poate fi exprimată prin formula   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

unde W_t este modulul de rezistență la torsiune al secțiunii.

Fisurile în elementul nearmat datorate tensiunii principale de întindere din torsiune reprezintă, de asemenea, o stare limită ultimă. Comportamentul unei secțiuni de beton armat supuse la torsiune poate fi descris pe baza unei secțiuni închise cu pereți subțiri, a se vedea Fig. de mai jos. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Procedura de calcul

Procesul de verificarea conform codului a betonului armat la torsiune este foarte similar cu verificarea la forfecare. În primul rând, se verifică rezistența betonului. Dacă verificarea betonului este satisfăcută, armătura poate fi proiectată folosind regulile de alcătuire constructivă. În caz contrar, este necesară verificarea prin calcul a armăturii și a rezistenței diagonalelor comprimate.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Rezistență

Fluxul de forfecare într-un perete al secțiunii cu pereți subțiri supuse la torsiune poate fi exprimat astfel:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Forța de forfecare într-un perete al secțiunii cu pereți subțiri poate fi exprimată astfel:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Unde 

τ          Fluxul de forfecare în perete,

t_ef         este grosimea efectivă a peretelui,

z           este lungimea laturii peretelui,

T_Ed       este momentul de torsiune,

A_k        este aria delimitată de liniile mediane ale pereților de legătură, inclusiv golurile interioare.

Momentul de fisurare la torsiune, care poate fi determinat prin introducerea f_ctd în expresia anterioară. Astfel se obține expresia pentru rezistența la torsiune fără armătură de torsiune.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

unde  f_ctd       valoarea de calcul a rezistenței axiale la întindere a betonului

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

Rezistența elementului cu armătură de torsiune este compusă din rezistența diagonalelor comprimate din beton, bazată din nou pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele. Tensiunea de compresiune în diagonală poate fi exprimată cu ajutorul forței de forfecare din peretele secțiunii cu pereți subțiri pe suprafața peretelui considerat, adică

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Prin substituirea σ_c=σ_cwf_cd și T_Ed=T_Rd,max și exprimând T_Rd,max se obține ecuația pentru rezistența diagonalei comprimate

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

unde  

ν          = 0,6 pentru f_ck ≤ 60MPa sau  pentru f_ck > 60MPa

α_cw       coeficient care ține cont de starea de tensiune de compresiune în talpa comprimată

f_cd        valoarea de calcul a rezistenței la compresiune a betonului

rezistența armăturii de forfecare supuse la torsiune se bazează din nou pe tensiunea din diagonala comprimată. Forța din etrieri este egală cu tensiunea din diagonala comprimată pe aria corespunzătoare unui rând de etrieri, adică

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Substituind  T_Ed=T_Rd,s și exprimând T_Rd,s  se obține ecuația:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Dacă cantitatea de armătură longitudinală și transversală este cunoscută, putem defini unghiul θ prin expresia

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Prin substituire pentru T_Rd,s se obține

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Unde

A_sw      aria armăturii de forfecare

s           este distanța radială dintre etrieri ai armăturii de forfecare

f_ywd      este rezistența de calcul efectivă a armăturii de forfecare

A_sl       aria armăturii longitudinale

u_k         este perimetrul exterior al secțiunii transversale

f_ywd      este rezistența de calcul efectivă a armăturii longitudinale

Forța din armătura longitudinală poate fi dedusă din forța de forfecare dintr-un perete al secțiunii supuse la torsiune pură, care este dată de:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Acea forță este transformată în direcție longitudinală și se obține:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Intervalul admis al valorilor pentru unghiul θ este similar cu verificarea la forfecare, adică 1 < cot θ < 2,5. Dependența dintre rezistențe poate fi observată în Fig. de mai jos. Diagrama arată că odată cu creșterea unghiului θ, rezistența T_Rd,max crește, rezistența T_Rd.s scade, iar rezistența T_Rd,c este constantă, deoarece nu se bazează pe metoda analogiei cu grinda cu zăbrele.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Calculul caracteristicilor secțiunii transversale la torsiune

Pentru verificarea secțiunii transversale la torsiune este necesară stabilirea unei secțiuni închise echivalente cu pereți subțiri. La determinarea dimensiunilor secțiunii echivalente cu pereți subțiri se presupune o formă dreptunghiulară. Pentru aria reală a dreptunghiului se consideră A = b×h, iar pentru perimetrul dreptunghiului u =2 (b +h). Folosind aceste două ecuații se pot determina aria și perimetrul dreptunghiului echivalent cu pereți subțiri al secțiunii transversale originale. Rezolvând două ecuații cu două necunoscute se obține:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

Grosimea peretelui secțiunii efective poate fi definită din perimetru și aria secțiunii astfel:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Apoi aria și perimetrul definite de linia mediană a secțiunii efective:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Problema cu această metodă apare în cazul secțiunilor de tip T cu o placă lată, când aria totală și perimetrul sunt utilizate pentru calculul dimensiunilor (inclusiv această placă). În versiunile viitoare ale programului IDEA RCS va fi posibilă selectarea celei mai masive părți a secțiunii transversale, care va fi utilizată pentru verificarea la torsiune.