Zwichrzenie w projektowaniu konstrukcji

Opis modelu

Lateral-torsional restraint jest symulowane przez dwie sztywności dodane do dowolnej płyty:

• Boczna (ścinająca) S [N] przyłożona w kierunku osi y lokalnego układu współrzędnych płyty
• Skrętna C [Nm/m] przyłożona wokół osi x lokalnego układu współrzędnych płyty

Użytkownicy mogą wybrać dowolną płytę elementu, długość podparcia, typ (ciągły lub dyskretny z zadanym rozstawem) oraz sztywności boczną i skrętną.

Lokalny układ współrzędnych płyty z przyłożonym LTR

Węzły elementów skończonych są połączone wzdłuż szerokości płyty sztywnymi elementami ciała sztywnego typu 3 (RBE3) do jednego punktu na podłużnej osi płyty. Sztywność skrętna jest przyłożona w tym punkcie przez specjalny element z tylko jedną sztywnością – obrotem wokół osi x. Punkt ten jest również połączony przez dwa inne elementy RBE3 ze specjalnym elementem między nimi, posiadającym jedną sztywność – przemieszczenie w kierunku osi y. 

Sztywność boczna jest ustawiana przez użytkownika jako swobodna, sztywna lub z zadaną sztywnością. Sztywność sztywna jest wystarczająco duża – ustawiona jako 1000-krotność sztywności ścinania płyty. Sztywność $S$ jest zadana na jednostkę długości (jeden metr) z jednostką siły [N]. Sztywność jednego elementu $S_i$ ma jednostkę siły podzieloną przez jednostkę długości [N/m] i wynosi:

$$S_i = \frac{S}{s_d}$$

gdzie:

•  $s_d$ – odległość między dwoma punktami [m]

Dla typu dyskretnego rozstaw jest ustawiany bezpośrednio przez użytkownika. Dla typu ciągłego rozstaw jest wystarczająco mały, aby zachowanie płyty nie było przez niego zakłócone.

Podobnie sztywność skrętna jest ustawiana przez użytkownika jako swobodna, sztywna lub z zadaną sztywnością. Sztywność sztywna jest wystarczająco duża – ustawiona jako 1 000-krotność sztywności giętnej płyty. Sztywność $C$ jest zadana na jednostkę długości (jeden metr) z jednostką momentu gnącego podzieloną przez jednostkę długości [Nm/m]. Sztywność jednego elementu $C_i$ ma jednostkę momentu gnącego podzieloną przez kwadrat jednostki długości [Nm/m²] i wynosi:

$$C_i = \frac{C}{s_d}$$

Dla lepszego zrozumienia wartości sztywności zapoznaj się z dokumentem European Recommendations on the Stabilization of Steel Structures by Sandwich Panels.

Ukryte elementy skończone i RBE3 zapewniają boczną i skrętną sztywność płycie elementu

Należy zauważyć, że RBE3 są jedynie łącznikami interpolacyjnymi, które same w sobie nie zapewniają żadnej sztywności.

Weryfikacja

Model zapewniający LTR został zweryfikowany za pomocą oprogramowania LTBeam, które wykorzystuje elementy prętowe (1D) z siedmioma stopniami swobody. Oznacza to, że przekrój poprzeczny nie ulega deformacji, ale element może uwzględniać spaczenie. Porównanie przedstawiono na przykładzie przekroju IPE 180 ze stali gatunku S355 o długości 6 m. Belka jest utwierdzono na obu końcach z równomiernym obciążeniem 20 kN/m przyłożonym do górnej półki. Oprogramowanie LTBeam umożliwia wyznaczenie sprężystego momentu krytycznego odpowiadającego wynikowi liniowej analizy wyboczeniowej (LBA) w IDEA StatiCa Member.

Porównanie LTBeam i IDEA StatiCa Member dla sztywności bocznej i skrętnej 

Mnożnik obciążenia krytycznego do sprężystego wyboczenia $\alpha_{cr}$ przy sztywności bocznej jest bardzo zbliżony według obu programów. Graniczna sztywność boczna, przy której zwichrzenie ma wpływ nie większy niż 5 % nośności belki na zginanie, jest obliczana zgodnie z EN 1993-1-1 jako S_lim = 8 589 kN. Jednak wyniki z podparciem skrętnym rozbiegają się przy wyższych poziomach sztywności obrotowej. Obserwując odkształconą postać w IDEA StatiCa Member, różnica jest spowodowana deformacją przekroju poprzecznego, którą można uchwycić jedynie w modelu powłokowym. LTBeam podaje nierealistycznie wysokie mnożniki obciążenia krytycznego dla dużej sztywności skrętnej. 

