IDEA StatiCa RCS – Konstrukční návrh 1D betonových prvků

Metody posouzení únosnosti průřezu

Pro posouzení mezního stavu únosnosti 1D betonových prvků lze použít dvě známé metody. První z nich určuje únosnost průřezu ve formě interakční plochy nebo interakčního diagramu (v případě ohybového momentu v jednom směru). Únosnost průřezu lze určit jako poměr působících vnitřních sil k silám na mezním stavu. Druhá metoda spočívá v nalezení rovnováhy v průřezu, při které sledujeme skutečné chování zatíženého průřezu, využití materiálů z hlediska napětí a slabá místa průřezu.

Obecné předpoklady návrhu a výpočtu pro mezní stav únosnosti 

1. Přetvoření ε ve vyztužení a v betonu se předpokládá přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy (průřezy zůstávají rovinné).
2. Spolupůsobení vyztužení a betonu je zajištěno bez prokluzu (přetvoření ε ve vyztužení a v přilehlých vláknech betonu je stejné).
3. Tahová pevnost betonu se zanedbává (veškerá tahová napětí přenáší vyztužení).
4. Tlaková napětí v betonu v tlačené zóně se určují z přetvoření pomocí diagramů napětí-přetvoření.
5. Napětí ve vyztužení se určují z přetvoření pomocí diagramů napětí-přetvoření.
6. Tlakové přetvoření betonu je omezeno mezním přetvořením ε_cu2 (parabolicko-rektangulární diagram pro beton v tlaku) a ε_cu3 (bilineární vztah napětí-přetvoření), [2].
7. Tlakové přetvoření vyztužení není omezeno v případě vodorovné plastické horní větve; v případě šikmé plastické horní větve je přetvoření omezeno hodnotou ε_ud,[2].
8. Mezní stav nastává, když stav alespoň jednoho z materiálů překročí mezní přetvoření (pokud εu není omezeno, rozhoduje tlačený beton).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

Interakční diagram

První možností je posouzení průřezu pomocí interakční plochy (nebo interakčního diagramu). Vysvětlení je uvedeno na příkladu interakčních ploch pro vyztužený čtvercový průřez z obrázku níže. Na interakční ploše se nacházejí body definující mezní stav únosnosti posuzovaného průřezu. Interakční plocha je vykreslena z bodů (N, My, Mz), které se určují integrací napětí v průřezu, v němž bylo dosaženo mezního přetvoření v jednom z materiálů. U 3D  interakce lze plochu odvodit z 2D interakčního diagramu, což je uzavřená křivka, která odpovídá napjatosti při plynule natáčené neutrální ose.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

Pro průřez symetrický podle osy y je interakční diagram symetrický podle roviny N-M_y. Stejně tak pro průřez symetrický podle osy z je interakční diagram symetrický podle roviny N-M_z. Jednostranně vyztužený průřez vede k zploštělému tvaru interakčního diagramu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

Body definující mezní stav únosnosti se získají integrací napětí.  Obrázek níže znázorňuje přetvoření na mezním stavu únosnosti.

Rozdělení přetvoření na mezním stavu únosnosti (převzato z [2]).

Interakční diagram znázorňuje porušení průřezu při působení normálové síly a ohybových momentů. [1]

Při řešení 2D diagramu (uzavřené křivky ležící na interakční ploše) lze zjistit, že rovina přetvoření prochází neutrální osou a kritickým bodem [y, z, ε], který označujeme jako kritický bod R.  Bod [y, z] definuje bod v průřezu s hodnotou přetvoření ε na mezním stavu únosnosti. Sklon neutrální osy je pro všechny body 2D diagramu konstantní.

Pokud je pro návrh rozhodující tlakové napětí v betonu, bod R odpovídá nejvíce tlačenému vláknu betonu nebo limitnímu bodu C. Toto však lze použít pouze tehdy, je-li průřez vyroben z jednoho typu betonu - tedy nejde-li o smíšený průřez.   

Pokud je pro návrh rozhodující tahové napětí ve vyztužení (na mezním stavu únosnosti je u jedné nebo více výztužných vložek překročeno přetvoření ε_ud), musí být pro danou rovinu přetvoření splněna podmínka, že hodnota ε_ud není překročena u žádné jiné výztužné vložky.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

Obrázek výše ukazuje, že diagram lze rozdělit na dvě části: část, kde je porušení způsobeno tahovou silou, a část, která se porušuje tlakovou silou. Limitní body odpovídají případu uvedenému výše, kde je patrný také extrémní sklon roviny přetvoření. Při vykreslování interakčního diagramu se sklon roviny přetvoření průřezu mění v tomto intervalu, přičemž hledáme bod R (viz výše). Na základě takto definované roviny provedeme integraci a získáme napětí na mezním stavu únosnosti.

