Estabilidade lateral de vigas longas de betão pré-esforçado durante o içamento

O içamento de vigas longas de betão pré-esforçado é a primeira das fases de construção durante a qual a estabilidade pode ser perdida por um mecanismo denominado encurvadura lateral-torcional. Do lado do projetista, os elementos são geralmente verificados quanto à estabilidade lateral na estrutura concluída, o que nem sempre constitui uma condição crítica, especialmente porque as vigas tendem a ser estabilizadas pelos elementos transversais, pelo pavimento ou pela própria cobertura. As questões de estabilidade durante a construção ficam a cargo dos fabricantes e empreiteiros. As fórmulas de encurvadura lateral presentes em muitos manuais não são suficientemente gerais para as necessidades atuais e, por isso, não conseguem satisfazer as exigências do fabricante moderno, que é pressionado, sobretudo, pelos prazos e pelos preços dos materiais.

Neste artigo de verificação, comparamos os resultados do IDEA StatiCa Beam e do seu módulo de cálculo de estabilidade transversal com o cálculo analítico elaborado por Robert F. Mast 1989 [1] e Robert F. Mast 1993 [2]. Na primeira parte do texto, apresentamos o método analítico de forma resumida e um cálculo de exemplo completo para um caso de carga, incluindo todas as fórmulas e cálculos intermédios. Comparamos depois este resultado com o obtido na aplicação e, por fim, apresentamos um resumo de várias situações de dimensionamento. 

Teoria básica do equilíbrio de rotação

Quando uma viga está suspensa por apoios flexíveis, como um laço de içamento, fica livre para rodar. O centro de rotação é o ponto em que o apoio flexível se une ao corpo rígido. Uma linha que passa pelo centro de rotação em cada apoio forma um eixo de rotação. A excentricidade inicial e_i e o deslocamento das rótulas colocarão sempre o centro de gravidade ligeiramente fora do eixo de rotação. Isto faz com que a viga incline em torno do eixo de rotação por um pequeno ângulo θ_i. 

$$\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}$$

Esta ligeira inclinação faz com que a componente do peso próprio da viga W sinθ_i seja aplicada na direção do eixo fraco. A viga fica então fletida, deslocando ainda mais o centro de gravidade da massa da viga. Isto provoca um aumento do ângulo de rotação θ, que aumenta igualmente a carga lateral e a deformação. Este processo continua até que o equilíbrio seja atingido a um ângulo θ ligeiramente superior a θ_i, ou até que a deformação transversal seja suficiente para destruir a viga.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}$$

A componente do peso próprio que atua em torno do eixo fraco W sinθ_i provocou uma deformação lateral adicional z do centro de gravidade. Para encontrar o ângulo de equilíbrio θ, é necessário determinar z, mas z é determinado pela componente do peso W sinθ, que por sua vez depende de θ.

O problema pode ser resolvido calculando primeiro uma deformação teórica (fictícia) z₀ do centro de gravidade com o peso total aplicado em torno do eixo fraco. Depois, como a componente do eixo fraco é W sinθ, z pode ser obtido como z=z₀ sinθ. A deformação a meio vão de uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída pode ser calculada pela fórmula bem conhecida:

$$\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}$$

Mas β_y é a deformação máxima do arco da viga, e necessitamos de z₀, que é a distância do centro de gravidade do arco deformado da viga. z₀ é aproximadamente 2/3 de β_y. De forma mais precisa:

$$z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}$$

A dedução desta fórmula pode ser encontrada em [1] Apêndice F. A equação de equilíbrio pode então ser reescrita como:

$$tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}$$

A única incógnita é agora θ, que pode ser determinado por aproximações sucessivas. Para ângulos θ < 0.2 rad, pode ser utilizada a aproximação θ ≈ sinθ ≈ tanθ. A equação de equilíbrio simplifica-se então para:

$$\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}$$

Efeito da localização do ponto de içamento

Localizar o ponto de içamento mesmo a uma pequena distância da extremidade pode melhorar significativamente a estabilidade à flexão lateral. Não só a deformação é reduzida, aproximadamente à quarta potência do vão livre, como z₀ melhora ainda mais, uma vez que o peso nas extremidades em consola se encontra do lado oposto do eixo de rotação.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

A equação para z₀ foi obtida integrando a forma da curva de deformação para determinar o seu centróide.

$$z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)$$

Exemplo de comparação

O objetivo deste artigo é demonstrar a correção dos cálculos de estabilidade transversal no IDEA StatiCa Beam para o caso de içamento de vigas. Vale a pena notar que o mesmo solver não linear em termos de geometria e material é utilizado para todas as situações de dimensionamento, sendo apenas alteradas as condições de fronteira ou a condição inicial. Como exemplo para comparar os resultados com o método analítico apresentado acima, foi escolhida uma viga prismática de secção em I, pré-esforçada centricamente de modo a que a força normal seja aproximadamente N_p = 1600 kN. A viga é ainda armada com armadura de betão B500B conforme indicado e é executada em betão C40/50. O pré-esforço é escolhido de modo a que não ocorra fendilhação em nenhuma condição em análise. 

