Kotvení

Subkód: LRFD

Typ přípoje: Kotvení

Soustava jednotek: Metrická

Navrženo podle: ACI 318-14

Posuzováno: Kotvy namáhané tahem a smykem v blízkosti hrany

Materiál plechu: A709, Gr. 50

Šrouby: M12 A325M

Třída betonu: 4000 psi

Geometrie

Rozmístění kotev a průřez T-sekce patní desky–sloupu je nerealistické, ale slouží jako ověření většiny funkcí při návrhu kotev. Odsazení betonového bloku vůči patní desce je 200 mm nahoru a doleva, 300 mm doprava a 0 mm dolů. Výška betonového bloku je 600 mm. Levá a pravá kotva jsou vzdáleny 50 mm a 100 mm od osy sloupu. To slouží k dosažení excentricity tahového a smykového zatížení. Všechny plechy jsou navrženy tak, aby zůstaly v elastickém stavu.

Přiložené zatížení

Sloup je zatížen tahovou silou 10 kN a smykovými silami ve směru y a z, –5 kN a 2 kN. Tahové i smykové síly působí s excentricitou danou polohou kotev.

Postup

Kotvy jsou navrženy podle ACI 318-14 – Kapitola 17. V návrhu se předpokládá popraskání prostého betonu. Veškerá zatížení jsou uvažována jako statická. Kotvy jsou M12 A325M, předem zabetonované s hlavou a kruhovými podložkami o průměru 24 mm. Smykové síly jsou přenášeny prostřednictvím kotev. Únosnost plechů a svarů je dostatečná a zde není posuzována.

Poznámka: Převod imperiálních jednotek na metrické jednotky nehomogenních vzorců je uveden v Příloze B normy ACI 318-14. Vzorce dávají podobné, ale ne zcela totožné výsledky. Aby se předešlo rozdílnému využití pro imperiální a metrické jednotky, jsou upřednostňovány imperiální jednotky a koeficienty v nehomogenních vzorcích jsou pro metrické jednotky mírně upraveny, např. v rovnici 17.4.4.1 je místo koeficientu 13 použit přesnější koeficient 13,2855.

Ruční výpočet

Posouzení kotev je provedeno podle ACI 318-14 – Kapitola 17. Ocelová únosnost v tahu a smyku a únosnost na vytažení je stanovena pro jednotlivé kotvy; únosnost betonu při vyražení kužele v tahu a smyku, únosnost betonu při bočním vyražení a únosnost betonu při páčení je stanovena pro skupinu kotev. Předpokládá se, že beton je prostý a v popraskaném stavu.

Rozdělení sil

Tahová síla je přenášena 2 kotvami, jedna je vzdálena 50 mm od počátku vektoru síly, druhá 100 mm. Předpokládá se, že bližší kotva přenáší 2/3 tahové síly a vzdálenější 1/3, tj. bližší kotva je zatížena tahovou silou N_f1 = 6,67 kN, vzdálenější N_f2 = 3,33 kN. Excentricita síly skupiny kotev je 25 mm.

Smyková síla ve směru k nejbližší hraně je přenášena 2 kotvami, jedna je vzdálena 50 mm od počátku vektoru síly, druhá 100 mm. Předpokládá se, že bližší kotva přenáší 2/3 smykové síly a vzdálenější 1/3, tj. bližší kotva je zatížena smykovou silou V_fx1 = 3,33 kN, vzdálenější V_fx2 = 1,67 kN. Excentricita síly skupiny kotev je 25 mm. Smyková síla ve směru rovnoběžném s nejbližší hranou, 2 kN, je rozdělena rovnoměrně mezi obě kotvy. Vektorové součty smykových sil jsou V_f1 = 3,48 kN, V_f2 = 1,94 kN a pro skupinu kotev V_f = 5,39 kN.

Ocelová únosnost kotvy v tahu

Ocelová únosnost kotvy v tahu je stanovena podle ACI 318-14 – 17.4.1 jako

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0,7 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 48,7 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

kde:

• ϕ = 0,7 – součinitel snížení únosnosti kotev v tahu podle ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,N = 84 mm² – plocha průřezu v tahu
• f_uta = 827,4 MPa – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu; nesmí být větší než 1,9 f_ya a 120 ksi

Využití: N_f1 / ϕN_sa = 6,67 / 48,7 = 13,7 %

Únosnost betonu při vyražení kužele v tahu

Únosnost betonu při vyražení kužele je navržena podle metody Concrete Capacity Design (CCD) v ACI 318-14 – Kapitola 17.4.2. Kotvy jsou posuzovány jako skupina, protože jsou blízko sebe; rozteč s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm.

