Stateczność boczna długich belek sprężonych podczas podnoszenia

Podnoszenie długich belek sprężonych jest pierwszą z faz budowy, podczas której może dojść do utraty stateczności w wyniku zjawiska zwanego zwichrzeniem. Po stronie projektanta elementy są zazwyczaj sprawdzane pod kątem stateczności bocznej na gotowej konstrukcji, co nie zawsze jest warunkiem krytycznym, zwłaszcza że belki mają tendencję do stabilizowania się przez elementy poprzeczne, strop lub samo pokrycie dachowe. Kwestie stateczności podczas budowy pozostawia się producentom i wykonawcom. Wzory na wyboczenie boczne zawarte w wielu podręcznikach nie są wystarczająco ogólne dla dzisiejszych potrzeb i nie spełniają wymagań nowoczesnego producenta, który jest szczególnie pod presją czasu i cen materiałów.

W niniejszym artykule weryfikacyjnym porównujemy wyniki z IDEA StatiCa Beam i jego modułu do obliczania stateczności poprzecznej z obliczeniami analitycznymi opracowanymi przez Roberta F. Masta 1989 [1] i Roberta F. Masta 1993 [2]. W pierwszej części tekstu krótko przedstawiamy metodę analityczną i prezentujemy kompletny przykład obliczeniowy dla jednego przypadku obciążenia, zawierający wszystkie wzory i obliczenia pośrednie. Następnie porównujemy go z wynikiem z aplikacji i na końcu przedstawiamy zestawienie kilku sytuacji obliczeniowych. 

Podstawowa teoria równowagi przy obrocie

Gdy belka zwisa na podatnych podporach, takich jak pętla do podnoszenia, może swobodnie się obracać. Środek obrotu to punkt, w którym podatna podpora łączy się z bryłą sztywną. Linia przechodząca przez środek obrotu przy każdej podporze tworzy oś obrotu. Mimośród początkowy e_i oraz przesunięcie zawiasów zawsze powodują, że środek ciężkości jest nieznacznie przesunięty względem osi obrotu. Powoduje to przechylenie belki względem osi obrotu o mały kąt θ_i. 

$$\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}$$

To niewielkie przechylenie powoduje, że składowa ciężaru belki W sinθ_i działa w kierunku słabej osi. Belka ulega wówczas ugięciu, co dodatkowo przesuwa środek ciężkości masy belki. Powoduje to wzrost kąta obrotu θ, który zwiększa zarówno obciążenie poprzeczne, jak i ugięcie. Trwa to do momentu osiągnięcia równowagi przy kącie θ nieznacznie większym niż θ_i lub do chwili, gdy ugięcie poprzeczne jest wystarczające do zniszczenia belki.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}$$

Składowa ciężaru własnego działająca względem słabej osi W sinθ_i spowodowała dodatkowe boczne ugięcie z środka ciężkości. Aby wyznaczyć kąt równowagi θ, należy znaleźć z, jednak z jest wyznaczane przez składową ciężaru W sinθ, która sama zależy od θ.

Problem można rozwiązać, obliczając najpierw teoretyczne (fikcyjne) ugięcie z₀ środka ciężkości przy pełnym ciężarze przyłożonym względem słabej osi. Następnie, ponieważ składowa słabej osi wynosi W sinθ, z można wyznaczyć jako z=z₀ sinθ. Ugięcie w połowie rozpiętości równomiernie obciążonej belki swobodnie podpartej można obliczyć za pomocą dobrze znanych wzorów:

$$\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}$$

Jednak β_y jest maksymalnym ugięciem łuku belki, a potrzebujemy z₀, czyli odległości środka ciężkości ugniętego łuku belki. z₀ wynosi w przybliżeniu 2/3 wartości β_y. Dokładniej:

$$z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}$$

Wyprowadzenie tego wzoru można znaleźć w [1] Załączniku F. Równanie równowagi można następnie przepisać jako:

$$tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}$$

Jedyną niewiadomą jest teraz θ, którą można wyznaczyć metodą kolejnych przybliżeń. Przyjmijmy, że dla kątów θ < 0.2 rad można zastosować przybliżenie θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Równanie równowagi upraszcza się wówczas do:

$$\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}$$

Wpływ położenia punktu podnoszenia

Umieszczenie punktu podnoszenia nawet w niewielkiej odległości od końca belki może znacząco poprawić stateczność przy zginaniu bocznym. Nie tylko zmniejsza się ugięcie, w przybliżeniu do czwartej potęgi efektywnej rozpiętości, ale z₀ poprawia się jeszcze bardziej, ponieważ ciężar w wystających końcach działa po przeciwnej stronie osi obrotu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

Równanie na z₀ uzyskano przez całkowanie kształtu krzywej ugięcia w celu wyznaczenia jej środka ciężkości.

$$z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)$$

Przykład do porównania

Celem niniejszego artykułu jest wykazanie poprawności obliczeń stateczności poprzecznej w IDEA StatiCa Beam dla przypadku podnoszenia belki. Warto zaznaczyć, że ten sam geometrycznie i materiałowo nieliniowy solver jest stosowany dla wszystkich sytuacji obliczeniowych – zmieniane są jedynie warunki brzegowe lub warunek początkowy. Jako przykład do porównania wyników z metodą analityczną przedstawioną powyżej wybrano pryzmatyczną belkę o przekroju dwuteowym, centrycznie sprężoną wstępnie tak, że siła normalna wynosi w przybliżeniu N_p = 1600 kN. Belka jest dodatkowo zbrojona zbrojeniem betonowym B500B, jak pokazano, i wykonana z betonu C40/50. Sprężenie dobrano tak, aby w żadnym z rozpatrywanych warunków nie wystąpiło zarysowanie. 