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem spočívá v prokázání, že posuzovaná namáhání (kombinace N_d, M_yd, M_zd) leží uvnitř interakční plochy nebo na ní. Lze to provést různými metodami. Následující příklad ukazuje posouzení obdélníkového průřezu namáhaného silami N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme proporcionální změny všech složek vnitřních sil (výstřednost normálové síly zůstává konstantní), dokud není dosaženo interakční plochy. Změnu uvažovaných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb po přímce spojující počátek souřadného systému (0,0,0) a bod definovaný vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program určí tři síly na mezním stavu: návrhovou únosnost v normálové síle N_Rd a odpovídající návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (která se rovná působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů, dokud není dosaženo interakční plochy. Změnu uvažovaných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb ve vodorovné rovině po přímce spojující bod (N_Ed,0,0) a  bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program určí tři síly na mezním stavu: návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Metoda  NMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (která se rovná působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů, dokud není dosaženo interakční plochy. Změnu uvažovaných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb ve vodorovné rovině po přímce spojující bod (N_Ed,0,0) a bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program určí tři síly na mezním stavu: návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz, a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Nalezení odezvy průřezu

Další možností posouzení průřezu je nalezení odezvy průřezu (tj. rozdělení přetvoření a napětí od působících vnitřních sil). Tato metoda je také známá jako metoda mezního přetvoření. Velikost působících napětí v každém vlákně (v případě rovinného ohybu v každé vrstvě) a v každém výztužném prutu se vypočítá v závislosti na přetvoření z diagramu napětí-přetvoření daného materiálu.
Odezva průřezu se vypočítá pomocí numerické metody uvedené v [6]. Princip spočívá v postupném přírůstku zatížení průřezu o nevyrovnané složky nepřenesených sil. Ty se získají integrací napětí po průřezu pomocí diagramů napětí-přetvoření. Pokud lze pro dané přetvoření v diagramu napětí-přetvoření nalézt hodnotu napětí, viz obrázek níže (a), je vypočtené napětí správné za předpokladu lineárně pružného materiálu. V případech (b) a(c) dosahuje napětí při lineárním výpočtu nereálných hodnot a část (b) nebo celou hodnotu (c) materiál nemůže přenést. Integrací nepřenesených napětí získáme nepřenesené vnitřní síly a jejich výslednice se musí přičíst k vnitřním silám od proměnných zatížení. 

Nepřenesená napětí v diagramech napětí-přetvoření. [4]

Nepřenesené vnitřní síly. [4]

Tato výpočetní metoda vyžaduje použití numerických metod pro integraci napětí po ploše průřezu a pro nelineární řešení rovnic rovnováhy v průřezu. Iterace se ukončí ve chvíli, kdy jsou splněna konvergenční kritéria.

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

kde 

F_e je zatížení průřezu,

F_i je odezva průřezu (vnitřní síly vypočtené na základě roviny přetvoření).

Je-li a přibližná (aproximovaná) hodnota a b přesná (skutečná) hodnota, pak je absolutní odchylka dána následující rovnicí.

$$e = \left| {b - a} \right|$$

Relativní odchylka je dána následujícím vztahem:

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

Ve většině programů lze tato konvergenční kritéria nastavit (výchozí hodnoty jsou 1 % jako relativní chyba, 100 N, 100 Nm jako absolutní chyba normálové síly a momentů). 

Pokud tedy máme na vstupu N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm a integrované síly po iteraci N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, vyhodnocení bude následující. Vzhledem k tomu, že N a Mz jsou rovny 0, lze provést porovnání s absolutní odchylkou:

Hodnota normálové síly 100N> | 70 | N
Hodnota ohybového momentu Mz 100Nm> | 20 | Nm
Hodnota ohybového momentu My

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

Posouzení průřezu podle odezvy

V případě nalezení rovnováhy v průřezu je známa rovina přetvoření. Z roviny přetvoření lze vypočítat přetvoření v libovolném místě průřezu, poté napětí nebo vnitřní síly ve výztužných prutech, v průřezu nebo jeho částech pomocí diagramů napětí-přetvoření materiálů. Vypočtené hodnoty napětí a přetvoření porovnáme s mezní hodnotou přetvoření z diagramů napětí-přetvoření použitých materiálů.
Výhodou této metody je, že získáme úplný obraz hodnot napětí a přetvoření v průřezu od vnitřních sil působících na průřez.

Z hlediska křehkého porušení je posouzení na smyk jedním z důležitých posouzení železobetonového průřezu.

Postup výpočtu

Výpočet smykové únosnosti se skládá z několika základních částí. Nejprve je třeba zanalyzovat, zda v posuzovaném místě vznikají trhliny od ohybu, či nikoliv. Pokud ano, použije se výpočet podle EN 1992-1-1 [2], článek 6.2.2 (1). V opačném případě určíme, zda se jedná o prostý beton, nebo slabě vyztužený beton, a dále postupujeme podle EN 1992-1-1, článek 12.6.3. 

U železobetonových prvků bez trhlin (bez smykového vyztužení) posuzujeme podle EN 1992-1-1, článek 6.2.2 (2). U prvků, kde je smykové vyztužení požadováno, posuzujeme podle článku 6.2.3 [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

Smyková únosnost prvků bez smykového vyztužení

Smyková únosnost prvků v oblastech s ohybovými trhlinami (čl. 6.2.2 (1) [2])

Smyková únosnost železobetonových prvků bez smykového vyztužení namáhaných ohybovým momentem je dána vztahem:

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

Tento vztah byl stanoven na základě zkoušek provedených na reprezentativním počtu prostých nosníků v případě porušení smykovou silou. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélného vyztužení (r_l), byly pro slabě vyztužené prvky odvozeny rovnice. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélného vyztužení (r_l), byla pro slabě vyztužené prvky určena rovnicí

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

Smyková únosnost s vlivem normálové síly byla určena rovnicí

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

Smyková únosnost v úplném vyjádření, které odpovídá EN 1992-1-1, čl. 6.2.2 (1)

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

S minimem

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

kde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          součinitel výšky průřezu 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      stupeň vyztužení podélným vyztužením