$$\phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b$$

kde:

• ϕ = 0,7 – součinitel snížení únosnosti kotev v tahu podle ACI 318-14 – 17.3.3
• A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – skutečná plocha betonového kužele vyražení pro skupinu kotev, které tvoří společný betonový kužel. Podle čl. 17.4.2.8 je průmět plochy porušení získán promítnutím plochy porušení ven od účinného obvodu podložky.
• A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – plocha betonového kužele vyražení pro jednu kotvu bez vlivu hran
• $\psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857$ – modifikační součinitel pro skupiny kotev zatížené excentricky v tahu
• $\psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8$ – modifikační součinitel pro vzdálenost od hrany
• c_a,min = 50 mm – nejmenší vzdálenost kotvy od hrany
• Ψ_c,N = 1 – modifikační součinitel pro podmínky betonu
• Ψ_cp,N = 1 pro předem zabetonované kotvy
• $N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot  \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN}$ – základní únosnost betonu při vyražení kužele jedné kotvy v tahu v popraskaném betonu; h_ef ≤ 280 mm (11 in)
• k_c = 10 pro předem zabetonované kotvy a metrické jednotky
• h_ef = 100 mm – hloubka zakotvení; podle kapitoly 17.4.2.3 v ACI 318-14 se účinná hloubka zakotvení h_ef redukuje na $h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right )$
• pokud jsou kotvy umístěny méně než 1,5 h_ef od tří nebo více hran
• s = 150 mm – rozteč kotev
• c_a,max = 350 mm – maximální vzdálenost kotvy od jedné ze tří blízkých hran
• λ_a = 1 – modifikační součinitel pro lehký beton
• f'_c = 27,6 MPa – pevnost betonu v tlaku

$$\phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN}$$

Využití: N_f / ϕN_cbg = 10 / 28,3 = 35,4 %

Únosnost na vytažení v tahu

Únosnost betonu na vytažení kotvy je definována v ACI 318-14 – 17.4.3 jako

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0,7 ⋅ 1 ⋅ 74,9 = 52,4 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

kde:

• ϕ = 0,7 – součinitel snížení únosnosti kotev v tahu podle ACI 318-14 – 17.3.3
• Ψ_c,P = 1 – modifikační součinitel pro podmínky betonu, Ψ_c,P = 1,0 pro popraskání betonu
• N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339,3 ⋅ 27,6 = 74,9 kN – pro kotvu s hlavou – čl. 17.4.3.4
• A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339,3 mm² – plocha opření hlavy kotevního šroubu
• f'_c = 27,6 MPa – pevnost betonu v tlaku

Využití: N_f1 / ϕN_pn = 6,67 / 52,4 = 12,7 %

Únosnost betonu při bočním vyražení

Únosnost betonu při bočním vyražení kotvy s hlavou v tahu je definována v ACI 318-14 – 17.4.4 jako

$$\phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c}$$

Únosnost betonu při bočním vyražení je vynásobena redukčním součinitelem pro více kotev s hlavou v blízkosti hrany a blízko sebe podle čl. 17.4.4.2:

$$1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2$$

kde:

• ϕ = 0,7 – součinitel snížení únosnosti kotev v tahu podle ACI 318-14 – 17.3.3
• c_a1 = 50 mm – kratší vzdálenost od osy kotvy k hraně
• c_a2 = 350 mm – delší vzdálenost, kolmá na c_a1, od osy kotvy k hraně
• A_brg = 339,3 mm² – plocha opření hlavy kotevního šroubu
• f'_c = 27,6 MPa – pevnost betonu v tlaku
• h_ef = 100 mm – hloubka zakotvení
• s = 150 mm – rozteč kotev

$$\phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN}$$

Využití: N_f / ϕN_cbg = 10 / 67,4 = 26,7 %

Ocelová únosnost ve smyku

Ocelová únosnost ve smyku je stanovena podle ACI 318-14 – 17.5.1 jako

ϕV_sa = ϕ 0,6 A_se,Vf_uta = 0,65 ⋅ 0,6 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 27,1 kN ≥ V_f1 = 3,48 kN

kde:

• ϕ = 0,65 – součinitel snížení únosnosti kotev v tahu podle ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,V = 84 mm² – plocha průřezu v tahu
• f_uta = 827,4 MPa – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu; nesmí být větší než 1,9 f_ya a 120 ksi

