Nyírás

A törékeny tönkremenetellel szemben a nyírási ellenőrzés a vasbeton keresztmetszet egyik fontos ellenőrzése.

Számítási eljárás

A nyírási ellenállás számítása több alapvető részből áll. Először meg kell vizsgálni, hogy az ellenőrzött helyen keletkeznek-e hajlítási repedések vagy sem. Ha igen, az EN 1992-1-1 [2] 6.2.2 (1) cikke szerinti számítást kell alkalmazni. Ellenkező esetben meg kell határozni, hogy vasalatlan betonról vagy gyengén vasalt betonról van-e szó, majd az EN 1992-1-1 12.6.3 cikke szerint kell eljárni.

Vasalt, repedésmentes beton esetén (nyírási vasalás nélkül) az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikke szerint kell ellenőrizni. Azon szerkezeti elemeknél, ahol nyírási vasalás szükséges, a 6.2.3 cikk [2] szerint kell ellenőrizni.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Nyírási vasalás nélküli szerkezeti elemek nyírási ellenállása

Repedezett hajlítási zónában lévő szerkezeti elemek nyírási ellenállása (6.2.2 (1) cikk [2])

A nyírási vasalás nélküli vasbeton szerkezeti elemek nyírási ellenállása hajlítónyomaték hatására a következő:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Ezt az összefüggést egyszerű gerendákon végzett, reprezentatív számú kísérlet alapján határozták meg nyíróerő okozta tönkremenetel esetére. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (r_l) nélküli elemeknél, gyengén vasalt szerkezeti elemekre külön összefüggéseket vezettek le. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (r_l) nélküli szerkezeti elemeknél, a gyengén vasalt szerkezeti elemekre az ellenállást a következő összefüggéssel határozták meg:

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

A normálerő hatását figyelembe vevő nyírási ellenállást a következő összefüggéssel határozták meg:

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

A nyírási ellenállás teljes kifejezése, amely megfelel az EN 1992-1-1 6.2.2 (1) cikkének:

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Minimuma:

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

ahol  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          keresztmetszeti magassági tényező 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      hosszirányú vasalás vasalási aránya

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        a beton jellemző nyomószilárdsága hengereken 28 napos korban

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  MPa-ban

b_w        a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában

d          a keresztmetszet hatékony magassága

υ_min      minimális egyenértékű nyírási szilárdság υ_min = 0,035 k^3/2 fck^1/2

Repedésmentes hajlítási zónában lévő szerkezeti elemek nyírási ellenállása (6.2.2 (2) cikk [2])

A repedésmentes hajlítási zónában lévő szerkezeti elemek nyírási ellenállása a Mohr-körből határozható meg. A következő összefüggésbe:

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

Behelyettesítve σ_x = σ_cp és τ_z = V_Rd,c S / (I b_w), majd V_Rd,c-t kifejezve, az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikkének megfelelő összefüggést kapjuk.

ahol  

I           a másodrendű nyomaték,

b_w        a keresztmetszet szélessége a súlyvonali tengelynél

S          a súlyvonali tengely feletti és körüli statikai nyomaték,

f_ctd        a beton méretezési húzószilárdsága MPa-ban,

 s_cp       a beton nyomófeszültsége a súlyvonali tengelynél a terhelés és/vagy előfeszítés hatására,

a_l         átadási hossz tényező, általában 1,0.

A fentiekkel összefüggésben meg kell jegyezni, hogy a hajlítási repedések nélküli területeken a V_Rd ,c ellenállás lényegesen nagyobb lehet, mint a repedezett területeken a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint. Az alábbi ábra egyértelműen mutatja, hogy bár a nyíróerőt a szélső értékén ellenőrzik (ahol nem keletkeznek repedések), ez nem feltétlenül garantálja, hogy az átadódik a gerenda teljes hosszán. Ennek oka a beton nyírási ellenállásának számítási módszerében bekövetkező változás. A biztonságos oldal felé haladva természetesen a nyírási ellenállás a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint is figyelembe vehető azokon a helyeken is, ahol repedések nem fognak keletkezni.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

A V_Rd, c kifejezésével kapcsolatban a 6.2.2 (2) cikk [2] szerint meg kell jegyezni, hogy az általános esetben az ellenőrzést a normál nyomófeszültség zónájában a beton szélső főhúzófeszültségének szálánál kell elvégezni, nem a keresztmetszet súlypontjánál. Ennél a pontnál szükséges a keresztmetszeti jellemzők (S és b_W) kiszámítása. A maximális főfeszültség σ₁ meghatározásához az IDEA RCS programban egy egyenest húzunk a súlyponton át az eredő nyíróerők irányában. Ezt az egyenest 20 szakaszra osztjuk. Ezen az egyenesen több jellemző pontot jelölünk ki (a keresztmetszeti sokszög pontjai, súlypont, semleges tengely). Ezeken a pontokon belül kiszámítjuk S, b_w, σ_x, τ_yz és σ₁ értékeit. A maximális főhúzófeszültség pontján számítjuk ki a nyírási ellenállást.