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        charakteristická válcová pevnost betonu v tlaku ve stáří 28 dní

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        nejmenší šířka průřezu v tažené oblasti

d          účinná výška průřezu

υ_min      minimální ekvivalentní smyková pevnost υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Smyková únosnost prvků v oblastech bez ohybových trhlin (čl. 6.2.2 (2) [2])

Smykovou únosnost prvků v oblastech bez ohybových trhlin lze určit z Mohrovy kružnice. Do rovnice

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

dosadíme σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w), vyjádříme V_Rd,c a získáme rovnici odpovídající vztahu uvedenému v EN 1992-1-1, čl. 6.2.2 (2)

kde  

I           je moment setrvačnosti průřezu,

b_w        je šířka průřezu v úrovni těžištní osy,

S          je statický moment plochy nad těžištní osou a k této ose,

f_ctd        návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu v MPa,

 s_cp       je tlakové napětí v betonu v úrovni těžištní osy od zatížení a/nebo předpětí,

a_l         součinitel přenosové délky, obvykle 1,0.

V souvislosti s výše uvedeným je třeba poznamenat, že v oblastech bez ohybových trhlin může být únosnost V_Rd ,c  výrazně vyšší než v oblastech s trhlinami podle článku 6.2.2 (1) [2]. Z obrázku níže je zřejmé, že ačkoli je smyková síla posuzována v místě svého extrému (kde nevznikají trhliny), nemusí to nutně zajistit, že bude přenesena&nbsppo celé délce nosníku. Je to způsobeno změnou způsobu výpočtu smykové únosnosti betonu. Na straně bezpečnosti lze samozřejmě smykovou únosnost uvažovat podle článku 6.2.2 (1) [2] také v místech, kde trhliny nevzniknou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

K výrazu pro V_Rd, c  podle článku 6.2.2 (2)[2] je třeba také poznamenat, že by se v obecném případě mělo vycházet z posouzení ve vlákně s extrémním hlavním tahovým napětím v betonu v oblasti normálových tlakových napětí, nikoli však v těžišti průřezu. V tomto místě je nutné vypočítat průřezové charakteristiky (S a b_W). Pro stanovení maximálního hlavního napětí s₁ v programu IDEA RCS vedeme těžištěm přímku ve směru výslednice smykových sil. Tuto přímku rozdělíme na 20 úseků. Na této přímce dále uvažujeme charakteristické body (body polygonu průřezu, těžiště, neutrální osu). V těchto bodech vypočítáme S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  V bodě maximálního hlavního tahového napětí vypočítáme smykovou únosnost.

Smyková síla před aplikací redukčního součinitele b požadovaného článkem 6.2.2 (6) musí splňovat dodatečnou podmínku

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

kde 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  kde f_ck je v MPa

Smyková únosnost prvků bez vyztužení nebo slabě vyztužených (čl. 12.6.3 [2])

Smykovou únosnost prostého nebo slabě vyztuženého betonu lze určit z výrazu

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

Kde

τ_cp nahradíme výrazem

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

nebo

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

Dílčí hodnoty použité ve výše uvedeném vztahu jsou dány vztahem:

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

kde  

f_cd,pl     návrhová pevnost v tlaku prostého nebo slabě vyztuženého betonu,

f_ctd,pl    návrhová pevnost v osovém tahu prostého nebo slabě vyztuženého betonu,

f_cvd       návrhová smyková únosnost při tlaku v betonu.

Únosnost prvků se smykovým vyztužením (čl. 6.2.3 [2])

Výpočet únosnosti železobetonových prvků se smykovým vyztužením je založen na metodě příhradové analogie s diagonálami o proměnném sklonu. Základem této metody je rovnováha sil v trojúhelníku určeném silou ve vzpěře (diagonále), silou ve smykovém vyztužení (třmínku) a silou v podélném vyztužení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

Průřez namáhaný smykem je porušen trhlinami pod úhlem θ, z tohoto důvodu smykové síle odolává betonová diagonála se stejným sklonem. Tlakovou sílu v diagonále lze vyjádřit jako V_ed/sinθ. Tato síla musí být přenesena betonovou plochou kolmou na tlakovou diagonálu b_wzcosθ. Napětí betonu v tlakové diagonále je pak rovno:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

Dosazením $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  a $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ a vyjádřením $${{V}_{Rd,max}}$$ získáme rovnici pro smykovou únosnost diagonály:

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

K zachycení svislé složky síly v tlakové diagonále slouží smykové vyztužení. Velikost svislé síly vychází z tlakového napětí v diagonále v ploše betonu, která odpovídá jednomu třmínku - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Mezní síla ve třmínku je dána vztahem \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Po dosazení σ_c a porovnání s mezní silou ve vyztužení získáme po úpravách:

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

Vyjádřením V_ed jako V_RDs pak získáme únosnost průřezu se svislým smykovým vyztužením:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

Podélná smyková síla je přenášena podélným vyztužením a lze ji určit jako V_edcotgθ . Odvození uvedených vztahů lze nalézt v [4].

V programu IDEA RCS lze posuzovat pouze prvky se svislým smykovým vyztužením. Obecně lze použít následující rovnice:

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

Kde  

A_sw      je plocha průřezu smykového vyztužení,

s           je osová vzdálenost třmínků,

f_ywd      je návrhová mez kluzu smykového vyztužení,

b_w        je minimální šířka mezi tahovým a tlačeným pásem. Pro výpočet únosnosti V_Rd,max se hodnota šířky průřezu musí snížit na tzv. jmenovitou šířku průřezu v případě, že je průřez oslaben kabelovými kanálky

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pro injektované kovové kanálky

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pro neinjektované kovové kanálky           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       je součinitel zohledňující stav napětí v tlačeném pásu.

