Çatlaklar

Çatlak oluşumu

Eğilme veya çekme gerilmesi altındaki betonarme yapıların karakteristik bir özelliği, betondaki çekme gerilmesinin betonun çekme dayanımını aştığı noktalarda çatlak göçmesinin meydana gelmesidir. Yapının dayanıklılığı ve aynı zamanda estetiği açısından, oluşan çatlakların mümkün olduğunca küçük olmasını sağlamak önemlidir. Çatlak genişliklerinin hesabı ile farklı maruziyet sınıfları için izin verilen maksimum genişlikler EN 1992-1-1, Bölüm 7.3'te verilmektedir.

Hesabın ilk adımında, kesitin çatlamış olup olmadığı belirlenir. Çatlak genişliğinin kendisi her zaman yarı-kalıcı veya sık yük kombinasyonundan (ulusal eke bağlı olarak) hesaplanır; ancak çatlak oluşumu tüm belirtilen SLS kombinasyonlarından kontrol edilmelidir. Bu nedenle iki durum ortaya çıkabilir:

• Beton liflerindeki maksimum çekme gerilmesi, hiçbir yük kombinasyonundan (yarı-kalıcı M_E,qp, sık M_E,fr veya karakteristik M_E,k) betonun çekme dayanımını aşmayacak ve dolayısıyla kesiti çatlaksız olarak değerlendiririz.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Herhangi bir kombinasyon için çatlaklar oluşursa (yarı-kalıcı, sık veya karakteristik), yani dikkate alınan yük kombinasyonundan oluşan eğilme momenti kritik moment M_cr'den büyükse, kesit o yük kombinasyonundan çatlamış kabul edilir ve çatlamış kesitin karakteristikleri ile çatlak genişliği hesaplanmalıdır.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   herhangi bir SLS yük kombinasyonundan elde edilen eğilme momenti. Dolayısıyla M_E,qp, M_E,fr veya M_E,k olabilir. 

f_ct,ef   .   .  dikkate alınan zamandaki betonun çekme dayanımı. Beton 28 günden daha eski ise f_ctm'ye eşit bir dayanım dikkate alınır.

Çatlak genişliği hesabı

Eğilme yüklü bir elemanda çatlak oluşumu 2 olguya ayrılır:

• Çatlak oluşum aşaması (Şekil 1'de aşama numarası 2)
• Kararlı çatlak gelişimi (Şekil 1'de aşama numarası 3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

Çatlak gelişim aşaması

Bu, elemanın çekme bölgesinin tamamı boyunca yaklaşık olarak eşit dağılmış çatlaklardan etkilenene kadar bireysel çatlakların hâlâ kademeli olarak ortaya çıktığı sürecin başlangıç kısmıdır. İlk çatlak, gerilen şeritteki kuvvetin kritik kuvvet N_r değerini (aşağıya bakınız, Kritik çekme kuvveti) aştığında oluşur ve gerilen şeritteki kuvvetin yaklaşık 1,3N_cr'ye eşit olduğu yük seviyesine kadar daha fazla çatlak gelişir (Şekil 1'de aşama numarası 2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

Gelişen çatlaklar 2 türe ayrılır - birincil ve ikincil çatlaklar. Birincil çatlaklar, betonun etkin çekme dayanımına (f_ct,eff) ulaşıldığında çekme liflerinde meydana gelir. Birincil çatlaklar ilk çatlak örüntüsünü temsil eder (Şekil 2). Daha kısa ikincil çatlaklar daha sonra birincil çatlaklar arasında oluşur (Şekil 3). Yaklaşık 1,2 ila 1,5 σ_sr'ye karşılık gelen gerilmelerde (genellikle 1,3 σ_sr'nin ortalama değeri dikkate alınır; burada σ_sr, betonun çekme bölgesindeki birincil çatlakların oluşumunda donatıdaki gerilmedir), ikincil çatlakların gelişimi de tamamlanır.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

Çatlak oluşum aşamasındaki çatlak genişliği aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

Kararlı çatlak aşaması

Çekme bölgesindeki kritik kuvvetin yaklaşık 1,3 katının aşılmasının ardından yeni çatlaklar oluşmaz, elemandaki çatlak sayısı kararlı hale gelir ve yalnızca mevcut çatlakların genişliği daha fazla yüklemeyle artar (Şekil 1'de aşama numarası 3).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

Kararlı gelişim sırasındaki çatlak genişliği şu şekilde hesaplanabilir:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

Kritik çekme kuvveti

Hesap, Gerilme Çubuğu Modeli'ne (TCM) dayanmaktadır. Temel düşünce, A_s,eff alanına sahip bir donatı çubuğunun etrafını saran A_c,eff etkin çekme betonu alanından oluşan ve çekme dayanımı f_ct,eff aşılana kadar (normalde f_ctm dikkate alınır) çekme gerilmesine karşı koyabilen bir betonarme şeridin nihai kapasitesini hesaplamaktır. Donatı ile beton arasında tam aderans varsayıldığında, ilk çatlak oluşana kadar donatının ve çevresindeki betonun yeniden şekillenmesinin özdeş olduğu kabul edilebilir. Ardından ilk çatlaktan hemen önce çekme şeridindeki maksimum kuvvet N_r belirlenebilir:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Aşağıdaki değişken dönüşümü yapılarak

