3.1 Stati limite e calcolo dell'ampiezza delle fessure

Calcolo dell'ampiezza delle fessure

Esistono due modi per calcolare l'ampiezza delle fessure: fessurazione stabilizzata e non stabilizzata. In base al rapporto geometrico di armatura in ciascuna parte della struttura, si decide quale tipo di modello di calcolo della fessurazione verrà utilizzato (TCM per la fessurazione stabilizzata e POM per il modello di fessurazione non stabilizzata).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calcolo dell'ampiezza delle fessure: (a) cinematica della fessura considerata; (b) proiezione della cinematica della fessura nelle direzioni principali}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{della barra di armatura; (c) ampiezza della fessura nella direzione della barra di armatura per la fessurazione stabilizzata; (d) casi con}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fessurazione locale non stabilizzata indipendentemente dalla quantità di armatura; (e) ampiezza della fessura nella direzione della barra di armatura}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{per la fessurazione non stabilizzata.}}}$

Sebbene il CSFM fornisca un risultato diretto per la maggior parte delle verifiche (ad es., capacità dell'elemento, deformazioni…), i risultati dell'ampiezza delle fessure vengono calcolati a partire dai risultati di deformazione dell'armatura forniti direttamente dall'analisi FE, seguendo la metodologia descritta in Fig. 20. Viene considerata una cinematica della fessura senza scorrimento (pura apertura della fessura) (Fig. 20a), il che è coerente con le principali ipotesi del modello. Le direzioni principali di tensioni e deformazioni definiscono l'inclinazione delle fessure (θ_r = θ_s= θ_e). Secondo (Fig. 20b), l'ampiezza della fessura (w) può essere proiettata nella direzione della barra di armatura (w_b), portando a:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

dove θ_b è l'inclinazione della barra.

Si noti che il programma visualizza i valori di θ_r e θ_b < π/2. Ciò significa che l'equazione precedente funziona per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano quadranti diversi del sistema di coordinate cartesiane, come mostrato in Fig. 20, dove l'armatura attraversa il I e il III quadrante e la fessura attraversa il II e il IV. Per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano gli stessi quadranti, l'equazione deve essere modificata come segue:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La componente w_b viene calcolata in modo coerente in base ai modelli di irrigidimento a trazione integrando le deformazioni dell'armatura. Per quelle regioni con quadri fessurativi completamente sviluppati, le deformazioni medie calcolate (e_m) lungo le barre di armatura vengono integrate direttamente lungo l'interasse tra fessure (s_r), come indicato in (Fig. 20c). Sebbene questo approccio al calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, esso fornisce comunque valori rappresentativi che portano a risultati di ampiezza delle fessure confrontabili con i valori di ampiezza delle fessure richiesti dalla normativa nella posizione della barra di armatura.

Situazioni particolari si osservano in corrispondenza degli angoli concavi della struttura calcolata. In questo caso, l'angolo predetermina la posizione di una singola fessura che si comporta in modo non stabilizzato prima che si sviluppino ulteriori fessure adiacenti. Queste fessure aggiuntive si sviluppano generalmente dopo l'intervallo di esercizio (Mata-Falcón 2015), il che giustifica il calcolo dell'ampiezza delle fessure in tale regione come se fossero non stabilizzate (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definizione della regione negli angoli concavi in cui l'ampiezza della fessura viene calcolata come se fosse non stabilizzata.}}}$$

Irrigidimento a trazione

L'implementazione dell'irrigidimento a trazione distingue tra casi di quadri fessurativi stabilizzati e non stabilizzati. In entrambi i casi, il calcestruzzo è considerato completamente fessurato prima del carico, per impostazione predefinita.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modello di irrigidimento a trazione: (a) elemento di corda tesa per fessurazione stabilizzata con distribuzione del taglio di aderenza,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo, e deformazioni dell'acciaio tra le fessure, considerando l'interasse medio tra fessure); (b) ipotesi di estrazione}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{per la fessurazione non stabilizzata con distribuzione del taglio di aderenza e delle tensioni e deformazioni dell'acciaio intorno alla fessura; (c) comportamento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{risultante della corda tesa in termini di tensioni dell'armatura alle fessure e deformazioni medie per acciaio europeo B500B;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) dettaglio dei rami iniziali della risposta della corda tesa.}}}$

Fessurazione stabilizzata

Nei quadri fessurativi completamente sviluppati, l'irrigidimento a trazione viene introdotto utilizzando il Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – che ha dimostrato di fornire eccellenti previsioni della risposta nonostante la sua semplicità (Burns 2012). Il TCM assume una relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigido-perfettamente plastica con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm per σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b1 = f_ctm per σ_s > f_y. Trattando ogni barra di armatura come una corda tesa ­– Fig. 22b e Fig. 22a – la distribuzione del taglio di aderenza, delle tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo e quindi la distribuzione delle deformazioni tra due fessure può essere determinata per qualsiasi valore dato delle tensioni massime nell'acciaio (o deformazioni) alle fessure.