Tab. 1‑1 Stanovení součinitele α_cw

Úhel θ je úhel mezi betonovou tlakovou vzpěrou a osou nosníku kolmou na smykovou sílu. Mezní hodnoty cotθ pro použití v dané zemi lze nalézt v jejím národním dodatku. Doporučené meze jsou dány výrazem:

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

Volba velikosti úhlu θ může ovlivnit hodnoty únosností. Závislost únosností je patrná na obrázku 1.15. Z obrázku je zřejmé, že se vzrůstajícím úhlem θ únosnost V_Rd,max  roste a únosnost V_Rd,s klesá. Únosnost V_Rd,c je konstantní, protože nevychází z metody příhradové analogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

Výpočet průřezových charakteristik pro smyk

Pro výpočet smyku je důležité vypočítat průřezové veličiny ovlivňující smykovou únosnost. Mezi tyto veličiny patří zejména šířka průřezu přenášející smyk b_w, účinná výška d a rameno vnitřních sil z. Norma [2] uvádí tyto hodnoty ve vazbě na skutečné ohybové namáhání. Problém však nastává při určování těchto hodnot, pokud se směr výslednice ohybových momentů (přesněji směr výslednice únosnosti průřezu) výrazně liší od směru výslednice smykových sil. V tomto případě norma EC2 neposkytuje žádná doporučení.

Šířka průřezu přenášející smyk b_w

Program IDEA RCS vypočítá šířku průřezu přenášející smyk ve směru kolmém na výslednici smykových sil. V závislosti na článku Eurokódu se tato šířka určí jako:
-  nejmenší šířka průřezu mezi výslednicí tlačeného betonu a tažené výztuže ve směru kolmém na výslednici smykových sil pro články 6.2.2 (a) a 6.2.3 (1)
- šířka průřezu ve směru kolmém na výslednici smykových sil v posuzovaném bodě podle článku 6.2.2 (2)

Účinná výška průřezu

Účinná výška se obvykle definuje jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna od těžiště výztuže. Protože přímo souvisí s ohybem, je tato vzdálenost dána jako kolmý průmět na těžištní přímku roviny přetvoření. 

Tuto definici lze upřesnit tak, že místo těžiště tažené výztuže se použije poloha výslednice sil ve výztuži. Při vývoji programu IDEA RCS bylo řešeno to, jak definovat účinnou výšku průřezu, pro který rovina ohybového zatížení neodpovídá směru výslednice smykových sil. Účinná výška je proto definována jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna  od výslednice sil v tažené výztuži  (na základě ohybového namáhání) ve směru výslednice smykových sil, viz obrázek 1.17.

Výjimečné případy nastanou, pokud nelze určit tlačené vlákno nebo výslednici v tažené výztuži. V takovém případě doporučujeme použít hodnotu 0.9 h (90 % výšky průřezu ve směru výslednice smykových sil). Tuto hodnotu může uživatel v programu IDEA RCS definovat v nastavení proměnných normy.

Rameno vnitřních sil

Rameno vnitřních sil je uvedeno v článku 6.2.3 (3) [2] a je definováno jako „vzdálenost mezi tahovým a tlačeným pásem“.  Norma nedefinuje, jak postupovat, pokud se rovina působícího ohybového momentu liší od směru výslednice smykových sil. Proto stejně jako v případě účinné výšky definujeme tuto vzdálenost ve směru výslednice smykových sil. I zde se můžeme setkat s podobnými výjimečnými případy, například když je celý průřez tlačený apod. V tomto případě uvažujeme hodnotu 0.9 d (90 % účinné výšky průřezu). Tuto hodnotu může uživatel nastavit v programu IDEA RCS v nastavení proměnných normy.

Závislost mezi sklonem roviny ohybu a výslednicí smykové síly je zřetelně patrná na obrázcích 1.18 a 1.19. Se zvětšujícím se sklonem se hodnoty účinné výšky, ramen vnitřních sil a s nimi související únosnosti snižují. Mezním stavem je 90°. Pro takový sklon nelze rameno vnitřních sil vypočítat, rameno je proto rovno nule. V tomto případě se uvažuje hodnota zadaná v nastavení proměnných normy. Proto dochází na konci grafu ke skoku. Tato studie dokládá, že doporučené maximum sklonu je přibližně 20°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

V rámci testování aplikace RCS byla provedena studie závislosti smykové únosnosti na změně normálové síly. Únosnost V_Rd,max je ovlivněna pouze součinitelem α_cw, viz obr. 1.20. Obr. 1.21 ukazuje konstantní hodnotu únosnosti V_Rds. U únosnosti V_Rdc způsobuje nárůst normálové síly její pokles. Modrá křivka na obr. 1.21 znázorňuje únosnost V_Rdc bez uvažování vlivu trhlin a byla vypočtena podle vztahu v článku 6.2.2 (1) [2]. Skok při přechodu mezi tlakem a tahem je způsoben započtením tažené výztuže. Červená křivka je vypočtena podle vztahu v článku 6.2.2 (2) [2]. Po vzniku první trhliny je křivka závislosti stejná jako pro článek 6.2.2 (1) [2].

