In de praktijk kunnen ingenieurs verschillende typen eindige elementen tegenkomen (van eenvoudige 1D-staafelementen tot complexere 3D-volume-elementen) die worden gebruikt in uiteenlopende toepassingen voor de analyse en het ontwerp van constructieve elementen. Een gemeenschappelijk kenmerk van de meeste berekeningen in de praktijk is het lineaire gedrag van de modellen. De voordelen daarvan zijn ontegenzeggelijk snelheid, overzichtelijkheid en simpelweg het feit dat deze oplossing voor een grote verscheidenheid aan problemen ruim voldoende is.

Vooral bij betonconstructies komt het vaak voor dat de lineaire benadering niet volstaat. Na het ontstaan van de eerste scheuren in het belaste element worden de spanningen namelijk herverdeeld en wordt het probleem sterk niet-lineair.

In deze gevallen is het nodig om een van de geavanceerdere benaderingen te kiezen. Voor 1D-gevallen zijn vaak analytische methoden te vinden die rechtstreeks in de normen zijn gedefinieerd. Zo kunnen voor vlakke 2D-elementen en discontinuïteitsgebieden (D-gebieden) bijvoorbeeld de populaire Staafwerk-modellen worden opgesteld. Ook kan de meer geavanceerde spanningsveldmethode worden toegepast die in IDEA StatiCa Detail is geïmplementeerd: CSFM.

Als de ingenieur echter een probleem tegenkomt dat niet kan worden vereenvoudigd tot vlak gedrag, zijn de mogelijkheden zeer beperkt. Natuurlijk kan een 3D-Staafwerkmodel worden opgesteld of kan semi-wetenschappelijke software worden gebruikt voor een nauwkeurige analyse. Deze werkwijzen zijn vaak tijdrovend, voldoen niet aan de normen en vereisen een ingenieur met kennis van geavanceerde modelleermethoden.

Om deze reden heeft IDEA StatiCa de 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) ontwikkeld en geïmplementeerd in de Detail applicatie. 3D CSFM breidt de beproefde CSFM uit naar de derde dimensie. Het biedt een snelle en normconforme oplossing die vooral geschikt is voor de ingenieur in de dagelijkse praktijk. Zo krijgt deze een unieke nieuwe mogelijkheid om complexe details van betonconstructies veilig aan te pakken.

3D CSFM definieert het betongedrag op basis van de gemodificeerde Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie voor monotone belasting. De methode houdt rekening met de hoofdspanningen in beton op druk en de wapeningsspanningen (σ_sr) ter plaatse van de scheuren, waarbij de treksterkte van beton wordt verwaarloosd (trekafsnijding), behalve voor het stijvere effect op de wapening (Tension stiffening).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

De wapeningsstaven zijn via aanhechtingselementen gekoppeld aan de eindige elementen van het betonvolume, waardoor slip tussen beton en wapening mogelijk is. Merk op dat 3D CSFM niet geschikt is voor het simuleren van ongewapend beton vanwege het ontbreken van trek, wat kan leiden tot misleidende vervormingen en divergentie van het model. In het algemeen omvat de Mohr-Coulomb-theorie twee fundamentele eigenschappen die de ontwikkeling van het plasticiteitsoppervlak op druk en gedeeltelijk op trek bepalen: de hoek van inwendige wrijving φ en de cohesieparameter c. 3D CSFM gaat uit van een hoek van inwendige wrijving van nul (Fig. 1.2.1e), wat leidt tot een conservatief ontwerp doordat het plasticiteitsoppervlak lijkt op het Tresca-model, dat onafhankelijk is van de eerste spanningsinvariant.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Het gepresenteerde materiaalmodel is een multisurface-plasticiteitsmodel, gevormd door de combinatie van de Mohr-Coulomb- en Rankine-modellen voor monotone belasting. Het is belangrijk op te merken dat dit model ontlasting niet behandelt. Toestandsvariabelen worden daarom niet opgeslagen, zoals wel gebeurt in klassieke plasticiteitsmodellen voor cyclische belasting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Zoals reeds vermeld is het materiaalmodel bedoeld voor toepassingen die het gedrag van gewapend beton berekenen (niet geschikt voor ongewapend beton). Dit komt doordat beton op trek wordt uitgesloten. Het model is daarom evenmin geschikt voor constructieve elementen waarvoor niet wordt voldaan aan de ontwerpregels voor gewapend beton, zoals het minimale wapeningspercentage, de maximale staafafstand, enzovoort. Ook moet worden toegevoegd dat om redenen van numerieke stabiliteit een zeer kleine treksterkte in het model is gedefinieerd. Het trekgedeelte wordt begrensd door vlakken die overeenkomen met het Rankine-model.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton op druk (het gaat dus uit van een oneindig plastische tak nadat de piekspanning is bereikt). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die op druk bezwijken niet worden geverifieerd. Hun uiterste capaciteit wordt echter correct voorspeld wanneer de toename van de brosheid van beton bij toenemende sterkte in rekening wordt gebracht met de reductiefactor 𝜂_𝑓𝑐 die in fib Model Code 2010 als volgt is gedefinieerd:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

f_c de karakteristieke cilindersterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

De f_c,red wordt vervolgens vergeleken met de equivalente hoofdspanning σ_c,eq in het beton, die verderop wordt gedefinieerd, uiteraard met inachtneming van alle veiligheidsfactoren die door de norm worden voorgeschreven.

Een gedetailleerde beschrijving van het betonmodel is te vinden via de volgende link:

• Concrete Material Model for 3D Detail

Wapening

Het bilineaire spanning-rek-diagram voor wapeningsstaven, zoals gedefinieerd door de ontwerpnormen (Fig. 1.2.1d), vertegenwoordigt een geïdealiseerd model. Dit model vereist kennis van de basiseigenschappen van de wapening tijdens de ontwerpfase, met name de sterkte- en ductiliteitsklasse. Als alternatief kunnen gebruikers een eigen spanning-rek-relatie definiëren.

Tension stiffening wordt in rekening gebracht door de spanning-rek-relatie van de blanke wapeningsstaaf aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven wordt weergegeven (ε_m) (Fig 1.2.1b).

Verankering

Aanhechting-slip tussen wapening en beton wordt in het eindige-elementenmodel geïntroduceerd door de vereenvoudigde stijf-ideaal-plastische constitutieve relatie uit (Fig. 1.2.1f) te beschouwen, waarbij f_bd de rekenwaarde (de gefactoreerde waarde) is van de uiterste aanhechtingsspanning die de norm voorschrijft voor de specifieke aanhechtingsomstandigheden.

Dit is een vereenvoudigd model met als enige doel het verifiëren van de aanhechtingsvoorschriften volgens de ontwerpnormen (d.w.z. de verankering van wapening). De reductie van de verankeringslengte bij het gebruik van haken, lussen en vergelijkbare staafvormen kan in rekening worden gebracht door een bepaalde capaciteit aan het uiteinde van de wapening te definiëren, zoals verderop wordt beschreven.

Ankers

Het ankerelement is gedefinieerd als een element dat normaal trek- of drukkrachten kan overdragen, evenals afschuifkrachten, rekening houdend met de buigstijfheid. 

De volgende typen ankers zijn beschikbaar:

• Ingestorte ankers

  • Wapening
  • Ankerplaat
  • Kopdeuvel
• Ingestorte wapening

  • Wapening
  • Draadeinden

Ingestorte - Wapening

Gemodelleerd als geribde wapening ingebed in beton. De aanhechtingssterkte wordt berekend volgens de regels van de geselecteerde norm, op dezelfde manier als voor standaardwapening. Aan het ankeruiteinde kan een verankeringstype worden gedefinieerd, dat identiek werkt aan wapening - er wordt een verankeringsveer toegepast met de β-factor ingesteld volgens de gekozen norm. Er zijn drie geometrische vormen beschikbaar: recht, L-vorm, U-vorm.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Ingestorte - Ankerplaat en kopdeuvel

De ankerplaat en de kop van de kopdeuvel worden gemodelleerd als een plaat-schaalelement van het overeenkomstige materiaal, rechtstreeks bevestigd aan de ankerschacht. Dit element draagt de belasting over op het beton via contact dat alleen druk overdraagt. Beschikbare vormen: rond en vierkant (alleen rond voor kopdeuvel), met aanpasbare afmetingen. Het model van de ankerplaat en de kop is elastisch en wordt niet getoetst op weerstand. 

Op het niveau van het eindige-elementenmodel wordt het uittrekken van het anker direct getoetst. Het drukcontact heeft stopcriteria die ervoor zorgen dat er geen grotere contactspanning op het beton kan worden overgedragen dan door de geselecteerde norm is voorgeschreven. In de praktijk betekent dit dat als het anker wordt belast met een kracht die niet voldoet aan de uittrekcontrole, de berekening voortijdig wordt beëindigd, omdat dit stopcriterium bij verdere belasting wordt overschreden.

De ankerschacht heeft een aanhechtingssterkte van nul – alle belasting wordt via de plaat of kop op het beton overgedragen.

Achteraf aangebrachte - Wapening en draadeind

Ontworpen als staven die in geboorde gaten worden geplaatst en met lijm worden aangehecht. De ingenieur specificeert de rekenwaarde van de aanhechtingssterkte rechtstreeks uit de technische specificatie van het lijmproduct.

Materiaalmodel van ankers van boutmateriaal

Voor ankers van boutmateriaal (draadeinden en ankers met ankerplaten) wijken twee eigenschappen van het materiaalmodel af van de nominale waarden van het boutmateriaal: de elasticiteitsmodulus en de ductiliteit. Beide beschrijven het gedrag van de boutverbinding en de geometrie van de proefstukken waarop de nominale waarden worden gemeten. Ze zijn niet afhankelijk van de ontwerpnorm en worden daarom voor alle ontwerpnormen identiek toegepast. Zowel het nominale spanning-rek-diagram van het boutmateriaal als het diagram dat is aangepast met de coëfficiënten C_E en C_A worden weergegeven op het tabblad Materials (Fig. 1.2.4).

Elastische stijfheid. De elasticiteitsmodulus van het boutmateriaal wordt gereduceerd met de coëfficiënt C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - elasticiteitsmodulus van de bout
• E_b - elasticiteitsmodulus van het anker zoals gebruikt in de analyse

Deze aanpak is gebaseerd op het meest recente onderzoek (nog niet gepubliceerd; de referentie wordt toegevoegd na publicatie), waarin de effectieve elasticiteitsmodulus van de boutverbinding met een eindige-elementenanalyse is gekalibreerd aan de hand van een uitgebreide database van boutproeven. Dit wordt bevestigd door reeds gepubliceerde experimentele resultaten van Janković et al. (2025): bij 66 trekproeven op draadeinden met een lengte van 1000 mm (M20 tot M30, klassen 8.8 en 10.9) kwam de gemeten initiële stijfheid overeen met 0.8·E·A_s/L_b, met een gemiddelde verhouding tussen voorspelde en gemeten stijfheid van 0.98 en een variatiecoëfficiënt van 7.9 %. Bij draadeinden van deze lengte is de invloed van de moeren en van de draadinsteek verwaarloosbaar. De reductie vertegenwoordigt dus een effectieve elasticiteitsmodulus van het draadeind zelf. Overigens is dezelfde factor opgenomen in de stijfheid van een bout op trek in EN 1993-1-8 (coëfficiënt 1.6 voor een boutrij van twee bouten).

