Querkraft

Im Hinblick auf sprödes Versagen ist der Querkraftnachweis einer der wichtigen Nachweise eines Stahlbetonquerschnitts.

Berechnungsablauf

Die Berechnung der Querkrafttragfähigkeit besteht aus mehreren Grundschritten. Zuerst ist zu untersuchen, ob an der nachgewiesenen Stelle Biegerisse auftreten oder nicht. Treten Risse auf, wird die Berechnung nach EN 1992-1-1 [2], Abschnitt 6.2.2 (1) verwendet. Andernfalls wird bestimmt, ob es sich um unbewehrten Beton oder schwach bewehrten Beton handelt, und anschließend gemäß EN 1992-1-1 Abschnitt 12.6.3 vorgegangen. 

Für bewehrten ungerissenen Beton (ohne Querkraftbewehrung) erfolgt der Nachweis nach EN 1992-1-1 Abschnitt 6.2.2 (2). Für Bauteile, bei denen Querkraftbewehrung erforderlich ist, erfolgt der Nachweis nach Abschnitt 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen ohne Querkraftbewehrung

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen in gerissenen Biegezonen (Abschn. 6.2.2 (1) [2])

Die Querkrafttragfähigkeit von Stahlbetonbauteilen ohne Querkraftbewehrung unter Biegemoment ergibt sich aus:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Diese wurde auf Grundlage von Versuchen an einer repräsentativen Anzahl einfacher Träger bei Versagen durch Querkraft definiert. Da die obige Tragfähigkeit für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null sein kann, wurden für schwach bewehrte Bauteile Gleichungen abgeleitet. Da die obige Tragfähigkeit für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null sein kann, wurde sie für die schwach bewehrten Bauteile durch die folgende Gleichung bestimmt

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Die Querkrafttragfähigkeit unter Einfluss der Normalkraft wurde durch die folgende Gleichung bestimmt

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

Die Querkrafttragfähigkeit in ihrer vollständigen Form, die EN 1992-1-1 Abschn. 6.2.2 (1) entspricht

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

Mit einem Mindestwert von

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

wobei  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          Faktor der Querschnittshöhe 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      Bewehrungsgrad der Längsbewehrung

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste Breite des Querschnitts im Zugbereich

d          statische Nutzhöhe eines Querschnitts

υ_min      minimale äquivalente Querkraftfestigkeit υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen (Abschn. 6.2.2 (2) [2])

Die Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen kann aus dem Mohrschen Spannungskreis bestimmt werden. In die Gleichung

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

setzen wir σ_x = σ_cp und τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) ein, lösen nach V_Rd,c auf und erhalten eine Gleichung, die der in EN 1992-1-1 Abschn. 6.2.2 (2) angegebenen Formel entspricht

wobei  

I           das Flächenträgheitsmoment ist,

b_w        die Breite des Querschnitts in der Schwerachse ist

S          das Flächenmoment ersten Grades oberhalb und bezogen auf die Schwerachse ist,

f_ctd        Bemessungswert der axialen Zugfestigkeit des Betons in MPa,

 s_cp       die Betondruckspannung in der Schwerachse infolge Belastung und/oder Vorspannung ist,

a_l         Faktor der Übertragungslänge, üblicherweise 1,0.

In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die Tragfähigkeit V_Rd ,c  in Bereichen ohne Biegerisse deutlich höher sein kann als in gerissenen Bereichen nach Abschnitt 6.2.2 (1) [2]. Die Abbildung unten zeigt deutlich, dass die Querkraft, obwohl sie an ihrem Extremwert nachgewiesen wird (an dem keine Risse entstehen), nicht zwangsläufig über die gesamte Trägerlänge übertragen werden kann. Dies liegt an einer Änderung der Berechnungsmethode der Querkrafttragfähigkeit des Betons. Auf der sicheren Seite kann die Querkrafttragfähigkeit selbstverständlich nach Abschnitt 6.2.2 (1) [2] auch an Stellen angesetzt werden, an denen keine Risse auftreten.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

Zum Ausdruck für V_Rd, c  nach Abschnitt 6.2.2 (2)[2] ist ebenfalls anzumerken, dass im allgemeinen Fall der Nachweis an der Faser der extremen Hauptzugspannung des Betons in der Zone der Normaldruckspannung geführt werden sollte, jedoch nicht im Schwerpunkt des Querschnitts. An dieser Stelle müssen die Querschnittskennwerte (S und b_W) berechnet werden. Zur Bestimmung der maximalen Hauptspannung s₁ im Programm IDEA RCS zeichnen wir eine Linie durch den Schwerpunkt in Richtung der resultierenden Querkräfte. Diese Linie teilen wir in 20 Abschnitte. Auf dieser Linie werden weitere charakteristische Punkte ergänzt (Punkte des Querschnittspolygons, Schwerpunkt, Nulllinie). In diesen Punkten berechnen wir S, b_w, σ_x, τ_yz und σ_1.  Im Punkt der maximalen Hauptzugspannung berechnen wir die Querkrafttragfähigkeit.