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$

Předpoklady výpočtu

Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze rozdělit do dvou kategorií - před a po okamžiku, kdy lze poprvé očekávat vznik trhlin. Před vznikem trhliny se průřez chová jako pružný materiál. Napětí od kroucení lze vyjádřit vztahem   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

kde W_t je modul průřezu v kroucení.

Trhliny v nevyztuženém prvku způsobené hlavním tahovým napětím od kroucení jsou rovněž mezním stavem únosnosti. Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze popsat na základě tenkostěnného uzavřeného průřezu, viz obr. níže. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Postup výpočtu

Postup posouzení železobetonového průřezu na kroucení je velmi podobný posouzení na smyk. Nejprve posoudíme únosnost betonu. Pokud posouzení betonu vyhoví, lze vyztužení navrhnout podle konstrukčních zásad. V opačném případě je nutné výpočtem ověřit vyztužení a únosnost tlačených diagonál.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Únosnost

Smykový tok ve stěně tenkostěnného průřezu při kroucení lze vyjádřit jako:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Smykovou sílu ve stěně tenkostěnného průřezu lze vyjádřit jako:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Kde 

τ          je smykový tok ve stěně,

t_ef         je účinná tloušťka stěny,

z           je délka strany stěny,

T_Ed       je krouticí moment,

A_k        je plocha ohraničená střednicemi navazujících stěn, včetně vnitřních dutin.

Moment na mezi vzniku trhlin při kroucení lze určit dosazením f_ctd do předchozího vztahu. Tak získáme vztah pro únosnost v kroucení bez výztuže pro kroucení.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

kde  f_ctd       je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

Únosnost prvku s výztuží pro kroucení se skládá z únosnosti tlačených betonových diagonál, která je opět založena na metodě příhradové analogie. Tlakové napětí v diagonále lze vyjádřit pomocí smykové síly ve stěně tenkostěnného průřezu na uvažované ploše stěny, tj.

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Dosazením  σ_c=σ_cwf_cd a T_Ed=T_Rd,max a vyjádřením T_Rd,max získáme rovnici pro únosnost tlačené diagonály

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

kde  

ν          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa

α_cw       je součinitel zohledňující stav napětí v tlačeném pásu

f_cd        je návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku

Únosnost smykové výztuže namáhané kroucením je opět založena na napětí v tlačené diagonále. Síla ve třmínku je rovna napětí v tlačené diagonále na ploše, která odpovídá příslušné řadě třmínků, tj.

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Dosazením  T_Ed=T_Rd,s a vyjádřením T_Rd,s  získáme rovnici:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Je-li známo množství podélné a smykové výztuže, můžeme úhel θ určit ze vztahu

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Dosazením do T_Rd,s získáme

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Kde

A_sw      je plocha smykové výztuže

s           je osová vzdálenost třmínků smykové výztuže

f_ywd      je účinná návrhová pevnost smykové výztuže

A_sl       je plocha podélné výztuže

u_k         je vnější obvod průřezu

f_ywd      je účinná návrhová pevnost podélné výztuže

Sílu v podélné výztuži lze odvodit ze smykové síly ve stěně průřezu namáhaného čistým krouticím momentem, která je dána vztahem:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Tato síla se transformuje do podélného směru a získáme:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

Přípustný rozsah hodnot úhlu θ je podobný jako při posouzení na smyk, tj. 1 < cot θ < 2,5. Závislost mezi jednotlivými únosnostmi je zobrazena na obr. níže. Diagram ukazuje, že se zvětšujícím se úhlem θ  únosnost T_Rd,max roste,  únosnost T_Rd.s klesá a únosnost T_Rd,c je konstantní, protože není založena na metodě příhradové analogie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Výpočet charakteristik průřezu pro kroucení

Pro posouzení průřezu na kroucení je nutné stanovit tzv. ekvivalentní tenkostěnný uzavřený průřez. Při určování rozměrů ekvivalentního tenkostěnného průřezu se předpokládá obdélníkový tvar. Pro skutečnou plochu obdélníku platí A = b×h a pro obvod obdélníku u =2 (b +h). Pomocí těchto dvou rovnic lze získat náhradní tenký obdélníkový tvar se stejnou plochou a obvodem jako původní průřez. Řešením dvou rovnic o dvou neznámých získáme:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

Tloušťku stěny ekvivalentního průřezu lze určit z obvodu a plochy průřezu jako:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Plocha a obvod definované střednicí ekvivalentního průřezu pak jsou:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

Problém této metody nastává u průřezu tvaru T se širokou deskou, kdy se pro výpočet rozměrů použije celková plocha a obvod (včetně této desky). V budoucích verzích programu IDEA RCS bude umožněn výběr nejmasivnější části průřezu, která bude použita pro posouzení na kroucení.

Interakce smykové síly a kroucení pro smykové vyztužení

Stanovení síly ve smykovém vyztužení od smykové síly. 

Výpočet vychází ze vztahu pro únosnost smykového vyztužení definovaného v EN 1992-1-1. Z rovnice 6.13 (kap. 6.2.3 (4)) lze odvodit únosnost jedné větve třmínku takto:

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . plocha průřezu jedné větve třmínku přenášející smyk v uvažovaném řezu

s .  .  .  .  . osová vzdálenost smykového vyztužení ve směru podélné osy prvku 

a_sw,V .  .  . plocha průřezu smykového vyztužení na jednotku délky

z .  .  .  .  . rameno vnitřních sil. Pro prvek s konstantní výškou odpovídá ohybovému momentu v posuzovaném prvku. Při smykovém posouzení železobetonu bez osové síly lze obvykle použít přibližnou hodnotu z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  návrhová mez kluzu smykového vyztužení

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou betonovou vzpěrou a osou prvku kolmou na smykovou sílu

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku kolmou na smykovou sílu

β .  .  .  .  . sklon větve třmínku vzhledem k výslednici působící smykové síly

Smyková síla se rovnoměrně rozdělí mezi jednotlivé pruty vyztužení přenášející smyk. Rozdělení vychází ze sklonu vyztužení a osové tuhosti jednotlivých větví třmínků.