Ductiliteit. De ductiliteit van boutmateriaal wordt gekarakteriseerd door de procentuele rek na breuk A, doorgaans ongeveer 10 %. Deze waarden worden gemeten op korte proefstukken, waarbij lokale insnoering een groot deel van de gemeten rek vormt. De lengte van de insnoering is niet afhankelijk van de lengte van het proefstuk, dus de procentuele rek neemt af naarmate het proefstuk langer wordt. Voor ankers die enkele honderden millimeters in het beton zijn ingebed, ligt deze aanzienlijk lager dan de gespecificeerde waarde. De applicatie gebruikt daarom de gereduceerde ductiliteit:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - procentuele rek na breuk van het boutmateriaal
• A_red - gereduceerde ductiliteit, gebruikt als stopcriterium voor de rek van het anker
• C_A - reductiecoëfficiënt voor de ductiliteit
• L_s - ingebedde lengte van het anker [mm]

Wanneer de rek in het anker A_red bereikt, is aan het stopcriterium voldaan en wordt de analyse beëindigd, op dezelfde manier als bij de andere stopcriteria van 3D CSFM.

De vergelijking is gebaseerd op het meest recente onderzoek (nog niet gepubliceerd; de referentie wordt toegevoegd na publicatie), dat een benadering geeft van de plastische vervorming van een bout bij zijn uiterste weerstand, gekalibreerd aan de hand van een uitgebreide database van boutproeven: Δ_u,p = A · (0.177 · L + 2.19), waarin L de vervormende lengte van de bout in mm is. De term die evenredig is met de lengte vertegenwoordigt de uniforme rek van het draadeind en de constante term de lokale bijdrage van de insnoering. In de applicatie wordt de ingebedde lengte van het anker L_s als deze lengte genomen. Door Δ_u,p te delen door L_s volgt de rek A/C_A. De coëfficiënt C_A neemt toe met de lengte en nadert de limiet 1/0.177 = 5.65. Voor ingebedde lengten van 200 mm en meer is deze groter dan 5.3, waardoor de ductiliteit van het anker wordt gereduceerd tot ongeveer een vijfde van de nominale waarde, bijvoorbeeld van 12 % tot circa 2.2 % bij L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Meer informatie over het aansluiten van de afzonderlijke ankertypen op de voetplaat of de ingestorte plaat is te vinden in het hoofdstuk Typen eindige elementen - Load transferring devices. 

In het volgende hoofdstuk bekijken we hoe de Mohr-Coulomb-theorie is geïmplementeerd in 3D CSFM. We leggen uit hoe het omsnoeringseffect (triaxiale spanning) wordt meegenomen en hoe de equivalente hoofdspanning σ_c,eq wordt berekend. Deze spanning wordt gebruikt om de draagkracht vanuit het oogpunt van het beton te bepalen.

Inleiding tot de theorie

De Mohr-Coulomb-theorie is een wiskundig model dat de respons van brosse materialen op afschuifspanning en normaalspanning beschrijft. De meeste klassieke constructiematerialen volgen deze regel in ten minste een deel van hun afschuifbezwijkomhullende. In het algemeen is de theorie van toepassing op materialen waarvan de druksterkte de treksterkte ruimschoots overschrijdt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

In de constructieve techniek wordt de theorie gebruikt om de bezwijkbelasting te bepalen, evenals de hoek van breuk voor de verplaatsing van het breukvlak in beton en vergelijkbare materialen. De wrijvingshypothese van Coulomb wordt gebruikt om de combinatie van afschuifspanning en normaalspanning te bepalen die breuk van het materiaal veroorzaakt. De cirkel van Mohr wordt gebruikt om te bepalen welke hoofdspanningen deze combinatie van afschuifspanning en normaalspanning opleveren en onder welke hoek van het vlak dit optreedt. Volgens het normaliteitsprincipe staat de spanning bij bezwijken loodrecht op de lijn die de breukconditie beschrijft. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Er kan worden aangetoond dat bij een materiaal dat bezwijkt volgens de wrijvingshypothese van Coulomb, de verplaatsing bij bezwijken een hoek met de breuklijn maakt die gelijk is aan de wrijvingshoek. Hierdoor is de sterkte van het materiaal te bepalen door het uitwendige mechanische werk van de verplaatsing en de uitwendige belasting te vergelijken met het inwendige mechanische werk van de rek en spanning op de bezwijklijn. Volgens het behoud van energie moet de som hiervan nul zijn, waardoor de bezwijkbelasting van de constructie kan worden berekend.

Implementatie in 3D CSFM

In het algemeen kunnen voor een gegeven hoek van inwendige wrijving van het beton, die in Referentie [1], [2], [3], [4] rond φ = 30-40° ligt, de cirkels van Mohr voor de trek- en druksterkte van het beton worden geconstrueerd zoals in Figuur 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Hierin is f_c de drucksterkte van het beton, f_ct de treksterkte van het beton, φ de hoek van inwendige wrijving, en σ_c1, σ_c3 zijn de hoofdspanningen van het beton onder triaxiale druk.

Het valt op dat naarmate de hoofdspanning σ_c3 toeneemt, ook het maximaal mogelijke verschil tussen de waarden van σ_c3 en σ_c1 toeneemt. Dit verschil definiëren we als maximale σ_c,eq (zie hieronder). Het komt overeen met tweemaal de deviatorische spanning, die in de literatuur wordt gedefinieerd als de straal van de cirkels van Mohr.

In 3D CSFM zoals geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail wordt de hoek van inwendige wrijving beschouwd als φ = 0°, zoals weergegeven in Figuur 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Het praktische gevolg van deze implementatie is dat het maximale verschil tussen σ_c3 en σ_c1 constant blijft naarmate σ_c3 toeneemt. 

De equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uniaxiale spanning uit voor een algemene triaxiale spanningstoestand.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde σ_c,eq kan daarom rechtstreeks worden vergeleken met de uniaxiale sterktegrenzen volgens de normen.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Hierin is σ_c,lim de rekenwaarde (met partiële factoren) van de uniaxiale sterkte van het beton f_c.

Als we Figuur 1.3.3, waarin de werkelijke hoek van inwendige wrijving wordt gebruikt, vergelijken met Figuur 1.3.4, die de implementatie van de Mohr-Coulomb-theorie met een hoek van inwendige wrijving van nul toont, dan blijkt dat de benadering die voor de berekeningen in Detail is gekozen zeer conservatief is voor de beoordeling van een triaxiale spanningstoestand.

Voor een beter inzicht in de gebieden die worden beïnvloed door triaxiale drukspanning, is de uitdrukking voor de toename van de effectieve materiaalsterkte als gevolg van triaxiale druk toegevoegd aan de IDEA StatiCa Detail applicatie als verhouding σ_c3/σ_c,lim. Deze verhouding vindt u in de normtoetsing Sterkte.

In de Auxiliary results vindt de gebruiker ook de factor κ, die de triaxialiteit op een andere manier verklaart. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

De toetsing van de betonsterkte kan dan als volgt worden herschreven:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Uit het voorgaande volgt dat als het element onder hydrostatische spanning staat - σ_c3=σ_c2=σ_c1, de equivalente hoofdspanning σ_c,eq de waarde nul heeft en de kappa-factor oneindig wordt.

Meer informatie vindt u hier: Tri-axial stress – the active confinement effect

Evenwichtsvergelijkingen

De theorie van kleine vervormingen maakt het mogelijk de evenwichtsvergelijking op te stellen op basis van het onvervormde volume met een eerste-orde benadering. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Compatibiliteitsvergelijkingen

Een vast lichaam bestaat uit infinitesimale volumes of materiaalpunten, die onderling zijn verbonden zonder openingen of overlappingen. Er moet aan wiskundige voorwaarden worden voldaan om te voorkomen dat er openingen of overlappingen ontstaan wanneer een continuümlichaam vervormt.

Constitutieve vergelijkingen

De constitutieve vergelijkingen die het gedrag van 3D-elementen beschrijven, spelen een cruciale rol bij de analyse van het materiaalgedrag in de constructiemechanica. Deze vergelijkingen zijn opgesteld om rekening te houden met niet-lineair isotroop gedrag, dat geldig is voor solid block staven in IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

3D CSFM houdt rekening met continue spanningsvelden in het beton (3D eindige elementen), aangevuld met discrete "staaf"-elementen die de wapening representeren (1D eindige elementen). De wapening is dus niet diffuus in de 3D eindige elementen van het beton verwerkt, maar expliciet gemodelleerd en met deze elementen verbonden. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Het niet-lineaire (inelastische) eindige-elementenmodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemesht en vervolgens met elkaar verbonden met behulp van multi-point randvoorwaarden (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening elke willekeurige positie innemen en is deze niet beperkt tot de knopen van het tetraëdrische mesh. Voor de toetsing van de verankeringslengte worden aanhechtings- en verankeringseindveerelementen tussen de wapening en de MPC-elementen geplaatst.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton wordt geanalyseerd met gemengde tetraëderelementen met knooprotaties. De tetraëderelementen maken het mogelijk gebieden met een willekeurige topologie te meshen, terwijl de toegepaste formulering nauwkeurige vervormingsresultaten garandeert (zonder valse afschuifspanning, bekend als het shear-lock-effect), zelfs bij een grof mesh dat niet geschikt zou zijn voor de formulering van lineaire tetraëderelementen. 

Er wordt volledige integratie toegepast. Dit betekent dat elk element is voorzien van vier integratiepunten die binnen het volume liggen. Een dergelijke integratie levert een nauwkeurig rek- en spanningsveld op, waardoor de resultaten over het hele volume voldoende kunnen worden geëvalueerd en weergegeven. Vervolgens worden de stopcriteria vastgesteld op basis van de waarde in het integratiepunt.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd met 1D-“staaf”-elementen met twee knopen (CROD), die alleen axiale stijfheid hebben. Deze elementen zijn verbonden met speciale “bond”-elementen die zijn ontwikkeld om het slipgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze bond-elementen worden vervolgens door MPC-elementen (multi-point randvoorwaarde) verbonden met het mesh dat het beton representeert. Deze aanpak maakt het onafhankelijk meshen van wapening en beton mogelijk, terwijl hun onderlinge verbinding later wordt gewaarborgd.

Bond-elementen

De verankeringslengte wordt getoetst door in het eindige-elementenmodel de aanhechtingsschuifspanningen tussen betonelementen (3D) en wapeningsstaafelementen (1D) te implementeren. Voor dit doel is het eindige-elementtype “bond” ontwikkeld.

Het bond-element is gedefinieerd als een schaal-eindig-element dat met de eerste laag is verbonden met de elementen die de wapening representeren en met de tweede laag via multi-point randvoorwaarden (MPC-elementen) met het betonmesh. Merk op dat het bond-element in dit artikel altijd met een hoogte ongelijk aan nul wordt weergegeven, terwijl deze in het model oneindig klein is gedefinieerd.

