Kaldırma sırasında uzun öngerilmeli beton kirişlerin yanal stabilitesi

Uzun öngerilmeli beton kirişlerin kaldırılması, yanal burulmalı burkulma olarak adlandırılan bir mekanizma ile stabilitenin kaybedilebileceği ilk inşaat aşamasıdır. Tasarımcı tarafında, elemanlar genellikle tamamlanmış yapıda yanal stabilite açısından değerlendirilir; bu durum her zaman kritik bir koşul değildir; özellikle kirişlerin enine elemanlar, döşeme veya çatının kendisi tarafından stabilize edilme eğiliminde olduğu göz önüne alındığında. İnşaat sırasındaki stabilite sorunları imalatçılara ve müteahhitlere bırakılmaktadır. Pek çok ders kitabında yer alan yanal burkulma formülleri, günümüzün ihtiyaçları için yeterince genel değildir ve bu nedenle özellikle zaman ve malzeme fiyatları baskısıyla karşı karşıya kalan modern imalatçının taleplerini karşılamakta yetersiz kalmaktadır.

Bu doğrulama makalesinde, IDEA StatiCa Beam ve enine stabilite hesabına yönelik modülünden elde edilen sonuçları, Robert F. Mast 1989 [1] ve Robert F. Mast 1993 [2] tarafından geliştirilen analitik hesapla karşılaştırıyoruz. Metnin ilk bölümünde analitik yöntemi kısaca tanıtıyor ve tüm formüller ile ara hesaplamalar dahil olmak üzere bir yük durumu için eksiksiz bir örnek hesaplama sunuyoruz. Ardından bunu uygulamadan elde edilen sonuçla karşılaştırıyor ve son olarak çeşitli tasarım durumlarının bir özetini veriyoruz. 

Yuvarlanma dengesi temel teorisi

Bir kiriş, kaldırma halkası gibi esnek mesnetlerden asıldığında serbestçe yuvarlanabilir. Dönme merkezi, esnek mesnedin rijit gövdeyle birleştiği noktadır. Her mesnet noktasındaki dönme merkezinden geçen bir doğru, yuvarlanma eksenini oluşturur. Başlangıç dışmerkezliği e_i ve menteşelerin ofseti, ağırlık merkezini her zaman yuvarlanma ekseninden biraz uzağa yerleştirecektir. Bu durum, kirişin yuvarlanma ekseni etrafında küçük bir θ_i açısıyla devrilmesine neden olur. 

$$\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}$$

Bu hafif devrilme, kiriş ağırlığının W sinθ_i bileşeninin zayıf eksen doğrultusunda uygulanmasına neden olur. Kiriş daha sonra eğilir ve bu durum kirişin kütle ağırlık merkezini daha da kaydırır. Bu, yanal yükü ve sehimi artıran yuvarlanma açısı θ'nın artmasına yol açar. Bu durum, θ_i'den biraz daha büyük bir θ açısında denge sağlanana kadar ya da enine sehim kirişi tahrip edecek düzeye ulaşana kadar devam eder.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}$$

Zayıf eksen etrafında etkiyen öz ağırlık bileşeni W sinθ_i, ağırlık merkezinde ek bir yanal sehim z'ye neden olmuştur. Denge açısı θ'yı bulmak için z'nin bulunması gerekir; ancak z, kendisi θ'ya bağlı olan W sinθ ağırlık bileşeni tarafından belirlenir.

Problem, önce tam ağırlığın zayıf eksen etrafında uygulanmasıyla ağırlık merkezinin teorik (varsayımsal) sehimi z₀'ın hesaplanmasıyla çözülebilir. Ardından, zayıf eksen bileşeni W sinθ olduğundan, z, z=z₀ sinθ olarak bulunabilir. Düzgün yayılı yüklü basit bir kirişin açıklık ortası sehimi, iyi bilinen formül kullanılarak hesaplanabilir:

$$\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}$$

Ancak β_y, kirişin yayının maksimum sehimidir; bize gereken z₀ ise kirişin sehimli yayının ağırlık merkezinin uzaklığıdır. z₀, β_y'nin yaklaşık 2/3'üdür. Daha kesin olarak:

$$z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}$$

Bu formülün türetimi [1] Ek F'de bulunabilir. Denge denklemi daha sonra şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}$$

Tek bilinmeyen artık θ'dır ve ardışık yaklaşım yöntemiyle bulunabilir. θ < 0.2 rad açıları için θ ≈ sinθ ≈ tanθ yaklaşımı kullanılabilir. Denge denklemi daha sonra şu şekilde sadeleşir:

$$\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}$$

Kaldırma noktası konumunun etkisi

Kaldırma noktasının uçtan küçük bir mesafe bile içeride konumlandırılması, yanal eğilme stabilitesini önemli ölçüde iyileştirebilir. Sehim yaklaşık olarak net açıklığın dördüncü kuvvetiyle orantılı biçimde azalmakla kalmaz, aynı zamanda sarkan uçlardaki ağırlık yuvarlanma ekseninin karşı tarafında yer aldığından z₀ daha da iyileşir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

z₀ denklemi, sehim eğrisinin şeklinin integre edilerek ağırlık merkezinin bulunmasıyla elde edilmiştir.

$$z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)$$

Karşılaştırma örneği

Bu makalenin amacı, kiriş kaldırma durumu için IDEA StatiCa Beam'deki enine stabilite hesaplamalarının doğruluğunu göstermektir. Aynı geometrik ve malzeme açısından doğrusal olmayan çözücünün tüm tasarım durumları için kullanıldığını, yalnızca sınır koşullarının veya başlangıç koşulunun değiştirildiğini belirtmek gerekir. Yukarıda sunulan analitik yöntemle sonuçları karşılaştırmak amacıyla örnek olarak, normal kuvvetin yaklaşık N_p = 1600 kN olacak şekilde merkezi olarak öngerilmiş I-kesitli prizmatik bir kiriş seçilmiştir. Kiriş ayrıca gösterildiği gibi B500B beton donatısıyla donatılmış olup C40/50 betonundan imal edilmiştir. Öngerme, test edilen herhangi bir koşulda çatlama oluşmayacak şekilde seçilmiştir. 