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

Dále lze odvodit průměrné přetvoření vyztužení ve směru výslednice smykové síly:

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

Skutečné přetvoření i-tého vyztužení lze vypočítat jako:

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

Napětí v dané větvi vyztužení:

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

Stanovení síly v jednotlivém třmínku od kroucení

Únosnost průřezu v kroucení lze vypočítat na základě uzavřeného tenkostěnného průřezu, v němž je rovnováha zajištěna uzavřeným smykovým tokem. Plné průřezy lze modelovat ekvivalentními tenkostěnnými průřezy. U neplných průřezů nesmí ekvivalentní tloušťka stěny překročit skutečnou tloušťku stěny.

Smykový tok ve stěnách uzavřeného tenkostěnného průřezu od kroucení lze vypočítat jako:

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

Smyková síla v konkrétní stěně je pak:

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . délka střednice uvažované stěny

Smyková síla ve stojině – délku střednice stojiny lze nahradit hodnotou ramene vnitřních sil „z“.

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

Síla ve třmíncích přenášejících kroucení na jeden metr délky prvku (na jednotku délky):

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

Rozklad sil pro jednotlivé třmínky

Pokud je pro všechny třmínky definován stejný materiál, je výsledné napětí od kroucení v každé větvi třmínku konstantní. Pak platí:

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

kde a_sw,T je celková plocha třmínků přenášejících kroucení na jednotku délky.

Pokud mají jednotlivé třmínky různé materiály, je nutné zohlednit osovou tuhost jednotlivých prutů.

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . počet větví vyztužení (skupin vyztužení) přenášejících kroucení

F_si,T .  .  . síla v i-té skupině vyztužení od kroucení na jednotku délky

a_si,T .  .  . plocha průřezu smykového vyztužení přenášejícího kroucení na jednotku délky 

E_si,T .  .  . Youngův modul pružnosti i-té skupiny vyztužení přenášejícího kroucení

ε_sw,T .  .  přetvoření ve vyztužení od kroucení

Výsledné napětí v každém třmínku od působícího kroucení se vypočítá jako:

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

Interakce V+T

Napětí ve třmíncích od smyku a kroucení se pak vypočítá jako součet napětí od jednotlivých složek zatížení.  

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

Výsledná síla v i-tém vyztužení:

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

Interakce smyku, kroucení a ohybu pro podélné vyztužení

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od normálové síly a ohybového momentu

Aplikace RCS se používá k výpočtu odezvy průřezu na kombinaci normálové síly a ohybového momentu. Určuje se tak napětí a přetvoření v jednotlivých podélných prutech a předpínací výztuži.

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od smykové síly

Přírůstek tahové síly v podélném vyztužení ΔF_td od smykové síly závisí na geometrii modelu vzpěra-táhlo. 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  přírůstek tahové síly v podélném vyztužení od smykové síly

V_ed .  .  .  . návrhová hodnota smykové síly působící v uvažovaném řezu

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou betonovou vzpěrou a osou prvku 

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku

Pro podélné vyztužení umístěné v taženém pásu se výsledná síla F_t v podélném vyztužení od kombinace N+M+V uvažuje nejvýše M_Ed,max/z (kde M_Ed,max je maximální moment po délce nosníku).

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

Sílu ΔF_td přenášejí všechny kabely předpětí se soudržností a vyztužení umístěné v části průřezu, která přenáší smyk (u profilu I jde o stojinu). Na straně bezpečné lze příspěvek předpínací výztuže uvažovat jako nulový. Výpočet předpokládá, že přírůstek osového přetvoření jednotlivého podélného vyztužení přenášejícího smyk je konstantní (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu s nakloněnou větví je nutné výpočet upravit.

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . přírůstek přetvoření vpodélném vyztužení od smykové síly

n_s,V .  .  .  . počet podélných prutů vyztužení přenášejících smykovou sílu

A_sl,i,V .  .  . plocha i-tého podélného vyztužení přenášejícího smykovou sílu

E_sl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého podélného vyztužení přenášejícího smykovou sílu

n_p,V .  .  .  . počet kabelů přenášejících smykovou sílu

A_pl,i,V .  .  . plocha i-tého kabelu přenášejícího smykovou sílu

E_pl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého kabelu přenášejícího smykovou sílu

Po stanovení hodnoty síly ΔF_td lze vypočítat průměrné přetvoření vyztužení Δε_V.

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

Přírůstek napětí v jednotlivých podélných prutech od působící smykové síly:

pro betonářskou výztuž $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

pro kabel předpětí $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od kroucení

Je velmi důležité určit podélné vyztužení, které přenáší kroucení. Jedná se o vyztužení umístěné v náhradním účinném tenkostěnném průřezu přenášejícím kroucení.