Het gedrag van dit element wordt beschreven door de aanhechtingsspanning, τ_b, als een bilineaire functie van de slip tussen de boven- en onderknopen, δu, zie (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

De elastische stijfheidsmodulus van de aanhechting-slip-relatie, Gb, is als volgt gedefinieerd:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard kg = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (genomen als Ecm in het geval van EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gefactoreerde waarden) van de uiterste aanhechtingsschuifspanning, f_bd, zoals opgegeven in de geselecteerde normen EN 1992-1-1 of ACI 318-19, worden gebruikt om de verankeringslengte te toetsen. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als Gb/105.

Verankeringsveer

Het aanbrengen van verankeringseinden aan de wapeningsstaven (d.w.z. haken, lussen, bochten…), dat voldoet aan de voorschriften van de normen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) te verminderen met een bepaalde factor β (hierna de ‘verankeringscoëfficiënt’ genoemd). De rekenwaarde van de verankeringslengte (lb) wordt vervolgens als volgt berekend:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

De reductie van de verankeringslengte wordt in het eindige-elementenmodel opgenomen door middel van een veerelement aan het einde van de staaf (Fig. 2.2.3a), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model in (Fig. 2.2.3b). De maximale kracht die door deze veer wordt overgedragen (F_au) is:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

waarbij:

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het type verankering

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf

f_yd           de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) van de vloeigrens van de wapening

Voetplaat

De voetplaat wordt gemodelleerd als een elastisch schaalelement. Het staalmateriaal dat voor voetplaten wordt gebruikt, wordt gedefinieerd op het tabblad Materials. De enige fysische eigenschap is de elasticiteitsmodulus E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

De voetplaat kan worden belast door een puntlast (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) en door een krachtengroep (Fx, Fy, Fz), voornamelijk gebruikt voor belastingmodellen die zijn geëxporteerd uit IDEA StatiCa Connection. Let op: puntlasten en puntmomenten belasten direct de overeenkomstige knoop van de voetplaat. Dit betekent dat er geen herverdeling plaatsvindt, behalve door de stijfheid van de voetplaat. 

Deze implementatie maakt het mogelijk om belastingseffecten uit IDEA StatiCa Connection te importeren die op de voetplaat worden aangebracht ter plaatse van de afzonderlijke eindige elementen van de las, met een waarde en richting die zijn bepaald uit de algemene spanning van dat eindige element van de las. Meer hierover is te lezen in het betreffende hoofdstuk van dit document.

De tweede belastingsoptie is de Stub — een korte lengte van de kolom boven de voetplaat. De stomp wordt gemodelleerd als een constructie van elastische schaalelementen en gedraagt zich als een fysiek nauwkeurige overgang tussen de snedekrachten en de plaat. De gebruiker selecteert een doorsnede voor de stomp uit een standaard profielendatabase. De set snedekrachten met 6 componenten (krachten en momenten) wordt aangebracht in een enkel punt op het ondervlak van de stomp — dus de voet van de kolom. Randvoorwaarden brengen de krachten over naar het bovenvlak van de stomp, van waaruit ze op natuurlijke wijze via de stomp worden herverdeeld naar de voetplaat, de ankers en het beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mechanisme voor afschuifoverdracht (van voetplaat naar betonblok)

Tussen de voetplaat en het beton is een contact met wrijving gedefinieerd dat alleen druk kan overdragen. Voor de overdracht van afschuiving kan de gebruiker kiezen uit drie opties:

• Via ankers
• Via wrijving
• Via afschuif deuvel

De software staat een combinatie van deze mechanismen voor afschuifoverdracht niet toe. 

De wrijvingscoëfficiënt moet worden ingevoerd als rekenwaarde (met partiële factoren). Als de resulterende afschuifkracht F_xy groter is dan de drukkracht F_z maal de wrijvingscoëfficiënt μ, stopt de berekening en worden niet alle belastingen op het model aangebracht. De voorwaarde luidt als volgt:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Dit is te zien in het volgende voorbeeld, waarin twee belastinggevallen worden beschouwd. 

• LC1 - Permanent type - F_z = 100 kN
• LC2 - Veranderlijk type - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

In de eerste rekenstap wordt de volledige permanente belasting aangebracht. Vervolgens wordt de veranderlijke belasting geleidelijk aangebracht tot deze de waarde van de drukbelasting maal de wrijvingscoëfficiënt bereikt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

De grafiek in Figuur 2.3.5 definieert het gedrag van het wrijvingscontact tussen de voetplaat en het beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

De waarde van F_zμ verschilt per increment van de berekening, terwijl de waarde van de maximale afschuifvervorming u_xy constant is. 

Als de normaal drukkracht F_z en de afschuifkracht F_xy in één type belastinggeval worden ingevoerd (bijv. alleen permanent) en de voorwaarde F_xy / (F_zμ) ≤ 1 niet is vervuld, wordt er geen belasting op het model aangebracht, omdat aan de voorwaarde in geen enkel increment van de berekening wordt voldaan.

De afschuif deuvel is met het betonmesh verbonden door randvoorwaarden die alleen de overdracht van normaalspanning op druk toestaan. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

De afschuif deuvel wordt gemodelleerd met elastische schaalelementen, waarbij de elasticiteitsmodulus E het materiaal definieert.

De resultaten worden niet beoordeeld en weergegeven voor de voetplaat en de afschuif deuvel.

 Opties voor de voetplaat  (stand-off, mortel)

De volgende set stand-off-opties is beschikbaar, volledig afgestemd op de Connection applicatie.

• Direct
• Mortelvoeg – moeren aan de bovenzijde
• Mortelvoeg – moeren aan de boven- en onderzijde
• Spleet

De mortellaag wordt gemodelleerd als een schaalelement, waarbij rekening wordt gehouden met de stijfheid ervan. Let op: schaalelementen zijn onsamendrukbaar in de richting van hun dikte. Dit helpt bij het herverdelen van lokale krachten naar het beton en is geldig voor de in de praktijk gebruikelijke dikten van het mortelbed van 25-50 mm.

Het onderscheid tussen moeren alleen aan de bovenzijde (scharnierende koppeling tussen anker en voetplaat) en moeren aan de boven- en onderzijde (vaste koppeling tussen anker en voetplaat) heeft een grote invloed op de afschuifcapaciteit ten aanzien van de stuik van het beton.

Ankers

De eindige elementen die ankers voorstellen, worden zo gemodelleerd dat ze normaal- en dwarskrachten naar het beton kunnen overdragen, waarbij ook de buigstijfheid van de ankers in rekening wordt gebracht. Om de slip tussen het anker en het omringende beton te modelleren, worden dezelfde aanhechtings- en MPC-elementen gebruikt als voor de wapening. Met dit verschil dat:

• Voor achteraf aangebrachte ankers (verlijmde ankers) de rekenwaarde van de aanhechtsterkte moet worden opgegeven.
• Voor ankerplaten en kopdeuvels wordt de aanhechting langs de schacht van het anker verwaarloosd. Alle axiale belasting wordt dan via de ankerplaat of de kop van het anker naar het beton overgedragen.

Aanhechting binnen de betondekking - Bij ankers die door aanhechting langs de schacht met het beton zijn verbonden, d.w.z. ingestorte wapeningsankers en achteraf aangebrachte ankers (verlijmde ankers), zijn de aanhechtingselementen binnen de betondekking niet actief. De applicatie bepaalt de betondekking automatisch als de afstand van het betonoppervlak tot het vlak van de oppervlaktewapening (Fig. 2.3.7a). Over deze lengte is de aanhechtsterkte tussen het anker en het beton nul en is het anker alleen onder de betondekking, over het resterende deel van de inbeddingsdiepte, door aanhechtingselementen met het beton verbonden (Fig. 2.3.7b). Alle belasting die via aanhechting wordt overgedragen, wordt daarom ingeleid in het beton dat door de oppervlaktewapening wordt omsloten, en de aanhechtingsspanningen van het anker binnen de betondekking zijn nul in de resultaten.

De reden is het verschillende bezwijkgedrag van de betondekking. 3D CSFM gebruikt een plastisch materiaalmodel voor beton waarin spanningen kunnen herverdelen (zie hoofdstuk 1.2). De betondekking nabij een vrij oppervlak bezwijkt echter bros, volgens de breukmechanica, zonder enige plastische reserve. Als de aanhechting binnen de betondekking actief zou zijn, zou het model een drukveld opbouwen in een gebied dat dit in werkelijkheid niet betrouwbaar kan opnemen, en zou de bijdrage van de betondekking aan de ankerweerstand worden overschat. Deze fout neemt toe met de dikte van de betondekking. Bovendien is de betondekking het deel van het model dat aan de omgeving wordt blootgesteld (carbonatatie, chloriden, agressieve stoffen), waardoor de eigenschappen ervan tijdens de gebruiksduur van de constructie kunnen verslechteren. Het verwaarlozen van de aanhechting binnen de betondekking is daarom een conservatieve aanname, die consistent is met de basisaannamen van 3D CSFM.

Deze aanname geldt alleen voor ankers die de belasting door aanhechting langs de schacht naar het beton overdragen. Kopdeuvels en ankers met ankerplaten dragen de axiale belasting over via de kop of plaat, met nul aanhechting langs de schacht, en worden dus niet beïnvloed. Gewone wapening wordt evenmin beïnvloed. De invloed op de weerstand is het grootst bij ankers waarvan de weerstand door aanhechting wordt bepaald en die zijn aangebracht in staven met een grote betondekking, omdat een groter deel van de inbeddingsdiepte niet bijdraagt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Ankers kunnen met voetplaten worden gekoppeld. Voor deze koppeling wordt een volledig niet-lineaire randvoorwaarde gebruikt om het uiteinde van het anker te verbinden met een knoop van de voetplaat. Met deze randvoorwaarde kunnen alle vrijheidsgraden worden beheerst, zodat bijvoorbeeld de ankers geen drukkracht vanuit de voetplaat overdragen, of het anker geen afschuiving overdraagt bij het modelleren van een afschuif deuvel, enzovoort. 

Met de eigenschappen van Koppeling met voetplaat voor ankers kan de gebruiker bepalen of het anker al dan niet door de eerder genoemde randvoorwaarde met de voetplaat wordt verbonden en op welke wijze. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Met het selectievakje Overdracht van afschuiving kan worden bepaald of het anker en de voetplaat wat betreft afschuiving al dan niet met elkaar zijn verbonden. Let op: het combineren van mechanismen voor afschuifoverdracht wordt niet ondersteund, dus voor overdracht door wrijving en afschuif deuvel is dit selectievakje niet van belang. Bij afschuifoverdracht via ankers biedt dit veld daarentegen de mogelijkheid om sommige ankers uit te sluiten van afschuifoverdracht.

Met het selectievakje Overdracht van axiale krachten kan worden bepaald of het anker en de voetplaat in axiale richting al dan niet met elkaar zijn verbonden. Dit wordt vooral gebruikt voor de export vanuit de Connection functie (zie het betreffende hoofdstuk). Bij handmatig modelleren is het zinvol om dit selectievakje altijd aan te vinken.