Aby zweryfikować to twierdzenie, na Politechnice ETH w Zurychu opracowano model powłokowy w programie ABAQUS. Belka jest ponownie utwierdzono na obu końcach, wykonana ze stali gatunku S355 i o długości 6 m. Zastosowano przekrój belki IPE 240. Graniczna sztywność skrętna, tj. przy której zwichrzenie ma wpływ nie większy niż 5 % nośności belki na zginanie, została obliczona jako C_lim = 27,13 kNm/m. Model jest obciążony siłą w połowie rozpiętości przyłożoną do górnej półki. 

Porównanie ABAQUS, LTBeam i IDEA StatiCa Member dla sztywności skrętnej

Wpływ sztywności skrętnej jest bardzo zbliżony w obu modelach powłokowych, a LTBeam odbiega od nich. Co najważniejsze, nośności na wyboczenie wyznaczone metodą GMNIA w ABAQUS i IDEA StatiCa Member niemal pokrywają się – różnice wynoszą do 4 %.

Szacowanie sztywności

LTR zapewniane przez stropy wypełnione betonem ze współpracą zespoloną za pomocą śrub z łbem można przyjąć jako sztywne, przynajmniej w przypadku sztywności bocznej. Sztywności zapewniane przez blachy trapezowe lub panele warstwowe są znacznie mniejsze i mogą być wyznaczane doświadczalnie lub obliczeniowo. Najczęściej wartości sztywności bocznej i skrętnej są zalecane przez producentów paneli warstwowych lub innych rodzajów okładzin. 

Obliczanie sztywności bocznej S [N] zapewnianej przez blachy trapezowe jest podane w EN 1993-1-3, Rozdział 10:

$$S=1000 \sqrt{t^3} \left ( 50+10 \sqrt[3]{b_{roof}} \right ) \frac{s}{h_w}$$

gdzie:

• t – obliczeniowa grubość blachy trapezowej [mm]
• b_roof – szerokość dachu, tj. dla dachu dwuspadowego jest to odległość między kalenicą a okapem [mm]
• s – rozstaw belek [mm]
• h_w – wysokość profilu blachy trapezowej [mm] 

Wzór jest ważny, jeśli blacha trapezowa jest połączona z belką przy każdym żebrze. Jeśli blacha jest połączona z belką tylko przy co drugim żebrze, wówczas S należy zastąpić przez 0,2 S.

Sztywność boczna paneli warstwowych jest opisana w zaleceniu ECCS. Istotna jest sztywność łączników:

$$S=\frac{k_v}{2B} \sum_{k=1}^{n_k}c_k^2$$

gdzie:

• k_v – sztywność ścinania łącznika
• B – szerokość panelu warstwowego
• n_k – liczba par łączników na panel i podporę
• c_k – odległość między dwoma łącznikami pary

Sztywność skrętna jest bardziej złożona i może być również szacowana na podstawie zalecenia ECCS. Uwzględnia ona wkład łączników, panelu warstwowego oraz dystorsji belki. Dystorsja belki może być pominięta, ponieważ jest już uwzględniona w modelu powłokowym.

Sztywność skrętna (po lewej) i boczna (po prawej) zapewniana przez panele warstwowe (ECCS, 2014)

W praktyce amerykańskiej podparcie przed zwichrzeniem jest zazwyczaj przyjmowane jako pełne lub pomijalne w zależności od rodzaju i orientacji blachy profilowanej. Na przykład Tabela 8.1 podręcznika AISC Seismic Design Manual określa warunki podparcia dla belek poddanych ściskaniu osiowemu. Jednak w razie potrzeby sztywność boczna może być wyznaczona na podstawie sztywności tarczy stropowej G', obliczonej zgodnie z AISI S310. Denavit i in. (2020) przedstawiają metodę obliczania sztywności skrętnej. 

Literatura

• CTICM, LTBeam v. 1.0.11, dostępny pod adresem: https://www.cesdb.com/ltbeam.html
• Abaqus. Reference manual, wersja 6.16. Simulia, Dassault Systéms. Francja, 2016.
• EN 1993-1-3: Eurocode 3: Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-3: Reguły ogólne – Reguły uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach profilowanych na zimno, CEN, 2006.
• ECCS TC7 – Technical Working Group TWG 7.9 Sandwich Panels and Related Structures, European Recommendations on the Stabilization of Steel Structures by Sandwich Panels, wydanie 2^nd, 2014. ISBN 978-90-6363-081-2
• Denavit, M.D.; Jacobs, W.P.; Helwig, T.A. (2020). "Continuous Bracing Requirements for Constrained-Axis Torsional Buckling," Engineering Journal, American Institute of Steel Construction, Vol. 57, pp. 69-89.