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Podle EN 1992-1-1 musí být pro podélné vyztužení přenášející kroucení splněno několik podmínek:

- vyztužení má být rovnoměrně rozloženo po délce z_i, u malých průřezů však může být soustředěno v rozích třmínku

- maximální osová vzdálenost podélného vyztužení je 350 mm

Příspěvek předpínací výztuže se podle EN 1992-1-1 neuvažuje.

Norma EN 1992-2 uvádí, že příspěvek předpínací výztuže lze uvažovat, přičemž maximální přírůstek napětí v předpínací výztuži nesmí překročit Δσ_p ≤ 500MPa. Vztah pak lze upravit takto:

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

Přírůstek napětí v předpínací výztuži však lze uvažovat, ale záleží to na volbě uživatele. V současnosti se předpínací výztuž ve výpočtu neuvažuje. 

Výpočet předpokládá, že přírůstek osového přetvoření každého podélného vyztužení přenášejícího smyk je konstantní (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu s rostoucí větví je nutné výpočet upravit.

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . návrhová hodnota kroutícího momentu působícího v uvažovaném řezu

θ .  .  .  .  . sklon tlakových diagonál vzhledem k podélné ose nosníku (shodný jako pro smykovou sílu)

u_k .  .  .  .  obvod plochy A_k

A_f .  .  .  .  plocha vymezená střednicí náhradního dutého tenkostěnného průřezu

n_s,T .  .  .  .počet podélných prutů betonářské výztuže přenášejících kroutící moment

A_sl,i,T .  .  . plocha i-tého podélného prutu betonářské výztuže přenášejícího kroutící moment

Δε_T .  .  .  .změna přetvoření podélného vyztužení od kroutícího momentu

Δσ_s,i,T .  .  změna napětí v i-tém podélném vyztužení od kroutícího momentu

E_sl,i,T .  .  . modul pružnosti i-tého podélného prutu betonářské výztuže přenášejícího kroutící moment

Přírůstek napětí v každém podélném vyztužení od působícího kroutícího momentu:

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$

Posouzení vychází z obecných předpokladů, kde se řeší dva stavy průřezu: průřez bez trhlin (tahová pevnost betonu se neignoruje) a průřez s plně rozvinutými trhlinami (tahová pevnost betonu se ignoruje). Řešení se zanedbanou tahovou pevností betonu se uvažuje podle předpokladů článku 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Při výpočtu napětí a průhybů se uvažuje průřez bez trhlin, pokud tahové napětí od ohybu nepřekročí f_ct, eff. Hodnotu f_ct, eff lze uvažovat jako f_ctm nebo f_ctm,fl. Hodnota f_ctm se používá při výpočtu šířky trhlin a tahového zpevnění.

V rámci tohoto posouzení řešíme čtyři základní případy z hlediska omezení napětí.

• 7.2 (2) Tlakové napětí v prvcích vystavených prostředí tříd expozice XD, XF a XS by mělo být omezeno:

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{1}}=0,6$$

• 7.2 (3) Napětí v betonu při kvazistálém zatížení je omezeno:

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{2}}=0,45$$

• 7.2 (5) Tahová napětí ve vyztužení při charakteristické kombinaci zatížení musí být omezena:

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{3}}=0,8$$

• 7.2 (5) Pokud je napětí způsobeno vynuceným přetvořením, tahové napětí by nemělo překročit:

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{4}}=1$$

Hodnoty k₁, k₂, k₃, k₄ pro použití v dané zemi lze nalézt v její národní příloze. Doporučené hodnoty jsou 0,8; 1 a 0,75, charakteristická mez kluzu vyztužení, f_ck charakteristická válcová pevnost f_ck stanovená po 28 dnech.

Vznik trhlin

Charakteristickým rysem železobetonových konstrukcí namáhaných ohybem nebo tahem je vznik trhlin v místech, kde tahové napětí v betonu překročí pevnost betonu v tahu. Pro trvanlivost konstrukce i pro její estetický vzhled je důležité zajistit, aby vzniklé trhliny byly co nejmenší. Výpočet šířek trhlin i maximální přípustné šířky pro jednotlivé třídy prostředí jsou uvedeny v EN 1992-1-1, kapitola 7.3.

V prvním kroku výpočtu se určí, zda je průřez s trhlinami, nebo bez trhlin. Šířka trhliny se vždy počítá z kvazistálé nebo častné kombinace zatížení (podle národní přílohy), ale vznik trhlin je nutné posoudit ze všech předepsaných kombinací MSP. Mohou tedy nastat dva případy:

• Maximální tahové napětí v betonových vláknech nepřekročí pevnost betonu v tahu při žádné kombinaci zatížení (kvazistálé M_E,qp, častné M_E,fr nebo charakteristické M_E,k), a proto uvažujeme průřez bez trhlin.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Pokud vzniknou trhliny při některé z kombinací (kvazistálé, častné nebo charakteristické), tj. ohybový moment od uvažované kombinace zatížení je větší než kritický moment M_cr, je průřez od této kombinace zatížení s trhlinami a je nutné vypočítat charakteristiky průřezu s trhlinami a šířku trhliny.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   ohybový moment získaný z některé kombinace zatížení pro MSP. Může to tedy být M_E,qp, M_E,fr nebo M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  pevnost betonu v tahu v uvažovaném čase. Pokud je beton starší než 28 dní, uvažujeme pevnost rovnou f_ctm.