Využití: V_f1 / ϕV_sa = 3,48 / 27,1 = 12,7 %

Únosnost betonu při vyražení kužele ve smyku

Únosnost betonu při vyražení kužele skupiny kotev ve smyku je navržena podle ACI 318-14 – 17.5.2.

$$\phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b$$

kde:

• ϕ = 0,65 – součinitel snížení únosnosti kotev ve smyku podle ACI 318-14 – 17.3.3
• A_v = (50 ⋅ 1,5) ⋅ (50 ⋅ 1,5 + 150 + 50 ⋅ 1,5) = 22 500 mm² – průmět plochy porušení betonu kotvy nebo skupiny kotev
• A_vo = 4,5 c_a1² = 4,5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – průmět plochy porušení betonu jedné kotvy bez omezení vlivem rohů, rozteče nebo tloušťky prvku
• $\psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75$ – modifikační součinitel pro skupiny kotev zatížené excentricky ve smyku
• $\psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0$ – modifikační součinitel pro vliv hrany
• Ψ_c,V = 1 – modifikační součinitel pro podmínky betonu; Ψ_c,V = 1,0 pro popraskání betonu
• $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 – modifikační součinitel pro kotvy umístěné v betonovém prvku, kde h_a < 1,5 c_a1
• $\psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056$ – modifikační součinitel pro kotvy zatížené pod úhlem 90° − α_V k hraně betonu; v ACI 318-14 – 17.5.2.1 jsou uvedeny pouze diskrétní hodnoty, rovnice je převzata z FIB bulletin 58 – Design of anchorages in concrete (2011)
• h_a = 600 mm – výška plochy porušení na straně betonu

$$V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right )$$

$$V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN}$$

• l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – účinná délka kotvy ve smyku
• d_a = 12 mm – průměr kotvy
• f'_c = 27,6 MPa – pevnost betonu v tlaku
• c_a1 = 50 mm – vzdálenost od hrany ve směru zatížení, c_a2 ≥ 1,5 c_a1 a h_a ≥ 1,5 c_a1
• c_a2 = 350 mm – vzdálenost od hrany ve směru kolmém na zatížení

$$\phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot  1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN}$$

Využití: V_f / ϕV_cbg = 5,39 / 5,835 = 92,3 %

Únosnost betonu při páčení kotvy ve smyku

Únosnost betonu při páčení je navržena podle ACI 318-14 – 17.5.3. Předpokládá se, že všechny kotvy jsou namáhány tahem a pro únosnost betonu při vyražení kužele není uvažována žádná excentricita.

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0,65 ⋅ 2 ⋅ 47,1 = 61,2 kN ≥ V_f = 5,39 kN

kde:

• ϕ = 0,65 – součinitel snížení únosnosti kotev ve smyku podle ACI 318-14 – 17.3.3
• k_cp = 2,0 pro h_ef ≥ 50 mm
• N_cp = N_cb = 47,1 kN (únosnost betonu při vyražení kužele – všechny kotvy jsou uvažovány v tahu) v případě předem zabetonovaných kotev

Využití: V_f / ϕV_cp = 5,39 / 61,2 = 5,7 %

Interakce tahových a smykových sil

Interakce tahových a smykových sil je posouzena podle ACI 318-14 – R17.6.

$$\left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0$$

kde:

• N_ua a V_ua – návrhové síly působící na kotvu
• N_n a V_n – nejnižší návrhové únosnosti stanovené ze všech příslušných módů porušení
• ς = 5 / 3

Únosnost kotvení není dostatečná pro přenos kombinovaných tahových a smykových sil.

Posouzení v IDEA StatiCa Connection

Dále jsou zobrazeny výsledky svarů a betonového bloku namáhaného tlakem. Zatížení těchto komponent je zanedbatelné, a proto je zanedbatelné i jejich využití.

Porovnání

Rozdělení sil v IDEA StatiCa Connection se mírně liší od ručního výpočtu. Sloup a patní deska jsou deformovány a patní deska je v kontaktu s betonovým blokem. Kontaktní napětí zvyšuje síly v kotvách. Proto jsou součinitele zohledňující excentricitu síly mírně odlišné. Únosnost betonu při bočním vyražení je v IDEA StatiCa Connection posuzována pro každou kotvu samostatně, zatímco v ručním výpočtu lze posouzení provést jako skupinu, čímž se dosáhne mírně vyšší únosnosti. Z těchto důvodů se některé dílčí únosnosti mírně liší, avšak pouze o několik procent. Výsledné využití – interakce tahových a smykových sil – je téměř totožné: 106,2 % v ručním výpočtu a 107,7 % v IDEA StatiCa.