Als het selectievakje niet is aangevinkt, is het anker losgekoppeld op zowel trek als druk (bij een model dat is geëxporteerd uit de Connection applicatie wordt de verbinding vervangen door een krachtenpaar). Als het selectievakje is aangevinkt, is het anker op trek altijd met de plaat verbonden, maar de verbinding op druk wordt bepaald door het type anker en het type stand-off. Zie Figuur 2.3.8 voor meer informatie.

Gesneden draad

Wordt bepaald met een selectievakje in de ankereigenschappen en heeft twee doelen:

1. Definieert hoe het anker met de voetplaat is verbonden:

• Voor kopdeuvels en ingestorte wapening die met de voetplaat zijn verbonden (niet voor ingestorte platen) wordt onderscheid gemaakt tussen een boutverbinding (scharnierend) en een gelaste verbinding (ingeklemd) — zichtbaar in de 3D-weergave.
• Let op: de wijze van verbinding tussen anker en plaat heeft een aanzienlijke invloed op de afschuifweerstand ten aanzien van de stuik van het beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Voor Eurocode wordt de weerstand van het anker met gesneden draad gereduceerd conform EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Dit kan worden ingesteld in de Projectinstellingen. Voor draadeinden en ankerplaten wordt aanbevolen deze instelling altijd ingeschakeld te laten.

Axiale en rotatiekoppeling tussen anker en voetplaat

Zoals eerder in dit hoofdstuk is vermeld, worden ankers afhankelijk van het type anker, de stand-off-instelling en de vraag of gesneden draad wordt beschouwd, op verschillende wijzen met de voetplaat verbonden. Wat de rotatiekoppeling betreft kan dit scharnierend / ingeklemd zijn. Wat de axiale koppeling betreft kan dit trek / trek + druk zijn. De typen rotatiekoppeling hebben een grote invloed op de afschuifcapaciteit ten aanzien van de stuik van het beton. In een 3D-weergave is aan de aanwezigheid van moeren eenvoudig te zien of een anker ingeklemd of scharnierend is verbonden, zie Figuur 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

De volgende tabel toont alle mogelijke combinaties van verbindingen van de voetplaat met ankers en de bijbehorende rotatie- en axiale koppelingen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Ingestorte platen

Een ingestorte plaat is een speciaal geval van een voetplaat. Deze wordt analoog gemodelleerd, met de volgende verschillen:

Omdat de plaat in een betonblok is ingebed, kan geen type stand-off worden opgegeven. De inbeddingsdiepte van de plaat wordt verwaarloosd. De plaat, gemodelleerd met schaalelementen, wordt direct op het betonoppervlak geplaatst. De zijvlakken van de plaat worden daarom niet geacht door het beton te worden ondersteund.

Alleen wapening en kopdeuvels kunnen worden gebruikt; deze kunnen, net als klassieke ankers, in axiale richting en afschuifrichting met de plaat worden verbonden. Praktijkervaring en enkele nationale documenten geven aan dat kopdeuvels alleen voor afschuiving en wapening voor axiale belasting moeten worden ontworpen. Wat axiale en rotatiekoppelingen betreft zijn ankers altijd verbonden als ingeklemd en trek + druk.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

De eindige elementen zijn intern geïmplementeerd en het analysemodel wordt automatisch gegenereerd, zonder dat een ervaren gebruiker hoeft in te grijpen. Een belangrijk onderdeel van dit proces is het meshen.

Beton

Alle betonnen staven worden samen gemesht. De applicatie berekent automatisch een aanbevolen elementgrootte op basis van de afmetingen en de vorm van de constructie, rekening houdend met de diameter van de dikste wapeningsstaaf. Bovendien garandeert de aanbevolen elementgrootte dat er in dunne delen van de constructie, zoals slanke kolommen of dunne wanden, minimaal vier elementen worden gegenereerd. Zo worden betrouwbare resultaten in deze zones gewaarborgd. Ontwerpers kunnen altijd een door de gebruiker gedefinieerde elementgrootte voor beton kiezen door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte aan te passen.

Wapening

De wapening wordt verdeeld in elementen met ongeveer dezelfde lengte als de elementgrootte van het beton. Zodra de meshes van de wapening en het beton zijn gegenereerd, worden ze met elkaar verbonden door middel van aanhechtingselementen, zoals weergegeven in Fig. 2.2.1.

Verfijning

De betonmesh wordt automatisch verfijnd rond ankers, rond afschuif deuvels en onder de stomp voor belasting. De grootte van de verfijnde mesh is ongeveer twee keer kleiner dan die van de basis betonmesh. De straal van het verfijnde gebied wordt bij benadering gedefinieerd als de elementgrootte vermenigvuldigd met twee.

Een standaard volledig Newton-Raphson (NR) algoritme wordt gebruikt om de oplossing van een niet-lineair EEM-probleem te vinden. 

Over het algemeen convergeert het NR-algoritme vaak niet wanneer de volledige belasting in één stap wordt aangebracht. Een gebruikelijke aanpak, die ook hier wordt toegepast, is om de belasting achtereenvolgens in meerdere incrementen aan te brengen en het resultaat van het vorige belastingsincrement te gebruiken als startpunt voor de Newton-oplossing van het volgende increment. Hiervoor is bovenop het Newton-Raphson-algoritme een belastingsgestuurd algoritme geïmplementeerd. Als de NR-iteraties niet convergeren, wordt het huidige belastingsincrement gehalveerd en worden de NR-iteraties opnieuw uitgevoerd.

Een tweede doel van het belastingsgestuurde algoritme is het bepalen van de kritieke belasting, die overeenkomt met bepaalde "stopcriteria". Dit zijn specifiek de maximale rek in beton, de maximale slip in aanhechtingselementen, de maximale verplaatsing in verankeringselementen en de maximale rek in wapeningsstaven. De kritieke belasting wordt bepaald met de bisectiemethode. Als het stopcriterium ergens in het model wordt overschreden, worden de resultaten van het laatste belastingsincrement verworpen en wordt een nieuw increment berekend dat half zo groot is als het vorige. Dit proces wordt herhaald totdat de kritieke belasting met een bepaalde foutentolerantie is gevonden.

Voor beton is het stopcriterium ingesteld op een rek van 5% in druk (dus ongeveer een orde van grootte groter dan de werkelijke bezwijkrek van beton) en 7% in trek in de integratiepunten van schaalelementen. In trek is de waarde zo gekozen dat de grensrek van de wapening, die zonder rekening te houden met tension stiffening meestal rond 5% ligt, als eerste wordt bereikt. In druk is de waarde gekozen uit meerdere alternatieven als een waarde die groot genoeg is om de effecten van verbrijzelen zichtbaar te maken in de resultaten, maar klein genoeg om niet te veel problemen met de numerieke stabiliteit te veroorzaken.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Voor wapening is het stopcriterium gedefinieerd in termen van spanningen. Aangezien de spanningen ter plaatse van de scheur worden gemodelleerd, komt het criterium in trek overeen met de treksterkte van de wapening, rekening houdend met de veiligheidscoëfficiënt. Dezelfde waarde wordt gebruikt voor het criterium in druk.

Het stopcriterium in aanhechtingselementen en verankeringsveren is α·δ_umax, waarbij δ_umax de maximale slip is die wordt gebruikt in normtoetsingen en α = 10.

Andere stopcriteria voor verankeringen:

• Uittrekken van ankers met kop (maximale contactdrukspanning op het bovenvlak van de ankerkop). 
• Maximale afschuifkracht die door het anker kan worden overgedragen vanuit het oogpunt van de stuik van het beton.

Deze twee criteria zijn afhankelijk van de gekozen norm. Meer informatie hierover vindt u in de secties die de normafhankelijke onderdelen van de constructieve berekening in de applicatie toelichten.

De resultaten worden afzonderlijk weergegeven voor beton en voor wapeningselementen. De waarden van spanning en rek in beton worden berekend in de integratiepunten van de volume-elementen. Omdat het niet praktisch is de gegevens op deze manier weer te geven, worden de resultaten standaard in knopen weergegeven, bijvoorbeeld als de maximale waarde van de drukspanning uit aangrenzende Gauss-integratiepunten in verbonden elementen. Opgemerkt moet worden dat deze weergave de resultaten lokaal kan onderschatten bij de gedrukte randen van staven, wanneer de afmeting van het eindige element vergelijkbaar is met de hoogte van de drukzone.

De resultaten voor de eindige elementen van de wapening zijn ofwel constant per element (één waarde – bijvoorbeeld voor staalspanningen) ofwel lineair (twee waarden – voor aanhechtingsresultaten). Voor hulpelementen, zoals elementen van oplegplaten, worden alleen vervormingen weergegeven.

Het IDEA StatiCa Detail model hoeft niet altijd vanaf nul of op basis van een template te worden opgebouwd. Het is ook mogelijk om het model, inclusief belastingseffecten, te importeren uit IDEA StatiCa Connection. In Connection wordt de stalen bovenbouw boven het betonblok geanalyseerd met een niet-lineair 3D-model, terwijl het betonblok zelf vereenvoudigd wordt weergegeven door een Winkler-fundering. In Detail wordt het gewapende betonblok daarentegen expliciet gemodelleerd en in detail getoetst.

Bij het overdragen van het model worden alleen de voetplaat, de ankers en het betonblok in Detail geïmporteerd – de stalen staaf zelf (en de globale stijfheid ervan) niet. In het Connection-model is deze stalen staaf met een las verbonden met de voetplaat. De spanningen in de eindige elementen van de las worden geïntegreerd en omgerekend naar een set equivalente krachten die de voetplaat in Detail belasten. Op deze manier wordt het effect van de ontbrekende stalen staaf weergegeven door laskrachten die direct op de voetplaat worden aangebracht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Door de verschillende definitie van stijfheid in Connection en Detail (ontbrekende stalen staaf, verschillende materiaalmodellen en weergave van het beton) zou een directe verbinding tussen de voetplaat en de ankers in Detail in het algemeen leiden tot een andere herverdeling van de belastingen en dus tot andere trek krachten in de ankers. Om dit te voorkomen worden de ankers axiaal losgekoppeld van de voetplaat geïmporteerd. In plaats van axiale krachten over te dragen via fysiek contact, worden de ankertrekkrachten uit Connection direct op de ankers in Detail aangebracht. Tegelijkertijd wordt op elke ankerlocatie een gelijke en tegengestelde kracht op de voetplaat aangebracht, zodat het globale evenwicht van het model behouden blijft. Dit krachtenpaar (de ene kracht werkt op het anker, de andere op de voetplaat) vertegenwoordigt de interactie tussen de voetplaat en het anker, zonder dat extra herverdeling van axiale krachten in Detail mogelijk is. Deze twee tegengestelde krachten worden weergegeven in Figuur 2.7.1.

De afschuifkrachten worden echter nog steeds overgedragen via de verbinding tussen de voetplaat en de ankers (of via een afschuif deuvel, of wrijving). Dit is mogelijk omdat een randvoorwaarde wordt gebruikt om de voetplaat en de ankers op afschuiving te koppelen, waardoor we de relevante vrijheidsgraden van deze koppeling kunnen sturen. In Detail kan de gebruiker daarom het afschuifkrachtpad aanpassen – bijvoorbeeld door afschuiving bij twee van de vier ankers vrij te geven en alleen de randankers op afschuiving te laten werken – terwijl de axiale krachten blijven zoals ze uit Connection zijn geïmporteerd.

