二维截面的内力

内力的输入

二维构件内力的输入取决于二维单元的类型：

• 壳-板 – 可输入薄膜力（n_x、n_y 和 n_xy）、弯矩（m_x、m_y 和 m_xy）和剪力（v_x 和 v_y）
• 壳-墙 – 可输入薄膜力（n_x、n_y 和 n_xy）、弯矩（m_x、m_y 和 m_xy）和剪力（v_x 和 v_y）
• 板 – 仅可输入弯矩（m_x、m_y 和 m_xy）和剪力（v_x 和 v_y）
• 墙 – 仅可输入薄膜力（n_x、n_y 和 n_xy）
• 深梁 – 仅可输入薄膜力（n_x、n_y 和 n_xy）

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}$$

校核时需定义以下组合类型：

• 承载能力极限状态/偶然 – 为该组合类型定义的内力分量用于二维单元的承载能力极限状态校核：

  • 承载力 N-M-M
  • 响应 N-M-M
  • 相关性

以及构造规定的校核

• 标准组合 – 为该组合类型定义的内力分量用于应力限值校核（正常使用极限状态）
• 准永久组合 – 为该组合类型定义的内力分量用于裂缝宽度校核（正常使用极限状态）

校核方向的确定

为正确校核二维单元，需确定校核方向。校核方向可针对每种组合类型分别输入，采用以下两种方法：

• 用户自定义方向 – 用户以相对于二维单元平面内 x 轴的角度定义校核方向。该选项为承载能力极限状态组合类型的默认设置，预设角度值为 0 度。校核在以下方向进行：

  • 定义方向
  • 垂直于定义方向的方向
  • 上表面压力斜杆方向
  • 下表面压力斜杆方向
• 主应力方向 – 校核方向自动计算为二维单元上、下表面主应力方向。该选项为标准组合和准永久组合类型的默认设置。校核在以下方向进行：

  • 下表面主应力方向
  • 垂直于下表面主应力方向的方向
  • 下表面压力斜杆方向
  • 上表面主应力方向
  • 垂直于上表面主应力方向的方向
  • 上表面压力斜杆方向

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}$$

承载能力极限状态校核方向分析

分析 1

对于仅承受弯矩（m_x = 20 kNm/m，m_y = 10 kNm/m，m_xy = 5 kNm/m）的二维单元，改变钢筋角度和承载能力极限状态校核方向角度，结果显示在以下图表中：

分析表明：

• 若钢筋相互垂直，不同校核方向角度下的校核结果相近，与所定义的钢筋角度无关，校核最大值出现在 0°、45° 和 90° 方向。因此，可采用预设校核角度 0° 进行校核。
• 若钢筋不相互垂直，各校核结果差异显著，最大校核值大致出现在与平均钢筋方向对应的方向。因此，当钢筋不相互垂直时，建议更改预设校核方向或在多个方向进行校核。

分析 2

对于正交钢筋，改变弯矩值和角度进行承载能力极限状态规范校核，结果以图表表示：

分析表明，即使弯矩值不同，承载能力极限状态校核的最大值仍出现在 0°、45° 和 90° 校核方向。因此，可采用预设校核角度 0° 进行校核。对于仅承受法向力或法向力与弯矩组合作用的二维单元，同样适用类似结论。

内力向校核方向的换算

所定义的内力采用 Baumann 变换公式换算至校核方向，该公式见 Baumann, Th.："Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken"，载于：Der Bauingenieur 47（1972），Berlin 1975。计算步骤如下：

1. 计算二维单元两个表面的法向力
2. 计算二维单元两个表面的主力
3. 将各表面的力换算至定义的校核方向
4. 将各表面的力换算至中心
5. 将剪力换算至定义的校核方向

计算二维单元两个表面的法向力

所定义的内力采用以下公式换算至两个表面：

$${{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}$$

$${{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}$$

$$~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}$$

内力换算时需确定内力力臂（z）。内力力臂由沿主弯矩 m₁ 方向在两个表面加载时的极限应变法确定。若主弯矩等于零，或在主弯矩方向未找到平衡，则内力力臂按以下公式确定：

$$z=x\cdot d$$

下图显示了弯矩 m_x = 20 kNm/m、m_y = 10 kNm/m、m_xy = 5 kNm/m 时内力力臂的验证结果。主弯矩方向计算为 α_m1 = 22.5 度，并通过截面响应计算确定内力力臂。

计算两个表面的内力

二维单元两个表面的主力采用以下公式计算：

$${{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}$$

$${{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}$$

主力方向采用以下公式计算：

$${{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)$$

将表面内力换算至定义的校核方向

主力向校核方向的换算针对每个表面分别采用 Baumann 变换公式进行：

$${{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}$$

将换算内力转换至截面重心

为校核二维单元，需将特定方向的表面力换算至截面重心。结果为作用于二维单元截面重心处的法向力 n_d,i 和弯矩 m_d,I。

                      m_d,i = n_lower,i·z_s,low + n_upper,i·z_s,upp

                         n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}$$

将剪力换算至定义的校核方向

剪力采用以下公式换算至校核方向：

$${{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})$$

最大剪力为：

$${{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$$

其作用方向为

$$\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)$$

各方法内力换算结果比较

按 EN 1992-1-1 进行力的换算

EN 1992-1-1 中描述的方法被多个程序及工程实践用于计算设计内力。EN 1992-1-1 仅考虑垂直钢筋方向。考虑扭矩影响的设计力计算流程如下图所示，其中 m_y³ m_x。对于 m_y < m_x 的情况，可建立类似图表。

以下表格显示了构件类型为板时，按 EN 方法计算的换算设计力值：

在 IDEA StatiCa RCS 中，不显示上、下表面的弯矩值，而显示两个表面的法向力值以及换算至截面重心的弯矩值。

下、上表面的弯矩可利用数值输出中显示的表面力，按以下公式计算：

$${{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z$$

表面力及换算弯矩的值显示在以下表格中：

表格显示，IDEA Concrete 计算的板表面弯矩与按 EN 方法计算的结果仅在一个表面吻合。这一差异源于混凝土压杆优化方式的不同。IDEA StatiCa RCS 采用的方法以压杆中力最小为目标搜索压杆角度，而 EN 方法则以所有方向负力之和最小为目标进行搜索。

与 RFEM 和 SCIA Engineer 程序内力计算结果的比较

为比较 IDEA Concrete、RFEM 和 SCIA Engineer（SEN）程序中换算内力的计算结果，建立了一个尺寸为 6 m × 4 m、厚度为 200 mm 的简单板模型。板四边采用线支座支承，并施加 10 kN/m² 的均布荷载。

为简化展示，仅显示一个纵向截面的换算内力值。该截面距板边缘 1.5 m。RFEM 程序计算的内力作为 IDEA Concrete 的输入值。

表格显示，各程序计算的力具有良好的一致性。