A nyíróerőnek a β csökkentő tényező alkalmazása előtt – amelyet a 6.2.2 (6) cikk ír elő – teljesítenie kell a következő kiegészítő feltételt:

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

ahol 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  ahol f_ck MPa-ban értendő

Vasalás nélküli vagy gyengén vasalt szerkezeti elemek nyírási ellenállása (12.6.3 cikk [2])

Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton nyírási ellenállása a következő összefüggésből határozható meg:

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

ahol

τ_cp helyébe a következőt helyettesítjük:

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

vagy

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

A fenti képletben szereplő részértékek a következők:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

ahol  

f_cd,pl     Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési nyomószilárdsága,

f_ctd,pl    Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési húzószilárdsága,

f_cvd       Méretezési nyírási ellenállás beton nyomás alatt.

Nyírási vasalással rendelkező szerkezeti elemek ellenállása (6.2.3 cikk [2])

A nyírási vasalással rendelkező vasbeton szerkezeti elemek ellenállásának számítása a változó szögű átlókkal rendelkező rácsanalógia módszerén alapul. Ennek a módszernek az alapja az erők egyensúlya a nyomott rúd ereje (átló), a nyírási vasalás ereje (kengyel) és a hosszirányú vasalás ereje által meghatározott háromszögben.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

A nyíróerő hatásának kitett keresztmetszetet θ szögű repedések törik meg, ezért a nyíróerőkkel azonos szögű betonátló veszi fel a nyíróerőt. Az átló nyomóereje V_ed/sinθ-ként fejezhető ki. Ezt az erőt a nyomott átlóra merőleges betonfelületnek kell átvennie: b_wzcosθ. A nyomott átlóban ébredő beton nyomófeszültség ekkor egyenlő:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Behelyettesítve $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  és $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ , majd $${{V}_{Rd,max}}$$ kifejezésével megkapjuk az átló nyírási ellenállásának összefüggését:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

A nyomott átló függőleges erőkomponensének egyensúlyához nyírási vasalást alkalmazunk. A függőleges erő nagysága az egyetlen kengyelnek megfelelő betonfelületen ébredő átlós nyomófeszültségen alapul: \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. A határkengyelrő a következőképpen adható meg: \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

σ_c behelyettesítésével, a vasalás határerejével való összehasonlítás és módosítások után a következőt kapjuk:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Majd V_ed-t V_RDs-ként kifejezve megkapjuk a függőleges nyírási vasalással rendelkező keresztmetszet ellenállását:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

A hosszirányú nyíróerőt a hosszirányú vasalás veszi fel, és V_edcotgθ-ként határozható meg. A fenti képletek levezetése megtalálható a [4] hivatkozásban.

Az IDEA RCS programban csak függőleges nyírási vasalással rendelkező szerkezeti elemek ellenőrzése lehetséges. Általánosan a következő összefüggések alkalmazhatók:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

ahol  

A_sw      a nyírási vasalás keresztmetszeti területe,

s           a kengyelek távolsága,

f_ywd      a nyírási vasalás méretezési folyáshatára,

b_w        a húzott és nyomott öv közötti minimális szélesség. A V_Rd,max ellenállás számításakor a keresztmetszet szélességét az úgynevezett névleges keresztmetszeti szélességre kell csökkenteni, amennyiben a keresztmetszetet kábelcsatornák gyengítik:

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ injektált fémcsatornák esetén

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ nem injektált fémcsatornák esetén           

υ          = 0,6 ha f_ck ≤ 60MPa vagy ha f_ck > 60MPa,

α_cw       a nyomott övben ébredő feszültségállapotot figyelembe vevő tényező.

1‑1. táblázat: Az α_cw tényező meghatározása

A θ szög a betonnyomott rúd és a nyíróerőre merőleges gerendatengely közötti szög. A cotθ határértékei az egyes országok Nemzeti Mellékletében találhatók. Az ajánlott határértékeket a következő összefüggés adja meg:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

A θ szög megválasztása befolyásolja az ellenállások értékét. Az ellenállások függése az 1.15. ábrán látható. Az ábra mutatja, hogy a θ szög növekedésével a V_Rd,max ellenállás növekszik, a V_Rd,s ellenállás pedig csökken. A V_Rd,c ellenállás állandó, mivel a rácsanalógia módszerén alapul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Keresztmetszeti jellemzők számítása nyíráshoz

A nyírás számításához fontos meghatározni a nyírási ellenállást befolyásoló keresztmetszeti változókat. Ezek közé tartozik elsősorban a nyírást felvevő keresztmetszeti szélesség b_w, a hatékony magasság d és a karhossz z. A szabvány [2] ezeket az értékeket közvetlenül a tényleges hajlítási feszültséggel összefüggésben adja meg. A probléma azonban ezen értékek meghatározásában rejlik, amikor az eredő hajlítónyomatékok iránya (pontosabban a keresztmetszeti ellenállás eredőjének iránya) lényegesen eltér az eredő nyíróerők irányától. Ebben az esetben az EC2 szabvány nem ad ajánlásokat.