Voor ingestorte platen hebben we een andere aanpak gehanteerd. Verschillende Europese ontwerprichtlijnen eisen dat alleen de wapeningsstaven worden meegerekend voor het opnemen van axiale krachten, terwijl kopdeuvels geacht worden alleen afschuiving over te dragen. Omdat IDEA StatiCa Connection tijdens de export de axiale krachten in wapeningsankers intern niet kan scheiden van die in kopdeuvels, worden de ankers van ingestorte plaatten in Detail volledig verbonden, ook in axiale richting, geïmporteerd. Hierdoor kan de gebruiker in Detail een ontwerpoptie activeren waarbij wapeningsankers alleen axiale trek opnemen en kopdeuvels alleen afschuiving. In deze werkwijze moet de axiale kracht die oorspronkelijk aan de kopdeuvels was toegewezen, binnen het Detail-model worden herverdeeld over de wapeningsankers. Een dergelijke herverdeling zou niet mogelijk zijn als we de hierboven beschreven aanpak met een paar tegengestelde krachten zouden gebruiken. Daarom worden ingestorte platen anders behandeld.

Uiterste grenstoestand

De verschillende toetsingen die in specifieke normen worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De UGT-toetsingen worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Om te zorgen voor een efficiënt ontwerp van een constructief element, wordt sterk aanbevolen een voorlopige analyse uit te voeren met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritieke belastingcombinaties.
• Bereken alleen de belastingcombinaties voor de uiterste grenstoestand (UGT).
• Om de rekentijd te verkorten en eventuele problemen op te lossen, kunt u een grof mesh gebruiken door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard mesh-grootte in de Setup te vergroten (Fig. 3.1.1). Als het model goed presteert, zet u de vermenigvuldigingsfactor terug op 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Een dergelijk model rekent zeer snel, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle toetsingseisen is voldaan voor de meest kritieke belastingcombinaties. Zodra aan alle toetsingseisen van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt aanbevolen om de volledige combinaties voor de uiterste grenstoestand op te nemen en een fijne mesh-grootte te gebruiken (de mesh-grootte die door het programma wordt aanbevolen). Gebruikers kunnen de mesh-grootte wijzigen met de vermenigvuldigingsfactor, die waarden van 0,5 tot 5 kan aannemen (Fig. 3.1.1).

De basisresultaten en toetsingen (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde uit de norm)), evenals de richting van de hoofdspanningen bij betonnen elementen, worden weergegeven in verschillende grafieken waarin druk doorgaans rood en trek blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten worden weergegeven, zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningspercentages (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven. Bovendien kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastinggevallen worden weergegeven.

Beton - UGT

Het betonmodel dat in 3D CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de uniaxiale constitutieve wetten voor druk volgens EN 1992-1-1 voor het ontwerp van doorsneden, die alleen afhangen van de druksterkte. Het parabool-rechthoekdiagram uit EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 4.1.1a) wordt in 3D CSFM standaard gebruikt, maar de ontwerper kan ook kiezen voor een vereenvoudigde elastisch-ideaal plastische relatie volgens EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 4.1.1b). De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals ook in het klassieke ontwerp van gewapend beton gebeurt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

De implementatie van 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton onder druk (dat wil zeggen: nadat de piekspanning is bereikt, wordt een plastische tak aangehouden met ε_cu2 (ε_cu3) met een waarde van 5%, terwijl EN 1992-1-1 uitgaat van een uiterste rek kleiner dan 0,35%). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die door druk bezwijken niet worden geverifieerd. Hun uiterste capaciteit f_cd volgens EN 1992-1-1 3.1.3 wordt echter correct voorspeld wanneer de toenemende brosheid van beton bij hogere sterkte in rekening wordt gebracht met de reductiefactor $\eta_{fc}$ uit fib Model Code 2010, als volgt:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

α_cc de coëfficiënt is die rekening houdt met langetermijneffecten op de drukSterkte en met ongunstige effecten die voortvloeien uit de wijze waarop de belasting wordt aangebracht. Deze volgt uit EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). De standaardwaarde is 1,0.

f_ck de karakteristieke cilinderdruksterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Standaard wordt het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram voor het blanke wapeningsstaal uit EN 1992-1-1, sectie 3.2.7 (Fig. 4.1.2) gehanteerd. Voor de definitie van dit diagram zijn tijdens de ontwerpfase alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig (sterkte- en ductiliteitsklasse). Indien bekend, kan de werkelijke spanning-rekrelatie van de wapening (warmgewalst, koudvervormd, gehard en zelfontlaten, …) worden toegepast. Het spanning-rekdiagram van de wapening kan door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om het tension stiffening effect mee te nemen (de scheurwijdte kan dan niet worden berekend). Het gebruik van een spanning-rekdiagram met een horizontale bovenste tak maakt verificatie van de constructieve duurzaamheid niet mogelijk. Daarom is handmatige verificatie van de normatieve ductiliteitseisen noodzakelijk.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Tension stiffening (Fig. 4.1.3) wordt automatisch in rekening gebracht door de spanning-rekrelatie van het blanke wapeningsstaal aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven (ε_m) wordt weergegeven.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne normen. Omdat de rekenmodellen uitsluitend gebruikmaken van standaard materiaaleigenschappen, kan het in de normen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen vermenigvuldigd met factoren en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de bijbehorende veiligheidscoëfficiënten uit de normen, precies zoals bij conventionele betonberekeningen. De waarden van de materiaalveiligheidsfactoren uit EN 1992-1-1 hoofdstuk 2.4.2.4 en de factoren voor ankers uit EN 1992-4, EN 1993-1-8 en EN 1994-1-1 zijn standaard ingesteld, maar de gebruiker kan de veiligheidsfactoren wijzigen in de instellingen voor norm en berekening (Fig. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Belastingfactoren moeten door de gebruiker worden gedefinieerd in de combinatieregels voor elke niet-lineaire combinatie van belastinggevallen (Fig. 4.2.2). Voor alle templates die in Idea StatiCa Detail zijn geïmplementeerd, zijn de partiële veiligheidsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Door geschikte, door de gebruiker gedefinieerde combinaties van partiële veiligheidsfactoren te gebruiken, kunnen gebruikers met 3D CSFM ook rekenen volgens de globale weerstandsfactormethode (Navrátil et al. 2017), maar deze aanpak wordt in de ontwerppraktijk zelden toegepast. Sommige richtlijnen bevelen de globale weerstandsfactormethode aan voor niet-lineaire analyses. Bij vereenvoudigde niet-lineaire analyses (zoals 3D CSFM), waarbij alleen de materiaaleigenschappen nodig zijn die ook bij conventionele handberekeningen worden gebruikt, verdient het formaat met partiële veiligheidsfactoren nog steeds de voorkeur.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen, is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rek-curve voor beton van de Portland Cement Association. Deze curve is beschreven in PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk in het klassieke ontwerp van gewapend beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van de CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton onder druk (na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak aangehouden met ε_c0 met een maximumwaarde van 5%, terwijl ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 een uiterste rek van minder dan 0,3% veronderstelt). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die onder druk bezwijken niet worden geverifieerd. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer de toename van de brosheid van beton bij toenemende sterkte wordt meegenomen met de reductiefactor $\eta_{fc}$ die in fib Model Code 2010 als volgt is gedefinieerd:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ de reductiefactor voor de druksterkte van beton is, gedefinieerd in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek-diagram moet de maximale drukspanning met deze factor worden gereduceerd. Hierdoor wordt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig gemiddeld dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rek-diagram met een dalende plastische tak. 

Φ_c de sterktereductiefactor voor beton is. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

f'_c de cilindersterkte van beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Er wordt uitgegaan van een perfect elastisch-plastisch spanning-rek-diagram met een gedefinieerd vloeipunt voor de niet-voorgespannen wapening. Zie ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Voor de definitie van dit diagram hoeven alleen de basiseigenschappen van de wapening bekend te zijn: sterkte en elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek-diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval kan het tension stiffening effect niet worden meegenomen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s de sterktereductiefactor voor wapening is. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y de vloeigrens van de wapening is

E_s de elasticiteitsmodulus van de wapening is

Als grensrek waarbij de berekening wordt gestopt, is 10% geselecteerd. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Fig. 5.1.3)  wordt automatisch meegenomen door de ingevoerde spanning-rek-relatie van het blanke wapeningsstaal aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven wordt vastgelegd (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne normen. Omdat de rekenmodellen uitsluitend standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het in de normen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen met factoren vermenigvuldigd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de betreffende reductiefactoren voor de sterkte, precies zoals bij conventionele betonberekeningen.

Waarden van de reductiefactoren voor de sterkte zijn voorgeschreven in ACI 318-19 hoofdstuk 21 en voor ankers in ACI 318-19 hoofdstuk 17 en AISC 360-16 hoofdstuk D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingfactoren voor sterktecombinaties worden gedefinieerd volgens ACI 318-19 Tabel 5.3.1.

Behalve zoals vermeld in hoofdstuk 34 zijn belastingcombinaties voor de bruikbaarheidsgrenstoestand niet gedefinieerd in ACI 318-19. Aanbevolen wordt om combinatieregels te gebruiken op basis van Appendix C van ASCE/SEI 7-16. Voor alle templates zijn de belastingfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende verificaties die ACI 318-19 vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De verificaties worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Sterkte - Beton

De betonsterkte op druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale equivalente hoofdspanning f_c,eq (in de voorgaande tekst ook σ_c,eq genoemd), verkregen uit de EEM-analyse, en de grenswaarde f'_c,lim.

De equivalente hoofdspanning is de equivalente uniaxiale spanning voor een algemene triaxiale spanningstoestand.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde f_c,eq kan daarom direct worden vergeleken met uniaxiale sterktegrenzen. Deze uitdrukking is afgeleid uit de plasticiteitstheorie van Mohr-Coulomb, waarbij conservatief wordt uitgegaan van een hoek van inwendige wrijving φ = 0°.

Sterkte - Wapening

De sterkte van de wapening wordt zowel op trek als op druk bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de gespecificeerde grenswaarde f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Sterkte - Ankers

Ankers worden op normaalspanningen getoetst op dezelfde manier als wapening, waarbij de grenswaarde f_y,lim wordt bepaald. 

Om de volgende tekst overzichtelijker te maken, verdelen we de verankering eerst in drie groepen met betrekking tot de normtoetsing volgens ACI of AISC.