Die Querkraft muss vor Anwendung des Abminderungsbeiwerts b nach Abschnitt 6.2.2 (6) die zusätzliche Bedingung erfüllen

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

wobei 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  wobei f_ck in MPa einzusetzen ist

Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen ohne Bewehrung oder mit geringer Bewehrung (Abschn. 12.6.3 [2])

Die Querkrafttragfähigkeit von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton kann aus dem folgenden Ausdruck bestimmt werden

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Wobei

τ_cp ersetzen wir durch

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

oder

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

Die in der obigen Formel verwendeten Teilwerte ergeben sich aus:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

wobei  

f_cd,pl     Bemessungswert der Druckfestigkeit  von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton,

f_ctd,pl    Bemessungswert der axialen Zugfestigkeit von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton,

f_cvd       Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit unter Betondruck.

Tragfähigkeit von Bauteilen mit Querkraftbewehrung (Abschn. 6.2.3 [2])

Die Berechnung der Tragfähigkeit von Stahlbetonbauteilen mit Querkraftbewehrung basiert auf dem Fachwerkmodell mit variabler Druckstrebenneigung. Grundlage dieser Methode ist das Kräftegleichgewicht an dem Dreieck, das durch die Druckstrebenkraft (Diagonale), die Kraft der Querkraftbewehrung (Bügel) und die Kraft der Längsbewehrung bestimmt wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

Der Querschnitt unter Querkraftbeanspruchung wird von Rissen unter dem Winkel θ durchzogen, daher wird die Querkraft von der Betondiagonale mit demselben Winkel aufgenommen. Die Druckkraft der Diagonale kann als V_ed/sinθ ausgedrückt werden. Diese Kraft muss über die Betonfläche senkrecht zur Druckdiagonale b_wzcosθ übertragen werden. Die Betonspannung in der Druckdiagonale beträgt dann:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Durch Einsetzen von $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  und $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ und Auflösen nach $${{V}_{Rd,max}}$$ erhalten wir die Gleichung für die Querkrafttragfähigkeit der Diagonale:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

Zum Ausgleich der vertikalen Kraftkomponente in der Druckdiagonale wird Querkraftbewehrung eingesetzt. Die Größe der vertikalen Kraft ergibt sich aus der Druckspannung der Diagonale in der Betonfläche, die einem einzelnen Bügel zugeordnet ist - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Die Grenzkraft des Bügels wird angegeben als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Nach Einsetzen von σ_c und Vergleich mit der Grenzkraft in der Bewehrung erhalten wir nach Umformung:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Wird V_ed als V_RDs ausgedrückt, erhalten wir die Tragfähigkeit des Querschnitts mit vertikaler Querkraftbewehrung:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

Die Längsschubkraft wird von der Längsbewehrung aufgenommen und kann als V_edcotgθ bestimmt werden. Die Herleitung der obigen Formeln ist in [4] zu finden.

Mit dem Programm IDEA RCS können nur Bauteile mit vertikaler Querkraftbewehrung nachgewiesen werden. Allgemein können die folgenden Gleichungen verwendet werden:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Wobei  

A_sw      die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung ist,

s           der Abstand der Bügel ist,

f_ywd      der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung ist,

b_w        die minimale Breite zwischen Zug- und Druckgurt ist. Zur Berechnung der Tragfähigkeit V_Rd,max muss die Querschnittsbreite auf die sogenannte Nennbreite des Querschnitts reduziert werden, falls der Querschnitt durch Hüllrohre geschwächt ist

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ für verpresste Metallhüllrohre

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ für nicht verpresste Metallhüllrohre           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa oder  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustands im Druckgurt ist.

Tab. 1‑1 Bestimmung des Beiwerts α_cw

Der Winkel θ ist der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Trägerachse senkrecht zur Querkraft. Die Grenzwerte von cotθ für die Anwendung in einem Land sind dem jeweiligen Nationalen Anhang zu entnehmen. Die empfohlenen Grenzen ergeben sich aus dem Ausdruck:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

Die Wahl der Größe des Winkels θ kann den Wert der Tragfähigkeiten beeinflussen. Die Abhängigkeit der Tragfähigkeiten ist in Abbildung 1.15 dargestellt. Die Abbildung zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ die Tragfähigkeit V_Rd,max  zunimmt und die Tragfähigkeit V_Rd,s abnimmt. Die Tragfähigkeit V_Rd,c ist konstant, da sie auf dem Fachwerkmodell basiert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Berechnung der Querschnittskennwerte für Querkraft

Zur Berechnung der Querkraft ist es wichtig, die Querschnittsgrößen zu berechnen, die die Querkrafttragfähigkeit beeinflussen. Zu diesen Größen zählen vor allem die querkraftwirksame Querschnittsbreite b_w, die statische Nutzhöhe d und der Hebelarm z. Die Norm [2] gibt diese Werte an, die direkt mit der tatsächlichen Biegebeanspruchung zusammenhängen. Problematisch ist jedoch die Bestimmung dieser Werte, wenn die Richtung der resultierenden Biegemomente (genauer die Richtung der Resultierenden der Querschnittstragfähigkeit) sich deutlich von der Richtung der resultierenden Querkräfte unterscheidet. In diesem Fall enthält die Norm EC2 keine Empfehlungen.