Uygulamadaki analizde iki doğrusal gerilme-gerinim tasarım diyagramı kullanılmakta olup elastik dal için elastisite modülü E_cd=f_cd/ε_c3 olarak basitçe belirlenebilmektedir.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}$$

Şekil 5'teki eksenlerin, etiketlemenin [1] ve [2]'ye dayandığı önceki teorik girişten farklı biçimde etiketlendiğini lütfen unutmayın.

Kiriş, yüksekliği h_h = 150 mm olan kancalarla askıya alınacaktır. Bu, y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm anlamına gelir.

Analitik hesaplama

Hesaplama prensibi bu makalenin başında zaten belirtilmişti. Şimdi tasarım durumlarından birine ayrıntılı olarak bakacak ve bunu uygulamadan elde edilen sonuçla karşılaştıracağız. Menteşeler a = 1.0 m konumuna yerleştirilecek ve başlangıç dışmerkezliği e_ig = 350 mm olacaktır. Bu, deformasyona uğramış kirişin geometrik başlangıç dışmerkezliği olup yayın maksimum sehimi olarak tanımlanmaktadır. Dolayısıyla bu, yukarıdaki manuel hesaplamalarda kullanılan yuvarlanma ekseninden ağırlık merkezinin başlangıç dışmerkezliği e_i değildir. Pratik nedenlerle, e_ig değeri IDEA StatiCa Beam uygulamasına girdi olarak kullanılmaktadır. Dikkate alınan tüm durumlar için e_ig değeri, CAD uygulamasındaki grafik yöntem kullanılarak e_i değerine dönüştürülmüştür.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}$$

Şimdi, θ > 0.2 rad açısı elde ettiğimizden, yukarıda belirtilen θ ≈ sinθ ≈ tanθ yaklaşımını kullanmadan sonuçların doğruluğunu kontrol edeceğiz. Bu durumda, önce başlangıç yuvarlanma açısı θ_i'yi hesapladığımız ve hesaplama kararlı hale gelene kadar yinelemeli olarak devam ettiğimiz yinelemeli hesaplamaya geçmemiz gerekmektedir.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}$$

Şimdi, aynı görevin IDEA StatiCa Beam ve Yanal stabilite modülünde nasıl hesaplandığına bakalım. Hesaplama için girdi değerleri Şekil 8'de sunulmaktadır. Dinamik katsayı ile diğer kombinasyon katsayıları 1,0 olarak ayarlanmıştır.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}$$

IDEA StatiCa Beam sonuçları

Doğrulama amacıyla, çözücünün temel çıktısı olan kiriş dönme değerini karşılaştırıyoruz. Deformasyon ve iç kuvvetler gibi diğer çıktılar doğrudan bu değere bağlıdır. Önce, analitik hesaplamadan elde edilen θ_i = 227 mrad değeriyle karşılaştırılması gereken başlangıç dönmesi θ_init = 220.4 mrad'a bakıyoruz.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}$$

Son olarak, Şekil 10'da görülebilen toplam kiriş dönmesi sonuçlarını karşılaştırabiliriz. Kirişin hem başlangıcındaki hem de ortasındaki değerler vurgulanmıştır. Dolayısıyla, analitik hesaplama tarafından yakalanmayan kirişin dönme rijitliğinin etkisi gözlemlenebilmektedir.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}$$

Tüm örnekler

Bu bölümde, incelenen kiriş için farklı başlangıç kusuru ve kaldırma halkası konumu kombinasyonlarıyla test edilen tüm durumlar sunulmaktadır.

θ_init, uygulamadan elde edilen başlangıç dönmesi değeridir ve analitik hesaplamadan elde edilen θ_i ile karşılaştırılmalıdır. θ_inc, öz ağırlıktan kaynaklanan yanal deformasyon nedeniyle oluşan ek dönmenin neden olduğu ve uygulamada hesaplanan dönme artımıdır; θ_tot ise analitik hesaplamadan elde edilen θ değeriyle karşılaştırılan sonuç dönmesidir.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}$$

Sonuç

Bu makalede, [1] ve [2]'ye göre kaldırma tasarım senaryosu kapsamında kirişlerin enine stabilitesine ilişkin analitik hesaplamalar, IDEA StatiCa Beam'de gerçekleştirilen tam malzeme ve geometrik doğrusal olmayan Sonlu Elemanlar Yöntemi analizi ile karşılaştırılmıştır. Sonuçlar, daha gelişmiş analizin çok doğru, güvenilir ve yeterince hassas olduğunu ortaya koymaktadır. Genel niteliği sayesinde, basitleştirme ve zahmetli manuel hesaplamalar olmaksızın çok daha geniş bir tasarım durumu portföyünü de kapsayabilmektedir. Ayrıca kirişin dönmediği denge konumuna ulaşmak için menteşelerin hangi konumda olması gerektiği de gözlemlenebilmektedir. Bu durumda, sarkan uçların stabilize edici momenti, kirişin sehiminden kaynaklanan dengesizleştirici momente eşittir.

Kaynaklar

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.