Groep 1

• Verankeringstypen

  • Ingestorte plaat
  • Voetplaat - Stand-off = direct 
  • Voetplaat - Stand-off = mortelverbinding - dikte van de mortel kleiner dan 0,5 keer de ankerdiameter
  • Enkel anker met een uitstekende lengte kleiner dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (ACI / AISC)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypen op trek – ACI 318-19 hfdst. 17.6.1.2  
    • Alle ankertypen op druk – AISC 360-16 hfdst. E
  • Afschuiving zonder hefboomsarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (b)
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (a)
    • Wapening – ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (b)
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hfdst. 17.8

Groep 2

• Verankeringstypen

  • Voetplaat - Stand-off = mortelverbinding - dikte van de mortel groter dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (ACI / AISC)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypen op trek – ACI 318-19 hfdst. 17.6.1.2  
    • Alle ankertypen op druk – AISC 360-16 hfdst. E
  • Afschuiving met hefboomsarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (b) + hfdst. 17.7.1.2.1.
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (a) + hfdst. 17.7.1.2.1.
    • Wapening – ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (b) + hfdst. 17.7.1.2.1.
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hfdst. 17.8

Groep 3

• Verankeringstypen

  • Voetplaat - Stand-off = spleet
  • Enkel anker met een uitstekende lengte groter dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (ACI / AISC)

  • Trek/druk (met knik)

    • Alle ankertypen op trek – ACI 318-19 hfdst. 17.6.1.2
    • Alle ankertypen op druk – AISC 360-16 hfdst. E3
  • Buiging

    • Voor alle ankertypen – AISC 360-16 hfdst. F11
  • Afschuiving

    • Voor alle ankertypen – AISC 360-16 hfdst. G
  • Interactie van normaalkracht en buiging

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Trekweerstand van het anker volgens ACI 318-19 hfdst. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

waarin:

• ϕ_a,t  – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-19 hfdst. 17.5.3 (a)
• A_se,N – oppervlak voor trekspanning (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal; deze mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van het anker volgens ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (a)

De staalsterkte op afschuiving voor kopdeuvels wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarin:
ϕ_a,v – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-19 hfdst. 17.5.3 (a)
A_se,V – oppervlak voor trekspanning (gereduceerd door schroefdraad)
f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal; deze mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van het anker volgens ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2 (b)

De staalsterkte op afschuiving voor ankers van boutmateriaal en wapening wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarin:

• ϕ_a,v  – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-19 hfdst. 17.5.3 (a)
• A_se,V – oppervlak voor trekspanning (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal; deze mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van een anker dat met mortel op een ondergrond is aangesloten - ACI 318-19 hfdst. 17.7.1.2.1

Als ankers worden toegepast met opgebouwde mortelkussens (Groep 2), moet de rekenwaarde van de sterkte, berekend volgens 17.7.1.2, worden vermenigvuldigd met 0,80.

Interactie van trek en afschuiving volgens ACI 318-19 hfdst. 17.8

De interactie tussen trek en afschuiving mag worden verwaarloosd als aan (a) of (b) is voldaan.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Als N_ua/(ϕN_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte op trek en V_ua/(ϕV_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte op afschuiving, moet aan vergelijking (17.8.3) worden voldaan.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Drukweerstand van het anker volgens AISC 360-16 hfdst. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

waarin:

• ϕ_a,t  – de reductiefactor voor de sterkte van ankers op druk volgens AISC 360-16 hfdst. E1
  
• (a) Wanneer: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  of     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Wanneer: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  of     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – bruto doorsnede-oppervlak van de staaf
• E – elasticiteitsmodulus van staal
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - elastische knikspanning
• F_y – gespecificeerde minimale vloeispanning van het toegepaste staaltype
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – traagheidsstraal
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – traagheidsmoment van de bout 

Buigweerstand van het anker volgens AISC 360-16 hfdst. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

waarin:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisch weerstandsmoment van de bout
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisch weerstandsmoment van de bout

Afschuifweerstand van het anker volgens AISC 360-16 hfdst. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

waarin:

• A_V = 0,844As – het afschuifoppervlak
• A_s – het boutoppervlak, gereduceerd door schroefdraad

Verbrijzelen van het beton op het raakvlak tussen anker en beton

De afschuifweerstand van het anker wordt ook begrensd vanuit het oogpunt van het verbrijzelen van het beton op het raakvlak tussen anker en beton. De grenswaarden en de methode om ze te bepalen worden uitvoerig beschreven in het artikel - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Zodra de contactkracht deze grens bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de weerstand wordt overschreden.​ 

Uittrekcontrole voor ankers met kop (ankerplaten en kopdeuvels)

Voor ankers met kop is een extra stopcriterium geïmplementeerd om de opneembare druk van het beton (verbrijzelen) boven de ankerkop te controleren - uittrekken. Tijdens de analyse wordt de drukkracht die via het contact tussen kop en beton wordt overgedragen bewaakt en vergeleken met de grenswaarde volgens ACI 318-19, artikel 17.6.3.2.2a (bezwijken door uittrekken van bevestigingen met kop).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

waarin:

• $\Phi$ de reductiefactor voor de sterkte is - Tabel 17.5.3(c)
• A_brg het netto draagoppervlak van de kop van de deuvel, ankerbout of gekoppen geribde staaf is (zonder het oppervlak van de schacht). 
• f'_c de gespecificeerde drukBsterkte van het beton is
• $\Psi_{c,p}$ de factor voor scheurvorming bij uittrekken is volgens 17.6.3.3 en altijd wordt gesteld op 1,0, d.w.z. de waarde voor gescheurd beton. Dit sluit aan bij de CSFM-benadering die in Detail wordt gebruikt, waarbij de treksterkte van het beton wordt verwaarloosd en het beton op trek als gescheurd wordt beschouwd.

Zodra de contactkracht deze op de norm gebaseerde grens bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de uittrekweerstand wordt overschreden.​ 

Verankering -  Aanhechtingsspanning

De aanhechtingsschuifspanning wordt onafhankelijk bepaald als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b, berekend met de EEM-analyse, en de aanhechtingssterkte f_bu.

Hoewel de aanhechtingssterkte in ACI 318-19 niet expliciet is gedefinieerd, is de berekening van de verankeringslengte te vinden in paragraaf 25.4.2. Omdat de aanhechtingssterkte echter de basisinvoer is voor het bepalen van de verankeringslengte, zie R25.4.1.1 en ACI Committee 408 1966, kan de aanhechtingssterkte als volgt worden berekend:

Stel dat een wapeningsstaaf in een betonblok wordt verankerd over de verankeringslengte l_d of meer. Het uittrekken van de wapening leidt dan tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken uit het beton. Dit kan met de volgende formule worden uitgedrukt.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

waarin:

d_b de diameter van de wapeningsstaaf is, l_d de verankeringslengte is, f_bu de aanhechtingssterkte is, f_y de vloeigrens van de wapening is en A_s het oppervlak van de wapeningsstaaf is.

Hieruit kan eenvoudig de formule voor de berekening van de aanhechtingssterkte worden afgeleid:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De verankeringslengte l_d wordt vervolgens bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3 als volgt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

waarin:

C = 25 (2,1 voor metrisch) voor staven nr. 6 en kleiner en geribde draden, C = 20 (1,7 voor metrisch) voor staven nr. 7 en groter, λ = 1,0 voor beton met normaal gewicht, ψ_t, ψ_e, ψ_g worden bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3. 

Alleen wapening zonder coating of met zinkcoating (verzinkt) wordt ondersteund, dus ψ_e = 1,0. ψ_g wordt automatisch bepaald uit de wapeningskwaliteit en ψ_t wordt automatisch afgeleid uit de positie van de wapening in het model en uit de stortrichting, die in de applicatie voor elk projectonderdeel als volgt kan worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Deze verificaties worden uitgevoerd ten opzichte van de passende grenswaarden voor de betreffende delen van de constructie (d.w.z. ondanks dat er één kwaliteit is voor zowel beton als wapening, verschillen de uiteindelijke spanning-rek-diagrammen per deel van de constructie door de effecten van tension stiffening en compression softening).

Verankering -  Totale kracht

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

waarin A_s het oppervlak van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf.

Of als de som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarin F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht, die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de staaf en ook met de verankeringsomstandigheden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarin C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarin F_lim,add de extra kracht is die wordt berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. zonder reductie van het verankeringseinde), een haak van 90 graden, een haak van 180 graden, perfecte aanhechting en een doorlopende staaf. Al deze typen worden, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, getoond in Fig. 5.3.3 voor langswapening. De waarden van de toegepaste verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de formule uit ACI 318-19 paragraaf 25.4.3.1 met de formules uit ACI 318-19 paragraaf 25.4.2.3. Er moet worden opgemerkt dat CSFM, ondanks de verschillende beschikbare opties, drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte bij een genormaliseerde verankering en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels is altijd - β = 1,0.

Om aan ACI te voldoen, moet de verankeringsveer in de berekening worden gebruikt. De verankeringsveer wordt aangepast met de coëfficiënt β, zodat de gebruiker een van de beschikbare verankeringstypen moet kiezen bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening. 

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat voor sterkteberekeningen in 3D CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de uitgangspunten van evenwicht en rekcompatibiliteit uit het sterkteontwerp volgens AASHTO LRFD. In overeenstemming met AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1 wordt de treksterkte van beton verwaarloosd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton op druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak aangehouden met ε_c0 met een maximumwaarde van 5%, terwijl AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1 een uiterste rek van minder dan 0,3% veronderstelt). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die op druk bezwijken niet worden geverifieerd. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer de toename van de brosheid van beton bij hogere sterkte wordt meegenomen door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ de reductiefactor is voor de druksterkte van beton, gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.2. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek-diagram moet de maximale drukspanning met deze factor worden gereduceerd. Hierdoor wordt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig gemiddeld dat de resulterende drukkracht kleiner dan of gelijk is aan de drukkracht berekend met een spanning-rek-diagram met een dalende plastische tak.

Φ_c de sterktereductiefactor voor beton is. De standaardwaarde wordt ingesteld volgens AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f'_c de cilinderdruksterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een perfect elastisch-plastisch spanning-rek-diagram met een gedefinieerd vloeipunt gehanteerd. Zie AASHTO LRFD (2024) Article 5.4.3. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig - sterkte en elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek-diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om het tension stiffening effect mee te nemen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s de sterktereductiefactor voor wapening is. De standaardwaarde wordt ingesteld volgens AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f_y de vloeigrens van de wapening is

E_s de elasticiteitsmodulus van de wapening is

Als grensrek waarbij de berekening wordt gestopt, is 10% gekozen. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Fig. 6.1.3)  wordt automatisch in rekening gebracht door de invoer van het spanning-rek-verband van het blanke wapeningsstaal aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven wordt vastgelegd (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen uitsluitend standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het in de ontwerpnormen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassing worden toegepast. Op deze wijze worden de invoerbelastingen met factoren vermenigvuldigd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de betreffende reductiefactoren voor de sterkte, precies zoals bij een conventionele betonberekening.

De waarden van de reductiefactoren voor de sterkte zijn voorgeschreven in AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4 en voor ankers in ACI 318-19 Chapter 17 en AASHTO LRFD (2024) Article 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingfactoren en belastingcombinaties moeten worden gedefinieerd volgens AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Article 3.4.1 en Tables 3.4.1-1 tot en met 3.4.1-6. AASHTO LRFD specificeert expliciet de belastingcombinaties voor de grenstoestand van sterkte (Strength I tot en met Strength V), inclusief de bijbehorende belastingfactoren voor elk geval.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende toetsen die AASHTO voorschrijft, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De toetsen worden uitgevoerd voor de sterkte van het beton, de sterkte van de wapening en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Sterkte - Beton

De sterkte van het beton op druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale equivalente hoofdspanning f_c,eq (in de voorgaande tekst ook σ_c,eq genoemd), verkregen uit de FE-analyse, en de grenswaarde f'_c,lim.

De equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uniaxiale spanning uit voor een algemene triaxiale spanningstoestand.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde f_c,eq kan daarom direct worden vergeleken met uniaxiale sterktegrenzen. Deze uitdrukking is afgeleid uit de toepassing van de Mohr-Coulomb-plasticiteitstheorie, waarbij conservatief wordt uitgegaan van een hoek van inwendige wrijving φ = 0°.

Sterkte - Wapening

De sterkte van de wapening wordt zowel op trek als op druk bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de gespecificeerde grenswaarde f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Sterkte - Ankers

Ankers worden op normaalspanningen getoetst op een vergelijkbare wijze als wapening, waarbij de grenswaarde f_y,lim wordt bepaald. 

Om de navigatie door de volgende tekst te vergemakkelijken, verdelen we de verankering eerst in drie groepen met het oog op de normtoetsing volgens AASHTO of ACI.

Groep 1

• Verankeringstypen

  • Ingestorte plaat
  • Voetplaat - Stand-off = direct 
  • Voetplaat - Stand-off = mortelvoeg - dikte van de mortel kleiner dan 0,5 maal de ankerdiameter
  • Enkel anker met uitstekende lengte kleiner dan 0,5 maal de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (AASHTO / ACI)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypen op trek – ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2  
    • Alle ankertypen op druk – AASHTO artikel 6.9.2
  • Afschuiving zonder hefboomsarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b)
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (a)
    • Wapening – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b)
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hfst. 17.8

Groep 2

• Verankeringstypen

  • Voetplaat - Stand-off = mortelvoeg - dikte van de mortel groter dan 0,5 maal de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (AASHTO / ACI)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypen op trek – ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2  
    • Alle ankertypen op druk – AASHTO artikel 6.9.2
  • Afschuiving met hefboomsarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b) + hfst. 17.7.1.2.1.
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (a) + hfst. 17.7.1.2.1.
    • Wapening – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b) + hfst. 17.7.1.2.1.
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hfst. 17.8

Groep 3

• Verankeringstypen

  • Voetplaat - Stand-off = spleet
  • Enkel anker met uitstekende lengte groter dan 0,5 maal de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (AASHTO / ACI)

  • Trek/druk (met knik)

    • Alle ankertypen op trek – ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2
    • Alle ankertypen op druk – AASHTO LRFD artikel 6.9.2
  • Buiging

    • Voor alle ankertypen – AAHTO LRFD artikel 6.12.2.2.7
  • Afschuiving

    • Voor alle ankertypen – AASHTO LRFD artikel 6.10.9
  • Interactie van normaalkracht en buiging

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Treksterkte van een anker volgens ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

waarin:

• ϕ_a,t  – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-19 hfst. 17.5.3 (a)
• A_se,N – oppervlak van de trekspanningsdoorsnede (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal; deze mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van een anker volgens ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (a)

De staalsterkte op afschuiving voor kopdeuvels wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarin:
ϕ_a,v – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-19 hfst. 17.5.3 (a)
A_se,V – oppervlak van de trekspanningsdoorsnede (gereduceerd door schroefdraad)
f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal; deze mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van een anker volgens ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b)

De staalsterkte op afschuiving voor ankers van boutmateriaal en wapening wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarin:

• ϕ_a,v  – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-19 hfst. 17.5.3 (a)
• A_se,V – oppervlak van de trekspanningsdoorsnede (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal; deze mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van een anker verbonden met een ondergrond met mortel - ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2.1

Als ankers worden toegepast met opgebouwde voegmortelkussens (Groep 2), moet de rekensterkte berekend volgens 17.7.1.2 worden vermenigvuldigd met 0,80.

Interactie van trek en afschuiving volgens ACI 318-19 hfst. 17.8

Het is toegestaan om de interactie tussen trek en afschuiving te verwaarlozen als aan (a) of (b) wordt voldaan.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Als N_ua/(ϕN_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte op trek en V_ua/(ϕV_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte op afschuiving, moet aan vergelijking (17.8.3) worden voldaan.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Drukweerstand van een anker volgens AASHTO LRFD Article 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

waarin:

• ϕ_a,c  – de reductiefactor voor de sterkte van ankers op druk volgens AASHTO LRFD artikel 6.5.4.2

• Als $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  dan: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Anders: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – bruto doorsnede-oppervlak van de staaf (in²)
• F_y – gespecificeerde minimale vloeigrens van het toegepaste staal (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - elastische kritieke knikweerstand (kip)
• E – elasticiteitsmodulus van staal (ksi)
• K = 2 – kniklengtefactor volgens Article 4.6.2.5 
• l – onverstevigde lengte in het knikvlak (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – traagheidsstraal
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – traagheidsmoment van de bout 

Buigweerstand van een anker volgens AASHTO LRFD Article 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

waarin:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastische weerstandsmoment van de bout
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastische weerstandsmoment van de bout

Afschuifweerstand van een anker volgens AASHTO LRFD Article 6.10.9

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

waarin:

• A_V = 0.844As – het afschuifoppervlak
• A_s – het boutoppervlak, gereduceerd door schroefdraad

Verbrijzelen van het beton op het grensvlak tussen anker en beton

De afschuifweerstand van het anker wordt ook beperkt vanuit het oogpunt van het verbrijzelen van het beton op het grensvlak tussen anker en beton. De grenswaarden en de methode om deze te bepalen worden uitvoerig beschreven in het artikel - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Zodra de contactkracht deze grenswaarde bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de weerstand wordt overschreden.​ 

Uittrektoetsing voor ankers met kop (ankerplaten en kopdeuvels)

Voor ankers met kop is een aanvullend stopcriterium geïmplementeerd om de opneembare betondruk (verbrijzelen) boven de ankerkop te toetsen - uittrekken. Tijdens de analyse wordt de drukkracht die via het contact tussen kop en beton wordt overgedragen, bewaakt en vergeleken met de grenswaarde volgens ACI 318-19, Clause 17.6.3.2.2a (uittrekbezwijken van bevestigingen met kop).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

waarin:

• $\Phi$ de reductiefactor voor de sterkte is - Table 17.5.3(c)
• A_brg het netto draagvlak van de kop van de deuvel, ankerbout of gekopte geribde staaf (zonder het oppervlak van de schacht). 
• f'_c de gespecificeerde druksterkte van het beton is
• $\Psi_{c,p}$ de uittrekscheurfactor volgens 17.6.3.3 is en altijd gelijk wordt genomen aan 1,0, d.w.z. de waarde voor gescheurd beton. Dit is consistent met de CSFM-benadering die in Detail wordt toegepast, waarbij de treksterkte van het beton wordt verwaarloosd en wordt aangenomen dat het beton op trek gescheurd is.

Zodra de contactkracht deze normatieve grenswaarde bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de uittrekweerstand wordt overschreden.​ 

Verankering -  Aanhechtingsspanning

De aanhechtingsschuifspanning wordt afzonderlijk bepaald als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b, berekend met de FE-analyse, en de aanhechtingssterkte f_bu.

Aangezien de aanhechtingssterkte in AASHTO echter niet expliciet is gedefinieerd, moet de waarde worden bepaald met de vergelijkingen die de ontwikkelingslengte definiëren. De aanhechtingssterkte is in feite de belangrijkste invoer voor het bepalen van de ontwikkelingslengte; zie bijvoorbeeld dit artikel AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 of NCHRP Report 733, Attachment E, pagina E-9.

De berekening beschreven in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 en 5.10.8.2.2 vereist kennis van de maximale hart-op-hartafstand van de dwarswapening binnen l_d, het aantal staven of draden dat langs het splijtvlak wordt ontwikkeld, de totale doorsnede van alle dwarswapening en andere geometrische grootheden die in het model van de Detail applicatie niet betrouwbaar kunnen worden bepaald voor algemene invoer. Daarom is op de volgende wijze een benadering overgenomen uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1:

Stel dat wanneer we een wapeningsstaaf in een betonblok verankeren over de ontwikkelingslengte l_d of meer, het uittrekken van de wapening zal leiden tot bezwijken van de wapening en niet tot het uittrekken uit het beton. Dit kan worden geschreven met de volgende formule.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

waarin:

• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is
• l_d de ontwikkelingslengte is
• f_bu de aanhechtingssterkte is
• f_y de vloeigrens van de wapening is
• A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is

Uit het voorgaande kan de formule voor het berekenen van de aanhechtingssterkte eenvoudig worden afgeleid.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De basisontwikkelingslengte op trek l_db wordt in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 als volgt bepaald:

Voor No. 11 staven en kleiner:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Voor No. 14 staven:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Voor No. 18 staven:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

waarin:

• A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is (in²)
• f_y de gespecificeerde vloeigrens van de wapening is (ksi)
• f'_c de gespecificeerde druksterkte van het beton op 28 dagen is, tenzij een andere leeftijd is gespecificeerd (ksi)
• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is (in)

Door vervolgens de basisontwikkelingslengte l_db te vermenigvuldigen met de factoren beschreven in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 en 5.11.2.1.3, wordt de ontwikkelingslengte l_d als invoer bepaald.

Modificatiefactoren die de ontwikkelingslengte verkleinen volgens 5.11.2.1.3 zijn in de applicatie altijd gelijk aan 1,0. De modificatiefactor voor bovenliggende horizontale of nagenoeg horizontale wapening is gelijk aan 1,4 voor 'slechte' aanhechtingsomstandigheden, volgens de onderstaande figuur:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.3.1\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

De stortrichting kan in de applicatie worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.3.2\qquad Direction of concreting}}}$$

Alle overige factoren die in 5.11.2.1.2 zijn bepaald, zijn gelijk aan 1,0, omdat alleen beton met normaal volumegewicht en alleen onbehandelde wapening worden ondersteund.

De aanhechtingsschuifspanning en aanhechtingssterkte van staven op druk worden analoog aan die van staven op trek berekend, maar daarbij worden de vergelijkingen uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 gebruikt.

Er is ook een mogelijkheid om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie is hier te vinden: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

waarin A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf.

Of als som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarin F_a de werkelijke kracht in de ankerveer is en F_bond de aanhechtingskracht is, die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de wapeningsstaaf en ook met de verankeringsomstandigheden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarin C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.3.3\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarin F_lim,add de aanvullende kracht is, berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie van het ankereinde), 90-gradenhaak, 180-gradenhaak, perfecte aanhechting en doorlopende staaf. Al deze typen worden, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, weergegeven in Fig. 6.3.4 voor langswapening. De waarden van de toegepaste verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de formule uit AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 en de formules uit AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Opgemerkt moet worden dat CSFM, ondanks de verschillende beschikbare opties, drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte bij een genormaliseerde verankering en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.3.4\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels (beschikbaar voor het element Beam) is altijd β = 1,0.

Om aan AASHTO te voldoen, moet de ankerveer in de berekening worden gebruikt. De ankerveer wordt aangepast met de coëfficiënt β, dus de gebruiker moet bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening een van de beschikbare verankeringstypen gebruiken. 

