弯曲

截面承载力校核方法

可采用两种常用方法对一维混凝土构件进行承载能力极限状态校核。第一种方法以相关区域或相关图（单向弯矩情况下）的形式给出截面极限承载力。截面承载力可确定为实际内力与极限状态内力之比。第二种方法是求解截面平衡，即寻找受荷截面的实际受力状态、材料的应力利用情况以及截面薄弱环节。

承载能力极限状态的一般设计假定与计算假定

1. 钢筋和混凝土中的应变 ε 假定与距中性轴的距离成正比（平截面假定）。
2. 钢筋与混凝土之间的协同工作通过无滑移的粘结来保证（钢筋应变 ε 与相邻混凝土纤维的应变相同）。
3. 忽略混凝土的抗拉强度（所有拉应力均由钢筋承担）。
4. 受压区混凝土压应力根据应力-应变图所计算的应变确定。
5. 钢筋应力根据应力-应变图所计算的应变确定。
6. 混凝土受压极限应变限值 ε_cu2（混凝土受压抛物线-矩形应力-应变图）和 ε_cu3 （双线性应力-应变关系），[2]。
7. 当塑性段为水平段时，钢筋受压应变不受限制；当塑性段为斜线段时，应变限值为 ε_ud，[2]。
8. 当至少一种材料的状态超过极限应变时，即认为达到极限状态（若 εu 不受限制，则以受压混凝土为控制条件）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

相关图

第一种方法是通过相关曲面（或相关图）对截面进行校核。以下图中配筋方形截面的相关曲面为例进行说明。相关曲面上的各点定义了所研究截面的承载能力极限状态。相关曲面由点 (N, My, Mz) 绘制而成，这些点通过对截面中已达到某一材料极限应变时的应力进行积分确定。对于三维相关曲面，可由二维相关图推导得出，二维相关图为一条封闭曲线，对应于中性轴不断旋转时的应力状态。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

对于关于 y 轴对称的截面，相关图关于 N-M_y 平面对称。同理，对于关于 z 轴对称的截面，相关图关于 N-M_z 平面对称。单侧配筋截面的相关图呈扁平形状。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

定义承载能力极限状态的各点由应力积分得到。下图显示了承载能力极限状态下的应变分布。

承载能力极限状态下的应变分布（摘自 [2]）。

相关图显示截面在轴力和弯矩作用下的破坏情况。[1]

针对二维图问题（位于相关曲面上的封闭曲线），可以发现应变平面过中性轴和临界点 [y, z, ε]，该点被视为临界点 R。点 [y, z] 定义了截面中某点的位置，ε 为该点在承载能力极限状态下的应变值。对于二维图上的所有点，中性轴倾角保持不变。

当混凝土受压应力为设计控制条件时，点 R 对应最远受压混凝土纤维或限制点 C。但此条件仅适用于截面由单一混凝土材料组成的情况，不适用于混合截面。

当钢筋拉应力为设计控制条件时（承载能力极限状态下一根或多根钢筋的应变超过 ε_ud），必须满足以下条件：对于给定的应变平面，其他任何钢筋的应变均不超过 ε_ud。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

上图表明，相关图可分为两部分：由拉力引起破坏的部分和由压力引起破坏的部分。极限点对应于上述情况，其中也可以看到应变平面的极端倾角。在绘制相关图时，截面的平面应变倾角在此区间内变化，同时寻找点 R（见上文）。基于所确定的应变平面，进行积分以获得承载能力极限状态下的应力。

截面在轴力和弯矩共同作用下的校核

截面在轴力和弯矩共同作用下的校核，在于验证所校核的应力组合 (N_d, M_yd, M_zd) 位于相关曲面内部或其上。可采用不同方法实现。以下示例演示了矩形截面在 N_d = -500 kN、M_yd = 120 kNm、M_zd = 100 kNm 作用下的校核过程。

NuMuMu 方法

为确定截面承载力，假定所有内力分量按比例变化（轴力偏心距保持不变），直至形成相关曲面。内力的变化可理解为沿连接坐标原点 (0,0,0) 与内力点 (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) 的直线移动。该直线与相关曲面的两个交点代表承载能力极限状态下的两组内力。在每个交点处，程序确定极限状态下的三个力：轴力设计承载力 N_Rd 及相应的抗弯承载力设计值 M_Rdy、M_Rdz。

NuMM 方法

为确定截面承载力，假定轴力保持不变（等于作用的设计轴力），弯矩按比例变化，直至形成相关曲面。内力的变化可理解为在水平面内沿连接点 (N_Ed,0,0) 与作用内力点 (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) 的直线移动。该直线与相关曲面的两个交点代表承载能力极限状态下的两组内力。在每个交点处，程序确定极限状态下的三个力：抗弯承载力设计值 M_Rdy、M_Rdz 及（相应的）作用设计轴力 N_Ed。

NMuMu 方法

为确定截面承载力，假定轴力保持不变（等于作用的设计轴力），弯矩按比例变化，直至形成相关曲面。内力的变化可理解为在水平面内沿连接点 (N_Ed,0,0) 与作用内力点 (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) 的直线移动。该直线与相关曲面的两个交点代表承载能力极限状态下的两组内力。在每个交点处，程序确定极限状态下的三个力：抗弯承载力设计值 M_Rdy、M_Rdz, 及（相应的）作用设计轴力 N_Ed。

求解截面响应

另一种截面校核方法是求解截面响应（即由作用内力引起的应变和应力分布）。该方法也称为极限变形法。根据材料应力-应变图中对应的应变，计算每根纤维（平面弯曲情况下为每层）及每根钢筋中的实际应力水平。
截面响应的求解采用文献 [6] 中规定的数值方法。其原理是通过逐步施加未传递力的不平衡分量来对截面进行荷载增量计算。未传递力通过利用应力-应变图对截面上的应力进行积分得到。若在应力-应变图中能根据应变找到对应的应力值（见下图 (a)），则假定线弹性材料时计算所得应力是正确的。在情况 (b) 和 (c) 中，线性计算所得应力达到不合实际的数值，部分 (b) 或全部 (c) 应力无法由材料传递。对未传递应力进行积分可得未传递内力，其合力应叠加到可变荷载的内力中。

应力-应变图中的未传递应力。[4]

未传递内力。[4]

该计算方法需要采用数值方法对截面面积上的应力进行积分，并对截面平衡方程进行非线性分析。当满足收敛准则时，迭代终止。

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

其中

F_e 为截面荷载，

F_i 为截面响应（根据应变平面计算所得内力）。

若 a 为近似值，b 为精确值（真实值），则绝对偏差由下式给出。

$$e = \left| {b - a} \right|$$

相对偏差由下式给出：

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

在大多数程序中，可设置这些收敛准则（默认值为：相对误差 1%，轴力绝对误差 100 N，弯矩绝对误差 100 Nm）。

因此，若输入为 N = 0 kN、My = 100 kNm、Mz = 0 kNm，迭代后积分内力为 N = -0.07 kN、My = 100.5 kNm、Mz = 0.02 kNm，则评估如下。考虑到 N 和 Mz 均等于 0，可采用绝对偏差进行比较：

轴力值 100N > | 70 | N
弯矩 Mz 值 100Nm > | 20 | Nm
弯矩 My 值

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

基于响应的截面校核

在求解截面平衡的情况下，平面应变是已知的。由平面应变可计算截面任意位置的应变，进而利用材料的应力-应变图计算钢筋、截面或其各部分的应力或内力。将计算所得的应力和应变值与所用材料应力-应变图中的极限应变值进行比较。
该方法的优点在于，能够完整呈现截面在作用内力下的应力和应变分布状态。