Nyírást felvevő keresztmetszeti szélesség b_w

Az IDEA RCS program a nyírási erők eredőjére merőleges irányban számítja a nyírást felvevő keresztmetszeti szélességet. Az Eurocode vonatkozó cikkétől függően ez a szélesség a következőképpen számítandó:
-  A nyomott beton eredője és a húzott vasalás közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség a nyírási erők eredőjére merőleges irányban a 6.2.2 (a) és 6.2.3 (1) cikk esetén
- A keresztmetszeti szélesség a nyírási erők eredőjére merőleges irányban az ellenőrzött pontban a 6.2.2 (2) cikk szerint

Keresztmetszet hatékony magassága

A hatékony magasságot általában a legjobban nyomott betonszál és a vasalás súlypontja közötti távolságként definiálják. Mivel ez közvetlenül összefügg a hajlítással, a távolságot a síkalakváltozás gravitációs egyenesére vett merőleges vetületként adják meg.

Ez a definíció pontosítható úgy, hogy a húzott vasalás súlypontja helyett a vasalás erőeredőjének helyzetét alkalmazzák. Az IDEA RCS program fejlesztése során megoldandó problémát jelentett: hogyan definiálható a keresztmetszet hatékony magassága, ha a hajlítási terhelések síkja nem egyezik meg az eredő nyíróerők irányával. Ezért a hatékony magasságot a legjobban nyomott betonszál és a húzott vasalásban ébredő erők eredője közötti távolságként definiálják (hajlítási feszültség alapján), az eredő nyíróerők irányában, lásd az 1.17. ábrát.

Kivételes esetek fordulhatnak elő, ha nem tudjuk meghatározni a nyomott szálat vagy a húzott vasalás eredőjét. Ebben az esetben a 0,9 h érték alkalmazása javasolt (a keresztmetszeti magasság 90%-a az eredő nyíróerők irányában). Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.

Belső erők karja

A belső erők karja a 6.2.3 (3) cikkben [2] szerepel, és „a húzott és nyomott öv közötti távolságként" van definiálva. A szabvány nem határozza meg, hogyan kell eljárni, ha a hajlítónyomaték hatásának síkja eltér az eredő nyíróerők irányától. Ezért, a hatékony magassághoz hasonlóan, a távolságot az eredő nyíróerők irányában definiáljuk. Itt is előfordulhatnak hasonló kivételes esetek, például ha a teljes keresztmetszet nyomás alatt van stb. Ebben az esetben a 0,9 d értéket vesszük figyelembe (a hatékony keresztmetszeti magasság 90%-a). Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.

A hajlítási sík dőlésszöge és a nyíróerő eredője közötti összefüggés jól látható az 1.18. és az 1.19. ábrán. A dőlésszög növekedésével a hatékony magasság, a karok és a kapcsolódó ellenállások értékei csökkennek. A határállapot 90°. Ennél a dőlésszögnél a belső erők karja nem számítható, következésképpen a kar értéke nulla. Ebben az esetben a szabványi változók beállításában megadott értéket vesszük figyelembe. Emiatt a diagram végén ugrás keletkezik. Ez a vizsgálat igazolja, hogy a dőlésszög ajánlott maximuma körülbelül 20°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

Az RCS alkalmazás tesztelésének részeként vizsgálatot végeztek a nyírási ellenállás normálerőtől való függéséről. A V_Rd,max ellenállást kizárólag az α_cw tényező befolyásolja, lásd az 1.20. ábrát. Az 1.21. ábra a V_Rds ellenállás állandó értékét mutatja. A V_Rdc ellenállás csökkenését a normálerő növekedése okozza. Az 1.21. ábra kék görbéje a V_Rdc ellenállást mutatja a repedések hatásának elhanyagolásával, amelyet a 6.2.2 (1) cikk [2] képletével számítottak. A nyomás és húzás közötti átmenetnél tapasztalható ugrást a közreműködő húzott vasalás okozza. A piros görbe a 6.2.2 (2) cikk [2] képletével számított értékeket mutatja. Az első repedés megjelenése után a függési görbe megegyezik a 6.2.2 (1) cikk [2] szerintivel.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$