Para a análise na aplicação é utilizado um diagrama de cálculo tensão-deformação bilinear, onde é possível determinar simplesmente o módulo de elasticidade para o ramo elástico E_cd=f_cd/ε_c3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}$$

Note-se que os eixos estão identificados de forma diferente na Figura 5 relativamente à introdução teórica anterior, onde a identificação se baseou em [1] e [2].

A viga será suspensa por ganchos com altura h_h = 150 mm. Isto significa que y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Cálculo analítico

O princípio de cálculo já foi mencionado no início deste artigo. Agora analisaremos em detalhe uma das situações de dimensionamento e compararemos com o resultado obtido na aplicação. As rótulas serão colocadas a a = 1.0 m e a excentricidade inicial será e_ig = 350 mm. Esta é a excentricidade inicial geométrica da viga deformada, entendida como a deformação máxima do arco. Não é, portanto, a excentricidade inicial do centro de gravidade em relação ao eixo de rotação e_i utilizada nos cálculos manuais acima. Por razões práticas, o valor e_ig é utilizado como dado de entrada na aplicação IDEA StatiCa Beam. Para todos os casos considerados, o valor e_ig foi convertido no valor e_i utilizando o método gráfico na aplicação CAD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}$$

Uma vez que obtivemos um ângulo θ > 0.2 rad, verificaremos a correção dos resultados sem utilizar a aproximação acima mencionada θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Temos então de prosseguir com o cálculo iterativo, onde calculamos primeiro o ângulo de rotação inicial θ_i e continuamos iterativamente até que o cálculo seja estável.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}$$

Vejamos agora como a mesma tarefa foi calculada no IDEA StatiCa Beam e no seu módulo de estabilidade lateral. Os valores de entrada para o cálculo são apresentados na Figura 8. O coeficiente dinâmico, bem como os restantes coeficientes de combinação, estão definidos como 1.0.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}$$

Resultados do IDEA StatiCa Beam

Para fins de verificação, comparamos o valor da rotação da viga, uma vez que este valor é o resultado básico do solver. Outros resultados, como deformações e esforços internos, dependem diretamente e estão relacionados com a rotação da viga. Em primeiro lugar, analisamos a rotação inicial θ_init = 220.4 mrad, que deverá corresponder ao valor de θ_i = 227 mrad do cálculo analítico.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}$$

Por fim, podemos comparar os resultados da rotação global da viga, que podem ser observados na Figura 10. Os valores tanto no início da viga como no seu centro estão destacados. É, portanto, possível observar o efeito da rigidez rotacional da viga, que não é captado pelo cálculo analítico.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}$$

Todos os exemplos

Este capítulo apresenta todas as situações testadas para a viga em estudo, com diferentes combinações de imperfeição inicial e posições do laço de içamento.

θ_init é o valor da rotação inicial obtido na aplicação e deve ser comparado com θ_i do cálculo analítico. θ_inc é o incremento de rotação calculado na aplicação, causado pela rotação adicional devida à deformação lateral pelo peso próprio, e θ_tot é a rotação resultante, comparada com o valor θ do cálculo analítico.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}$$

Conclusão

Neste artigo, comparámos os cálculos analíticos da estabilidade transversal de vigas sob o cenário de dimensionamento de içamento de acordo com [1] e [2] com a análise de elementos finitos totalmente não linear em termos de material e geometria, realizada no IDEA StatiCa Beam. Os resultados mostram que a análise mais sofisticada se revelou muito precisa, fiável e suficientemente exata. Devido à sua generalidade, pode também cobrir um portfólio significativamente mais alargado de situações de dimensionamento sem simplificações nem cálculos manuais morosos. Podemos ainda observar em que posição das rótulas é atingida a posição de equilíbrio, de modo a que a viga não rode. Neste estado, as extremidades em consola têm um momento estabilizador igual ao momento desestabilizador proveniente da deformação da viga.

Referências

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.