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat in CSFM is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rek-curve. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij het klassieke ontwerp van gewapend beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail hanteert geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton onder druk (d.w.z. nadat de piekspanning is bereikt, wordt een plastische tak aangehouden met ε_cp met een maximumwaarde van 5%, terwijl AS 3600 Cl. 8.3.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Door deze vereenvoudiging kan het vervormingsvermogen van constructies die onder druk bezwijken niet worden geverifieerd. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer de toename van de brosheid van beton bij een hogere sterkte wordt meegenomen via de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarin:

α₂ de reductiefactor is voor de druksterkte van beton, gedefinieerd in AS 3600 Cl. 8.3.1
Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek-diagram moet de maximale drukspanning met deze factor worden gereduceerd. Hierdoor wordt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig gemiddeld dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rek-diagram met een afnemende plastische tak. Een vergelijkbare aanpak is gedefinieerd voor het rechthoekige spanningsblok in hoofdstuk 8.1.3.

Φ_s is de spanningsreductiefactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld conform AS 3600 Table 2.2.3.

f'_c is de cilinderdruksterkte van het beton (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt uitgegaan van een perfect elastisch-plastisch spanning-rek-diagram met een gedefinieerd vloeipunt, zie AS 3600 Section 3.2. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig – de sterkte en de elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek-diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om rekening te houden met het tension stiffening effect (het is niet mogelijk om de scheurwijdte te berekenen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarin:

Φ_s is de sterktereductiefactor voor wapening. De standaardwaarde is ingesteld conform AS 3600 Table 2.2.3.

f_y is de vloeigrens van de wapening

E_s is de elasticiteitsmodulus van de wapening

Tension stiffening (Fig. 7.1.3)  wordt automatisch meegenomen door de invoer van de spanning-rek-relatie van het blanke wapeningsstaal aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven (ε_m) wordt vastgelegd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan de moderne normen. Omdat de rekenmodellen alleen standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het in de normen voorgeschreven formaat met partiële veiligheidsfactoren zonder aanpassingen worden toegepast. Hierbij worden de invoerbelastingen gefactoreerd en de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de bijbehorende spanningsreductiefactoren, precies zoals bij een conventionele betonberekening.

De waarden van de spanningsreductiefactoren zijn voorgeschreven in AUS 3600 Cl. 2.2.3 en in andere paragrafen die in de volgende afbeelding worden weergegeven.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7.2.1\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingsfactoren voor sterktecombinaties moeten worden bepaald volgens AS 3600 Cl. 4.2.2. Belastingsfactoren voor gebruiksgrenstoestandcombinaties moeten worden bepaald volgens Tabel 4.1. Voor alle templates zijn de belastingsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7.2.3\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende toetsingen die AS 3600 voorschrijft, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. De toetsingen worden uitgevoerd voor de sterkte van het beton, de sterkte van de wapening en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Sterkte - Beton

De betonsterkte bij druk wordt bepaald als de verhouding tussen de maximale equivalente hoofdspanning f_c,eq (in de voorgaande tekst ook σ_c,eq), verkregen uit de FE-analyse, en de grenswaarde f'_c,lim.

De equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uniaxiale spanning uit voor een algemene triaxiale spanningstoestand.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde f_c,eq kan daarom direct worden vergeleken met uniaxiale sterktegrenzen. Deze uitdrukking is afgeleid uit de Mohr-Coulomb-plasticiteitstheorie, waarbij conservatief wordt uitgegaan van een hoek van inwendige wrijving φ = 0°.

Sterkte - Wapening

De sterkte van de wapening wordt zowel op trek als op druk bepaald als de verhouding tussen de spanning in de wapening bij de scheuren f_s en de gespecificeerde grenswaarde f_sy,lim.

$$f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}$$

Sterkte - Ankers

Ankers worden op normaalspanningen getoetst op een vergelijkbare manier als wapening, waarbij de grenswaarde f_sy,lim wordt bepaald. 

Om de volgende tekst overzichtelijker te maken, verdelen we de verankering eerst in drie groepen voor de normtoetsing volgens AS 5216 en AS 4100.

Groep 1

• Verankeringstypen

  • Ingestorte plaat
  • Voetplaat - Afstand = direct 
  • Voetplaat - Afstand = mortelvoeg - dikte van de mortel kleiner dan 0,5 maal de ankerdiameter
  • Enkel anker met uitstekende lengte kleiner dan 0,5 maal de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers

  • Trek/druk

    • Alle materialen op trek – AS 5216 hoofdst. 6.2.2
    • Alle ankertypen op druk – AS 4100 hoofdst. 6.3.3
  • Afschuiving zonder hefboomarm

    • Alle materialen – AS 5216 hoofdst. 7.2.2.2
  • Interactie van trek en afschuiving - AS 5216 hoofdst. 8.1.1

Groep 2

• Verankeringstypen

  • Voetplaat - Afstand = mortelvoeg - dikte van de mortel groter dan 0,5 maal de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers

  • Trek/druk

    • Alle materialen op trek – AS 5216 hoofdst. 6.2.2
    • Alle ankertypen op druk – AS 4100 hoofdst. 6.3.3
  • Afschuiving met hefboomarm

    • Alle materialen – AS 5216 hoofdst. 7.2.2.3

Een interactietoetsing volgens AS 5216 is niet vereist voor achteraf aangebrachte bevestigingsmiddelen of ankerrailbouten die worden belast door afschuiving met een hefboomarm, aangezien deze interactie al is verwerkt in Vergelijking 7.2.2.3(2).

Groep 3

• Verankeringstypen

  • Voetplaat - Afstand = spleet
  • Enkel anker met uitstekende lengte groter dan 0,5 maal de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (ACI / AISC)

  • Trek/druk (met knik)

    • Alle materialen op trek – AS 5216 hoofdst. 6.2.2 of AS 4100 hoofdst. 9.2.2.2 (te selecteren in de instellingen)
    • Alle ankertypen op druk – AS 4100 hoofdst. 6.3.3
  • Buiging

    • Voor alle ankertypen – AS 4100 hoofdst. 5.1
  • Afschuiving

    • Voor alle ankertypen – AS 4100 hoofdst. 5.11
• Interactie nader beschreven

Treksterkte van het anker volgens AS 5216 hoofdst. 6.2.2

$$\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}$$

waarin:

• ϕN_tf – rekenwaarde van de weerstand van het anker op trek
• $\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}$ – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens AS 5216 Tabel 3.2.4
• A_s – spanningsoppervlak op trek (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uf – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal 

Afschuifweerstand van het anker volgens AS 5216 hoofdst. 7.2.2.2

De staalsterkte bij afschuiving zonder hefboomarm wordt bepaald als:

$$\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A$$

waarin:

• ϕV_tf – rekenwaarde van de weerstand van het anker op afschuiving
• A_s  – spanningsoppervlak op trek (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uf – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal 
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Voor de rekenwaarde van de weerstand van een enkel bevestigingsmiddel bij bezwijken van het staal, of van bevestigingsmiddelen met een verhouding h_ef / d_nom < 5 en een drukklasse van het beton < 20 MPa, moet de rekenwaarde van de weerstand ϕV_tf worden vermenigvuldigd met een factor 0,8.

Afschuifweerstand van het anker volgens AS 5216 hoofdst. 7.2.2.3

De staalsterkte bij afschuiving met hefboomarm wordt bepaald als:

$$\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}$$

waarin:

• α_M = 2 – parameter die rekening houdt met de mate van inklemming; aangenomen wordt dat de bevestigde plaat niet kan roteren – Art. 4.2.2.4
• $M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)$ – karakteristieke buigsterkte van het bevestigingsmiddel, beïnvloed door de axiale belasting
• $l_a = a_3 + e_1 - l_e$ – lengte van de hefboomarm
• $a_3 = 0.5\,d$ – afstand tussen het aangenomen inklemmingspunt van het op afschuiving belaste bevestigingsmiddel en het betonoppervlak
• $e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}$ – excentriciteit van de aangebrachte afschuifbelasting ten opzichte van het betonoppervlak, waarbij de dikte van een egaliserende voegmortel of mortel buiten beschouwing wordt gelaten
• t_g – dikte van de voegmortellaag
• t_fix – dikte van de voetplaat
• d – nominale diameter van het bevestigingsmiddel
• N* – rekenwaarde van de trekbelasting
• ϕ_Ms N_Rk,s – treksterkte van een bevestigingsmiddel bij bezwijken van het staal
• $M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}$ – karakteristieke buigsterkte van het bevestigingsmiddel – ETAG 001 – Bijlage C
• $W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}$ – elastische weerstandsmoment van het bevestigingsmiddel, met de diameter gereduceerd door schroefdraad
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – wordt gebruikt in plaats van de nominale diameter d voor draadeinden en ankerplaten
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Interactie van trek en afschuiving volgens AS 5216 hoofdst. 8.1.1

$$\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0$$

Waarin:

• N* – rekenwaarde van de trekkracht op een enkel bevestigingsmiddel
• V* – rekenwaarde van de afschuifkracht op een enkel bevestigingsmiddel 
• ϕN_Rk,s – rekenwaarde van de treksterkte van een enkel bevestigingsmiddel
• ϕV_Rk,s – rekenwaarde van de afschuifsterkte van een enkel bevestigingsmiddel

Treksterkte van het anker volgens AS 4100 hoofdst. 9.2.2.2

$$N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}$$

waarin:

• A_s – spanningsoppervlak op trek (gereduceerd door schroefdraad) zoals gespecificeerd in AS 1275
• ϕ_a,t – capaciteitsfactor voor bouten volgens AS 4100 Tabel 3.4

Drukweerstand van het anker volgens AS 4100 hoofdst. 6.3.3

$$\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s$$

waarin:

• ϕ_a,c – capaciteitsfactor voor bouten volgens AS 4100 Tabel 3.4
• $N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s$ – nominale staafcapaciteit – Art. 6.3.3
• $N_s=k_f\,A_s\,f_y$ – nominale doorsnedecapaciteit – Art. 6.2
• f_y – vloeigrens van het anker
• $l_e=k_e\,l$ – effectieve lengte – Art. 6.3.2
• k_e = 2 – effectieve lengtefactor van de staaf; conservatief wordt aangenomen dat het anker onderaan is ingeklemd en bovenaan scharnierend is opgelegd, als staaf met zijdelingse verplaatsing
• $l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}$ – aangenomen lengte van de staaf
• l_gap – spleethoogte
• d – nominale boutdiameter
• t_p – dikte van de voetplaat
• $\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]$ – reductiefactor voor staafslankheid
• $\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}$
• $\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b$
• $\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0$
• $\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}$
• $\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}$
• α_b = 0,5 – doorsnedeconstante voor op druk belaste staaf - Tabel 6.3.3
• k_f = 1 – vormfactor – Art. 6.2.2
• $r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}$ – traagheidsstraal
• $I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}$ – traagheidsmoment
• A_s – spanningsoppervlak op trek van een bout zoals gedefinieerd in AS 1275
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – diameter gereduceerd door schroefdraad