Querschnittsbreite zur Querkraftaufnahme b_w

Das Programm IDEA RCS berechnet die Querschnittsbreite zur Querkraftaufnahme in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte. Je nach Abschnitt des Eurocodes wird diese Breite wie folgt berechnet:
-  Die kleinste Querschnittsbreite zwischen der Resultierenden des Betondrucks und der Zugbewehrung in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte für Abschnitt 6.2.2 (a) und 6.2.3 (1)
- Die Querschnittsbreite in einer Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte im nachgewiesenen Punkt nach Abschnitt 6.2.2 (2)

Statische Nutzhöhe eines Querschnitts

Die statische Nutzhöhe ist üblicherweise definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonfaser vom Schwerpunkt der Bewehrung. Da sie unmittelbar mit der Biegung zusammenhängt, wird der Abstand als senkrechte Projektion auf die Schwerlinie der ebenen Dehnungsebene angegeben. 

Diese Definition kann so präzisiert werden, dass anstelle des Schwerpunkts der Zugbewehrung die Lage der Resultierenden der Bewehrungskräfte verwendet wird. Bei der Entwicklung des Programms IDEA RCS war folgendes Problem zu lösen: Wie ist die statische Nutzhöhe des Querschnitts zu definieren, wenn die Ebene der Biegebeanspruchung nicht mit der Richtung der Resultierenden der Querkräfte übereinstimmt. Daher wird die statische Nutzhöhe definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonfaser  von der Resultierenden der Kräfte in der Zugbewehrung  (auf Grundlage der Biegebeanspruchung) und zwar in Richtung der Resultierenden der Querkräfte, siehe Abbildung 1.17.

Ausnahmefälle treten auf, wenn die gedrückte Faser oder die Resultierende in der Zugbewehrung nicht bestimmt werden kann. In diesem Fall empfehlen wir, den Wert 0,9 h (90 % der Querschnittshöhe in Richtung der Resultierenden der Querkräfte) zu verwenden. Diesen Wert kann der Benutzer im Programm IDEA RCS in den Einstellungen der Normvariablen festlegen.

Hebelarm der inneren Kräfte

Der Hebelarm der inneren Kräfte ist in 6.2.3 (3) [2] angegeben und wird definiert als der „Abstand zwischen Zug- und Druckgurt“.  Die Norm legt nicht fest, wie vorzugehen ist, wenn die Ebene des wirkenden Biegemoments von der Richtung der Resultierenden der Querkräfte abweicht. Daher definieren wir wie im Fall der statischen Nutzhöhe den Abstand in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte. Auch hier können ähnliche Ausnahmefälle auftreten, zum Beispiel wenn der gesamte Querschnitt gedrückt ist usw. In diesem Fall wird der Wert 0,9 d (90 % der statischen Nutzhöhe) angesetzt. Diesen Wert kann der Benutzer im Programm IDEA RCS in den Einstellungen der Normvariablen festlegen.

Die Abhängigkeit zwischen der Neigung der Biegeebene und der Resultierenden der Querkraft ist in Abbildung 1.18 und Abbildung 1.19 deutlich zu erkennen. Mit zunehmender Neigung nehmen die Werte der statischen Nutzhöhe, der Hebelarme und der zugehörigen Tragfähigkeiten ab. Der Grenzzustand liegt bei 90°. Bei dieser Neigung kann der Hebelarm der inneren Kräfte nicht berechnet werden, folglich ist der Hebelarm gleich null. In diesem Fall wird der in den Einstellungen der Normvariablen festgelegte Wert berücksichtigt. Dadurch entsteht am Ende des Diagramms ein Sprung. Diese Untersuchung belegt, dass das empfohlene Maximum der Neigung etwa 20° beträgt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

Im Rahmen der Tests der RCS-Anwendung wurde eine Untersuchung zur Abhängigkeit der Querkrafttragfähigkeit von der Änderung der Normalkraft durchgeführt. Die Tragfähigkeit V_Rd,max wird nur durch den Beiwert α_cw beeinflusst, siehe Abb. 1.20. Abb. 1.21 zeigt einen konstanten Wert der Tragfähigkeit V_Rds. Bei der Tragfähigkeit V_Rdc führt eine Zunahme der Normalkraft zu einer Abnahme. Die blaue Kurve in Abb. 1.21 zeigt die Tragfähigkeit V_Rdc unter Vernachlässigung des Einflusses der Risse und wurde mit der Formel in Abschnitt 6.2.2 (1) [2] berechnet. Der Sprung im Übergang zwischen Druck und Zug wird durch die mitwirkende Zugbewehrung verursacht. Die rote Kurve wird mit der Formel in Abschnitt 6.2.2 (2) [2] berechnet. Nach dem Auftreten des ersten Risses entspricht die Abhängigkeitskurve der von 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$