Per s_r = s_r0, una nuova fessura può o non può formarsi perché al centro tra due fessure σ_c1 = f_ct. Di conseguenza, l'interasse tra fessure può variare di un fattore due, ossia s_r = λs_r0, con l = 0.5…1.0. Assumendo un certo valore per λ, la deformazione media della corda (ε_m) può essere espressa in funzione delle tensioni massime dell'armatura (ossia, delle tensioni alle fessure, σ_sr). Per il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre di armatura nude considerato per impostazione predefinita nel CSFM, si ottengono le seguenti espressioni analitiche in forma chiusa (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{per}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{per}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{per}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

dove:
E_sh           il modulo di incrudimento dell'acciaio E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulo di elasticità dell'armatura,

Ø            diametro della barra di armatura,

s_r                interasse tra fessure,

σ_sr           tensioni dell'armatura alle fessure,

σ_s            tensioni effettive dell'armatura,

f_y                tensione di snervamento dell'armatura.

L'implementazione di IDEA StatiCa Detail del CSFM considera per impostazione predefinita l'interasse medio tra fessure quando esegue l'analisi del campo di tensioni assistita da computer. L'interasse medio tra fessure è considerato pari a 2/3 dell'interasse massimo tra fessure (λ = 0.67), il che segue le raccomandazioni fatte sulla base di prove di flessione e trazione (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Va notato che i calcoli dell'ampiezza delle fessure considerano un interasse massimo tra fessure (λ = 1.0) al fine di ottenere valori conservativi.

L'applicazione del TCM dipende dal rapporto di armatura, e quindi l'assegnazione di un'area di calcestruzzo appropriata che agisce in trazione tra le fessure a ciascuna barra di armatura è cruciale. È stata sviluppata una procedura numerica automatica per definire il corrispondente rapporto di armatura efficace (ρ_eff = A_s/A_c,eff) per qualsiasi configurazione, inclusa l'armatura inclinata (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Area efficace di calcestruzzo in trazione per fessurazione stabilizzata: (a) area massima di calcestruzzo che può essere attivata;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) condizione di copriferro e simmetria globale; (c) area efficace risultante.}}}$

Fessurazione non stabilizzata

Le fessure esistenti in regioni con rapporti geometrici di armatura inferiori a ρ_cr, ossia la quantità minima di armatura per cui l'armatura è in grado di sostenere il carico di fessurazione senza snervarsi, sono generate da azioni non meccaniche (ad es. il ritiro) o dalla progressione di fessure controllate da altra armatura. Il valore di questa armatura minima si ottiene come segue:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

dove:

f_y              tensione di snervamento dell'armatura,

f_ct             resistenza a trazione del calcestruzzo,

n              rapporto modulare, n = E_s / E_c .

Per il calcestruzzo convenzionale e l'acciaio d'armatura, ρ_cr ammonta approssimativamente allo 0,6%.

Per le staffe con rapporti di armatura inferiori a ρ_cr, la fessurazione è considerata non stabilizzata e l'irrigidimento a trazione viene implementato mediante il Pull-Out Model (POM) descritto in Fig. 22b. Questo modello analizza il comportamento di una singola fessura considerando nessuna interazione meccanica tra fessure separate, trascurando la deformabilità del calcestruzzo in trazione e assumendo la stessa relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigido-perfettamente plastica utilizzata dal TCM. Ciò consente di ottenere la distribuzione delle deformazioni dell'armatura (ε_s) in prossimità della fessura per qualsiasi tensione massima dell'acciaio alla fessura (σ_sr) direttamente dall'equilibrio. Dato il fatto che l'interasse tra fessure è sconosciuto per un quadro fessurativo non completamente sviluppato, la deformazione media (ε_m) viene calcolata per qualsiasi livello di carico sulla distanza tra i punti con scorrimento nullo quando la barra di armatura raggiunge la sua resistenza a trazione (f_t) alla fessura (l_ε,avg in Fig. 22b), portando alle seguenti relazioni:

I modelli proposti consentono il calcolo del comportamento dell'armatura aderente, che viene infine considerato nell'analisi. Questo comportamento (incluso l'irrigidimento a trazione) per l'acciaio d'armatura europeo più comune (B500B, con f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) è illustrato in Fig. 22c-d.