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

elde edilir:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

İlk çatlağın oluşumundan hemen sonra, N_r kuvvetinin tamamı donatı tarafından taşınır ve dolayısıyla yeni oluşan çatlaktan geçen donatıdaki gerilme şu şekilde hesaplanabilir:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

EC 1992-1-1'e göre çatlak genişliği hesabı

Betonarme elemanlardaki çatlak genişliğini hesaplamak için aşağıdaki denklem kullanılır:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   maksimum çatlak aralığı

ε_sm  .   .   .   .   çekme rijitliği etkileri dahil olmak üzere yük kombinasyonundan elde edilen donatının ortalama gerinimі.

ε_cm  .   .   .   .   çatlaklar arasındaki betonun ortalama gerinimі

Gerinim farkının hesabı

Çatlaklar arasındaki donatı ve beton gerinim farkı aşağıdaki denklemden elde edilebilir:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   dikkate alınan yük kombinasyonundan çatlaktaki donatıdaki gerilme

k_t      .   .   .   .   yükün süresine bağlı olarak ortalama gerinimі dikkate alan ampirik bir katsayı. Kısa süreli analiz için 0,6 değerini alabilir. Uzun süreli analiz için, kompozitin rijitliğinin yaklaşık %70'e düşürülmesi dikkate alınır; dolayısıyla değeri 0,4'tür ve bu değer, zamanla donatı ile beton arasındaki aderansın bozulma hızını içerir.

α_e     .   .   .   . elastisite modüllerinin etkin oranı

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   etkin donatı oranı

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   donatıyı çevreleyen çekme bölgesindeki betonun etkin alanı (A_c,eff'nin belirlenmesi aşağıda verilmiştir)

A_s,_eff .   .   .   .   A_c,_eff alanında bulunan aderanslı donatının alanı

A_p´    .   .   .   .   A_c,_eff içindeki ön veya ardgermeli kiriş tellerinin alanıdır

ξ₁  .   .   .   .   .   öngerme ve donatı çeliğinin farklı çaplarını dikkate alan, düzeltilmiş aderans dayanımı oranıdır:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . öngerme ve donatı çeliğinin aderans dayanımı oranı (Tablo 6.2)

ϕ_s   .   .  donatı çeliğinin en büyük çubuk çapı

ϕ_p   .   .  öngerme çeliğinin çapı veya eşdeğer çapı

Demetler için A_p, kiriş telindeki donatının alanıdır

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

φ_wire'ın tel çapı olduğu tek yedi telli demetler için

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

φ_wire'ın tel çapı olduğu tek üç telli demetler için

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Çatlamayı önlemek için yalnızca öngerme donatısı kullanılıyorsa, aşağıdaki husus dikkate alınmalıdır.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

Öngerilmeli elemanlarda, karakteristik yük kombinasyonu ve öngerme kuvvetinin karakteristik değeri altında herhangi bir lifteki çekme gerilmesi betonun çekme dayanımı f_ct,eff'yi aşmadığı sürece minimum aderanslı donatı alanı gerekmez. (daha fazla ayrıntı için bkz. EN 1992-1-1 md. 7.3.2)

Çekme bölgesindeki betonun etkin alanı

Hesabın önemli ancak aynı zamanda en karmaşık adımı, donatıyı çevreleyen çekme betonunun etkin alanının belirlenmesidir. Hem Eurocode hem de Model Code, betonarme elemanın tek eksenli eğilme veya çekme ile yüklendiği basit yükleme durumlarını dikkate alır. Etkin yüksekliğin değeri şu şekilde belirlenir:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

Genellikle h_c,eff = 2,5(h-d) değeri belirleyicidir. Çekme elemanları için üst sınır h/2 iken, eğilmeli elemanlar için (h-x)/3'tür. Ancak A_c,eff alanı aynı zamanda 5(c+ϕ/2) denkleminden belirlenen genişlikle de sınırlandırılır. Donatılar arasındaki aralık 5(c+ϕ/2)'den büyükse, bireysel çubuklar için 5(c+ϕ/2) genişliğindeki gerilen betonun etkin alanı dikkate alınır.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

Maksimum çatlak aralığı

Maksimum çatlak aralığı s_r,max hesaplanırken iki durum ortaya çıkabilir:

• Aderanslı donatının eksenel aralığı 5(c+ϕ/2) mesafesini aşmıyor - Şekil 9a
• Aderanslı donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2)'den büyük - Şekil 9b

Donatıların eksenel aralıklarının 5(c+ϕ/2) değerini aşmadığı durum için maksimum çatlak aralığı s_r,max hesabı aşağıdaki şekilde tanımlanır:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   mm cinsinden beton örtü değeri. Örtü değeri, kenar donatısı için hem yatay hem de düşey kenarlara göre farklı olabileceğinden, dikkate alınan donatı için bulunan maksimum örtü değerinin esas alınması önerilir.