Do analizy w aplikacji zastosowano bilinearny diagram obliczeniowy naprężenie-odkształcenie, w którym można w prosty sposób wyznaczyć moduł sprężystości dla gałęzi sprężystej E_cd=f_cd/ε_c3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}$$

Należy zauważyć, że osie na Rysunku 5 są oznaczone inaczej niż we wcześniejszym wprowadzeniu teoretycznym, gdzie oznaczenia oparto na [1] i [2].

Belka będzie zawieszona na hakach o wysokości h_h = 150 mm. Oznacza to, że y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Obliczenia analityczne

Zasada obliczeń została już przedstawiona na początku niniejszego artykułu. Teraz przyjrzymy się szczegółowo jednej z sytuacji obliczeniowych i porównamy ją z wynikiem z aplikacji. Zawiasy zostaną umieszczone w odległości a = 1.0 m, a mimośród początkowy wyniesie e_ig = 350 mm. Jest to geometryczny mimośród początkowy odkształconej belki, rozumiany jako maksymalne ugięcie łuku. Nie jest to zatem mimośród początkowy środka ciężkości względem osi obrotu e_i stosowany w powyższych obliczeniach ręcznych. Ze względów praktycznych wartość e_ig jest używana jako dane wejściowe do aplikacji IDEA StatiCa Beam. Dla wszystkich rozpatrywanych przypadków wartość e_ig została przeliczona na wartość e_i metodą graficzną w aplikacji CAD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}$$

Ponieważ uzyskano kąt θ > 0.2 rad, sprawdzimy poprawność wyników bez stosowania wspomnianego przybliżenia θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Należy wówczas przeprowadzić obliczenia iteracyjne, w których najpierw oblicza się początkowy kąt obrotu θ_i, a następnie kontynuuje iteracyjnie aż do ustabilizowania się obliczeń.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}$$

Zobaczmy teraz, jak to samo zadanie zostało obliczone w IDEA StatiCa Beam i jego module Lateral stability. Dane wejściowe do obliczeń przedstawiono na Rysunku 8. Współczynnik dynamiczny oraz pozostałe współczynniki kombinacyjne są ustawione na 1.0.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}$$

Wyniki IDEA StatiCa Beam

Do celów weryfikacyjnych porównujemy wartość obrotu belki, ponieważ jest to podstawowy wynik solvera. Pozostałe wyniki, takie jak odkształcenia i siły wewnętrzne, są bezpośrednio od niej zależne. Najpierw sprawdzamy obrót początkowy θ_init = 220.4 mrad, który powinien odpowiadać wartości θ_i = 227 mrad z obliczeń analitycznych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}$$

Na koniec możemy porównać wyniki całkowitego obrotu belki, które przedstawiono na Rysunku 10. Wyróżniono wartości zarówno na początku belki, jak i w jej środku. Możliwe jest zatem zaobserwowanie wpływu sztywności skrętnej belki, który nie jest uwzględniany w obliczeniach analitycznych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}$$

Wszystkie przykłady

W niniejszym rozdziale przedstawiono wszystkie sprawdzane przypadki dla analizowanej belki z różnymi kombinacjami imperfekcji początkowej i położenia pętli do podnoszenia.

θ_init to wartość obrotu początkowego uzyskana z aplikacji, którą należy porównać z θ_i z obliczeń analitycznych. θ_inc to przyrost obrotu obliczony w aplikacji, spowodowany dodatkowym obrotem wynikającym z bocznego odkształcenia od ciężaru własnego, natomiast θ_tot to obrót wynikowy porównywany z wartością θ z obliczeń analitycznych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}$$

Wnioski

W niniejszym artykule porównano analityczne obliczenia stateczności poprzecznej belek w sytuacji obliczeniowej podnoszenia zgodnie z [1] i [2] z w pełni materiałowo i geometrycznie nieliniową analizą MES przeprowadzoną w IDEA StatiCa Beam. Wyniki pokazują, że bardziej zaawansowana analiza okazała się bardzo dokładna, wiarygodna i wystarczająco precyzyjna. Dzięki swojej ogólności może obejmować znacznie szersze portfolio sytuacji obliczeniowych bez uproszczeń i żmudnych obliczeń ręcznych. Można również zaobserwować, przy jakim położeniu zawiasów osiągana jest pozycja równowagi, w której belka nie obraca się. W tym stanie wystające końce wywierają moment stabilizujący równy momentowi destabilizującemu od ugięcia belki.

Literatura

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.