根据 EN 1993-1-9 的疲劳分析

本文介绍如何利用 IDEA StatiCa Connection 提供的名义应力，按照 EN 1993-1-9 进行完整的疲劳分析。

IDEA StatiCa Connection 提供以下位置的名义应力：

• 用户自定义截面
• 焊缝附近截面
• 螺栓和锚栓

所提供的应力为荷载效应与参考荷载效应之间的应力幅。应力幅不作任何修正，例如，下图所示情形允许在应力由拉力转变为压力时减小应力幅。

这些应力已包含部分应力集中系数，例如螺栓孔附近的应力集中。

其他系数仍需另行考虑，例如按 EN 1991 规定的等效常幅应力幅分项系数 $\gamma_{Ff}$，以及桁架模型中因忽略弯矩而对空心截面节点适用的 k₁ 系数。

IDEA StatiCa Connection 提供 $\sigma_{max}$ 和 $\tau_{max}$，用于求得 $\Delta \sigma$ 和 $\Delta \tau$。 

$$\Delta \sigma = \gamma_{Ff} \cdot k_x \cdot \sigma_{max}$$

$$\Delta \tau = \gamma_{Ff} \cdot k_x \cdot \sigma_{max}$$

其中：

• $\gamma_{Ff}$ – 等效常幅应力幅分项系数
• $k_x$ – 分析中未包含的其他系数，例如表 4.1 或 4.2 中的 $k_1$
• $\sigma_{max}$ – IDEA StatiCa Connection 输出的正应力
• $\tau_{max}$ – IDEA StatiCa Connection 输出的剪应力

根据第 8 章公式 (8.1)，须满足以下应力限值：

$$\Delta \sigma \le 1.5 f_y$$

$$\Delta \tau \le 1.5 f_y / \sqrt{3}$$

其中 $f_y$ 为钢材屈服强度。

构造细节须按表 8.1–8.10 进行分类，并考虑所有相关系数，例如尺寸效应系数。细节类别（经尺寸效应系数等折减后）给出 200 万次循环时的疲劳强度 $\Delta \sigma_c$ 和 $\Delta \tau_c$。$\Delta \sigma_c$ 和 $\Delta \tau_c$ 的值应除以疲劳强度分项系数 $\gamma_{Mf}$ 进行折减。

EN 1993-1-9 表 3.1 中 $\gamma_{Mf}$ 的取值：

S-N（应力-寿命）曲线的界限值按第 7.1 章确定：

$$\Delta \sigma_D = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} \Delta \sigma_c$$

$$\Delta \sigma_L = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} \Delta \sigma_D$$

$$\Delta \tau_L = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} \Delta \tau_c$$

根据附录 A.5，应计算破坏循环次数。与应力幅 $\gamma_{Ff} \Delta \sigma_i$ 对应的循环次数 $n_{Ei}$ 由用户输入。$N_{Ri}$ 按第 7 章计算。 

正应力，当 $\Delta \sigma \ge \Delta \sigma_D$ 时：

$$N_R = \frac{\Delta \sigma_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m}$$

其中：

• m = 3 – 疲劳强度曲线斜率 

正应力，当 $\Delta \sigma \ge \Delta \sigma_L$ 时：

$$N_R = \frac{\Delta \sigma_D^m \cdot 5\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m}$$

其中：

• m = 5 – 疲劳强度曲线斜率 

低于截止限值 $\Delta \sigma_L$ 的正应力不参与疲劳损伤累积。

剪应力，当 $\Delta \tau_E \le \Delta \tau_L$ 时：

$$N_R = \frac{\Delta \tau_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \tau^m}$$

其中：

• m = 5 – 疲劳强度曲线斜率 

低于截止限值 $\Delta \tau_L$ 的剪应力不参与疲劳损伤累积。

损伤按 Palmgren-Miner 法则（图 A.1）分别对正应力和剪应力按公式 (A.1) 和 (A.2) 计算：

$$D_d = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} \le 1.0$$

除表 8.8 和 8.9 另有规定外，正应力与剪应力应按公式 (8.3) 进行组合验算。

$$D_{d \sigma}^3 + D_{d \tau}^5 \le 1.0$$

算例

计算输入：用户设定一个参考荷载效应和三个疲劳荷载效应。IDEA StatiCa Connection 的输出结果为最大正应力及对应的剪应力。钢材等级为 S355。

分项系数按 EN 1991 和 EN 1993-1-9 确定：

$$\gamma_{Ff} = 1.0$$

$$\gamma_{Mf} = 1.15$$

验算应力限值：

$$\Delta \sigma \le 1.5 f_y$$

$$60 \, \textrm{MPa} \le 1.5 \cdot 355 = 532 \, \textrm{MPa}$$

$$\Delta \tau \le 1.5 f_y / \sqrt{3}$$

$$60  \, \textrm{MPa} \le 1.5 \cdot 355 / \sqrt{3} = 307 \, \textrm{MPa}$$

由表 8.1–8.10 确定 $\Delta \sigma_c = 90\,\textrm{MPa}$ 和 $\Delta \tau_c = 70\,\textrm{MPa}$。这些值经疲劳强度分项系数 $\gamma_{Mf} = 1.15$ 折减后得 $\Delta \sigma_c = 78.3\,\textrm{MPa}$ 和 $\Delta \tau_c = 60.9\,\textrm{MPa}$。

确定 S-N 曲线的界限值：

$$\Delta \sigma_D = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} \Delta \sigma_c = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} 78.3 = 57.7\,\textrm{MPa}$$

$$\Delta \sigma_L = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} \Delta \sigma_D = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} 57.7 = 31.7 \,\textrm{MPa}$$

$$\Delta \tau_L = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} \Delta \tau_c = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} 60.9 = 27.8\,\textrm{MPa}$$

 $\Delta \sigma$ 由 $\Delta \sigma_{max}$ 乘以等效常幅应力幅分项系数 $\gamma_{Ff} = 1.0$ 得到。本算例中无需其他系数 k_x。

对每个荷载工况分别按上述公式计算正应力和剪应力对应的破坏循环次数 $N_R$，例如 LE2 工况下正应力对应的破坏循环次数：

$$N_R = \frac{\Delta \sigma_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m} = \frac{78.3^3 \cdot 2\cdot 10^6}{60^3} = 4 \,438\, 234 \, \textrm{cycles}$$

采用 Palmgren-Miner 法则计算所有荷载效应的累积损伤。

正应力累积损伤：

$$D_{d \sigma} = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} = \frac{1\, 500\, 000}{4\, 438\, 235} + \frac{3\,000\,000}{10\,200\,230} = 0.632 \le 1.0$$

剪应力累积损伤：

$$D_{d \tau} = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} = \frac{1\, 500\, 000}{2\, 149\, 190} + \frac{3\,000\,000}{16\,320\,409} = 0.882 \le 1.0$$

最后，验算正应力与剪应力的相互作用：

$$D_{d \sigma} ^3 + D_{d \tau} ^5 \le 1.0$$

$$0.632 ^3 + 0.882 ^5  = 0.786 \le 1.0$$

所验算细节的疲劳承载力满足要求。

验证

在发布疲劳分析工具之前，已进行了多项试验验证：

名义应力法的疲劳寿命

疲劳分析 – I 形截面对接焊缝

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