ϕ     .   .   .   .   aderanslı donatının çapı. Farklı donatı çapları söz konusu olduğunda, eşdeğer çap EN 1992-1-1 Denklem 7.12'ye göre hesaplanmalıdır.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . aderanslı donatının aderans özelliklerini dikkate alan bir katsayıdır

• k₁ = 0,8 yüksek aderanslı çubuklar için
• k₁ = 1,6 etkin düz yüzeyli çubuklar için (örn. öngerme kiriş telleri)

k₂ .   .   .   . gerinim dağılımını dikkate alan bir katsayıdır

• k₂ = 1,0 eğilme için
• k₂ = 0,5 saf çekme için

Dışmerkezli çekme veya yerel bölgeler için, aşağıdaki bağıntıdan hesaplanabilecek k₂'nin ara değerleri kullanılmalıdır:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  beton ile donatı arasındaki aderansın bozulduğu çatlak yakınındaki bölgenin uzunluğunu ifade eden katsayı. Temel EC k₃ = 3,4 önerilen değeri Ulusal Ek tarafından değiştirilebilir. 

k₄      .   .   .   .   betonun aderans ve çekme dayanımı arasındaki ilişkiyi ifade eden katsayı. Temel EC k4 = 0,425 önerilen değeri Ulusal Ek tarafından düzenlenebilir.

Donatıların eksenel aralıklarının 5(c+ϕ/2) değerini aştığı durum için maksimum çatlak aralığı s_r,max hesabı aşağıdaki şekilde tanımlanır:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Denkleme göre maksimum çatlak aralığı değerleri

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

her zaman aşağıdaki denklemle belirlenen değerlerden büyük olmalıdır

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

aksi takdirde yukarıdaki denklemlerden elde edilen daha büyük aralığın dikkate alınması önerilir. Beton/donatı gerinimіne ilişkin denklem, donatının büyük eksenel aralığı durumu için değiştirilmez. Çatlak genişliklerinin kontrol edildiği bölgelerde, bireysel donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2)'den büyük olmamalıdır.

RCS'de uygulanan çatlak genişliği hesabı

Etkin alan A_c,eff'nin belirlenmesi

Hangi donatının boyuna çatlak direnci donatısı olarak değerlendirilebileceğini belirlemek o kadar kolay olmadığından, A_c,eff aşağıdaki yinelemeli süreç kullanılarak belirlenir.

• Çekme etkisindeki tüm donatılardan çekme kuvveti merkezi C_g,s,1 belirlenir. Donatının etkin derinliği d, C_g,s ile bileşke eğilme momenti yönünde hesaplanan en çok sıkışan beton lifi arasındaki mesafedir. Aynı zamanda, çatlamış kesitin tarafsız ekseninin konumu ve sıkışan bölgenin yüksekliği x belirlenir. Bu, etkin yükseklik h_c,eff'nin belirlenmesini mümkün kılar:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• A_c,eff,1 dışında kalan tüm donatılar hariç tutularak yeni donatı merkezi C_g,s,2 belirlenir; yeni donatı etkin derinliği d ile birlikte etkin yükseklik h_c,eff, yalnızca değiştirilmiş giriş değerleriyle bir önceki adımla aynı şekilde belirlenir.

Dikkate alınan tüm gerilen donatıların A_c,eff,2 içinde yer aldığı yeniden kontrol edilir. Bu koşul sağlanırsa yineleme sonlandırılabilir ve h_c,eff,2, A_c,eff,2 ve A_s,eff,2 değerleri IDEA StatiCa RCS'de sonuç değerleri olarak görüntülenir.

Çatlak genişliği hesabının olası durumları

Genel olarak, çatlak genişlikleri hesaplanırken üç durum ortaya çıkabilir:

• Çekme donatısı A_c,eff bölgesinde yer almakta olup bireysel donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2)'den küçüktür. Bu durumda hesap için aşağıdaki tanımlar kullanılır:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Çekme donatısı A_c,eff içinde yer almakta olup bireysel donatıların eksenel aralığı 5(c+ϕ/2) mesafesini aşmaktadır. Bu durumda hesap için aşağıdaki tanımlar kullanılır:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Çekme donatısı A_c,eff içinde yer almamaktadır (bu durum örneğin kalın örtüden kaynaklanabilir). 

Bu durumda çatlak genişliğinin hesaplanması mümkün olmayacaktır. Bu nedenle etkin yükseklik h_c,eff hesabı aşağıdaki şekilde değiştirilir:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Aynı zamanda aşağıdaki uygunsuzluk görüntülenir:

h_c,eff derinliğindeki donatıyı veya öngerme kiriş tellerini çevreleyen çekme bölgesindeki etkin beton alanı; burada h_c,eff, 2,5(h – d) veya h/2'nin küçük olanıdır. (h – x)/3 değeri dikkate alındığında, donatı çekme bölgesindeki betonun etkin alanı dışında kalmakta olup bu nedenle madde 7.3.4'e göre çatlak genişliğinin hesaplanması mümkün olmayacaktır.