3.1 Grenzzustände und Rissbreitenberechnung

Berechnung der Rissbreite

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten – abgeschlossene und nicht abgeschlossene Rissbildung. Anhand des geometrischen Bewehrungsgrads in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welches Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für abgeschlossene Rissbildung und POM für das Modell der nicht abgeschlossenen Rissbildung).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Während das CSFM für die meisten Nachweise (z. B. Bauteiltragfähigkeit, Durchbiegungen …) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt von der FE-Analyse gemäß der in Fig. 20 beschriebenen Methodik geliefert werden. Es wird eine Rissbildungskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) angenommen (Fig. 20a), was mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen von Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s= θ_e). Gemäß (Fig. 20b) kann die Rissbreite (w) in Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu Folgendem führt:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

wobei θ_b die Stabneigung ist.

Bitte beachten Sie, dass das Programm Werte von θ_r und θ_b < π/2 anzeigt. Das bedeutet, dass die vorherige Gleichung für Fälle gilt, in denen die Bewehrung und der Riss durch unterschiedliche Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verlaufen, wie in Fig. 20 dargestellt, wobei die Bewehrung durch den I. und III. Quadranten und der Riss durch den II. und IV. verläuft. Für Fälle, in denen die Bewehrung und der Riss durch dieselben Quadranten verlaufen, muss die Gleichung wie folgt modifiziert werden:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Die Komponente w_b wird konsistent auf Grundlage der Zugverfestigungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für Bereiche mit voll ausgebildeten Rissmustern werden die berechneten Durchschnittsdehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt über den Rissabstand (s_r) integriert, wie in (Fig. 20c) angegeben. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, welche mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen werden an konkaven Ecken der berechneten Struktur beobachtet. In diesem Fall gibt die Ecke die Position eines einzelnen Risses vor, der sich vor der Entwicklung weiterer benachbarter Risse nicht abgeschlossen verhält. Diese zusätzlichen Risse entwickeln sich im Allgemeinen erst nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als wären sie nicht abgeschlossen (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Zugverfestigung

Die Implementierung der Zugverfestigung unterscheidet zwischen Fällen abgeschlossener und nicht abgeschlossener Rissmuster. In beiden Fällen wird der Beton standardmäßig vor Belastung als vollständig gerissen betrachtet.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Abgeschlossene Rissbildung

Bei voll ausgebildeten Rissmustern wird die Zugverfestigung mithilfe des Zuggurtmodells (Tension Chord Model, TCM) eingeführt (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a –, das trotz seiner Einfachheit hervorragende Vorhersagen des Verhaltens liefert (Burns 2012). Das TCM geht von einer abgestuften, starr-ideal-plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τ_b = τ_b0 =2 f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b =τ_b1 = f_ctm für σ_s > f_y aus. Indem jeder Bewehrungsstab als Zuggurt behandelt wird – Fig. 22b und Fig. 22a –, kann die Verteilung von Verbundschub-, Stahl- und Betonspannungen und somit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für s_r = s_r0 kann sich ein neuer Riss bilden oder auch nicht, da in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c1 = f_ct gilt. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h. s_r = λs_r0, mit l = 0,5…1,0. Unter Annahme eines bestimmten Werts für λ kann die durchschnittliche Dehnung des Zuggurts (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. der Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das im CSFM standardmäßig berücksichtigte idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für nackte Bewehrungsstäbe ergeben sich die folgenden geschlossenen analytischen Ausdrücke (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

wobei:
E_sh           der Stahlverfestigungsmodul E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø            Bewehrungsstabdurchmesser,

s_r                Rissabstand,

σ_sr           Bewehrungsspannungen an den Rissen,

σ_s            tatsächliche Bewehrungsspannungen,

f_y                Streckgrenze der Bewehrung.

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt standardmäßig den durchschnittlichen Rissabstand bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse. Der durchschnittliche Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands angenommen (λ = 0,67), was den Empfehlungen entspricht, die auf Grundlage von Biege- und Zugversuchen aufgestellt wurden (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es ist zu beachten, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) berücksichtigt wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, weshalb die Zuordnung einer geeigneten, zwischen den Rissen auf Zug beanspruchten Betonfläche zu jedem Bewehrungsstab entscheidend ist. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um den entsprechenden effektiven Bewehrungsgrad (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich schräg verlaufender Bewehrung (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nicht abgeschlossene Rissbildung

Risse, die in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr auftreten – d. h. der minimalen Bewehrungsmenge, bei der die Bewehrung in der Lage ist, die Risslast ohne Fließen aufzunehmen –, entstehen entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z. B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

wobei:

f_y              Streckgrenze der Bewehrung,

f_ct             Betonzugfestigkeit,

n              Verhältnis der Elastizitätsmoduln, n = E_s / E_c .

Für herkömmlichen Beton und Betonstahl beträgt ρ_cr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr wird die Rissbildung als nicht abgeschlossen betrachtet, und die Zugverfestigung wird mittels des in Fig. 22b beschriebenen Verbund-Auszugmodells (Pull-Out Model, POM) umgesetzt. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses unter der Annahme, dass keine mechanische Wechselwirkung zwischen getrennten Rissen besteht, vernachlässigt die Verformbarkeit des Betons unter Zug und geht von derselben abgestuften, starr-ideal-plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung aus, die auch im TCM verwendet wird. Dies ermöglicht es, die Bewehrungsdehnungsverteilung (ε_s) in der Umgebung des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu bestimmen. Da der Rissabstand bei einem nicht vollständig ausgebildeten Rissmuster unbekannt ist, wird die durchschnittliche Dehnung (ε_m) für jedes Lastniveau über die Distanz zwischen Punkten mit null Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab am Riss seine Zugfestigkeit (f_t) erreicht (l_ε,avg in Fig. 22b), was zu folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der im Verbund liegenden Bewehrung, das schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugverfestigung) für den gängigsten europäischen Betonstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5 %) ist in Fig. 22c-d dargestellt.