Výpočet šířky trhlin

U prvku zatíženého ohybem se vznik trhlin dělí na 2 jevy:

• Fáze vzniku trhlin (stadium č. 2 na obr. 1)
• Stabilizovaný vývoj trhlin (stadium č. 3 na obr. 1)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 1  Stadia chování železobetonového průřezu při zatěžování}}}$$

Fáze vzniku trhlin

Jedná se o počáteční část procesu, kdy se postupně objevují jednotlivé trhliny, dokud není celá tažená část prvku zasažena trhlinami, které jsou přibližně rovnoměrně rozloženy po délce prvku. První trhlina vznikne, když síla v taženém pásu překročí hodnotu kritické síly N_r (kritická tahová síla, viz níže), a další trhliny se vyvíjejí až do úrovně zatížení, při které je síla v taženém pásu přibližně 1,3N_cr (stadium č. 2 na obr. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 2  Přetvoření betonu a vyztužení v okamžiku vzniku první trhliny}}}$$

Vznikající trhliny se dělí na 2 typy – primární a sekundární trhliny. Primární trhliny vznikají v tažených vláknech při dosažení účinné pevnosti betonu v tahu (f_ct,eff). Primární trhliny představují první obraz trhlin (obr. 2). Mezi primárními trhlinami pak vznikají kratší sekundární trhliny (obr. 3). Při napětích odpovídajících přibližně 1,2 až 1,5 σ_sr (obvykle se uvažuje střední hodnota 1,3 σ_sr, kde σ_sr je napětí ve vyztužení při vzniku primárních trhlin v tažené oblasti betonu) se vývoj sekundárních trhlin rovněž dokončí.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 3  Primární a sekundární trhliny}}}$$

Šířku trhliny ve fázi vzniku trhlin lze vypočítat takto:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 4  Charakteristiky přenášecí délky pro první trhlinu}}}$$

Stabilizované stadium trhlin

Po překročení přibližně 1,3násobku kritické síly v tažené oblasti už nevznikají nové trhliny, počet trhlin v prvku se stabilizuje a s dalším zatěžováním se zvětšuje pouze šířka stávajících trhlin (stadium č. 3 na obr. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 5  Přetvoření betonu a vyztužení ve stabilizovaném stadiu trhlin}}}$$

Šířku trhliny při stabilizovaném vývoji lze vypočítat jako:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 6  Stabilizované trhliny}}}$$

Kritická tahová síla

Výpočet vychází z modelu taženého pásu (Tension Chord Model, TCM). Základním předpokladem je výpočet mezní únosnosti železobetonového pásu tvořeného výztužným prutem o ploše A_s,eff, který je obklopen účinnou plochou taženého betonu A_c,eff, jež je schopna přenášet tahové napětí, dokud není překročena pevnost v tahu f_ct,eff (běžně uvažujeme f_ctm). Za předpokladu dokonalé soudržnosti mezi vyztužením a betonem můžeme uvažovat, že do vzniku první trhliny je přetvoření vyztužení a okolního betonu shodné. Poté lze určit maximální sílu v taženém pásu těsně před vznikem první trhliny N_r:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Zavedením substituce

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

získáme:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Bezprostředně po vzniku první trhliny je celá síla N_r přenášena vyztužením, a napětí ve vyztužení procházejícím právě vzniklou trhlinou lze tedy vypočítat jako:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Výpočet šířky trhlin podle EC 1992-1-1

K výpočtu šířky trhlin na železobetonových prvcích se používá následující rovnice:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   maximální vzdálenost trhlin

ε_sm  .   .   .   .   průměrné přetvoření vyztužení od kombinace zatížení, včetně vlivu tahového zpevnění.

ε_cm  .   .   .   .   průměrné přetvoření betonu mezi trhlinami

Výpočet rozdílu přetvoření

Rozdíl přetvoření vyztužení a betonu mezi trhlinami lze získat z rovnice:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   napětí ve vyztužení v trhlině od uvažované kombinace zatížení

k_t      .   .   .   .   empirický součinitel zohledňující průměrné přetvoření v závislosti na době trvání zatížení. Pro krátkodobý výpočet může nabývat hodnoty 0,6. Při dlouhodobém výpočtu se uvažuje snížení tuhosti složeného průřezu na přibližně 70 %, proto je jeho hodnota 0,4, která zahrnuje míru časové degradace soudržnosti mezi vyztužením a betonem.

α_e     .   .   .   . účinný poměr modulů pružnosti

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   účinný stupeň vyztužení

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   účinná plocha taženého betonu obklopujícího vyztužení (určení A_c,eff viz níže)

A_s,_eff .   .   .   .   plocha soudržného vyztužení nacházejícího se v oblasti A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   plocha kabelů s předpětím nebo s dodatečným předpětím v oblasti A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   upravený poměr pevnosti soudržnosti, který zohledňuje různé průměry předpínací a betonářské oceli:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . poměr pevnosti soudržnosti předpínací a betonářské oceli (tabulka 6.2)

ϕ_s   .   .  největší průměr prutu betonářské oceli

ϕ_p   .   .  průměr nebo ekvivalentní průměr předpínací oceli

U svazků je A_p plocha vyztužení v kabelu

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

Pro jednotlivá sedmidrátová lana, kde φ_wire je průměr drátu

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Pro jednotlivá třídrátová lana, kde φ_wire je průměr drátu

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Pokud se k omezení vzniku trhlin používá pouze předpínací vyztužení, je nutné uvažovat následující.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

U předpjatých prvků není minimální plocha soudržného vyztužení vyžadována, pokud při charakteristické kombinaci zatížení a charakteristické hodnotě předpínací síly není tahové napětí v žádném vlákně větší než pevnost betonu v tahu f_ct,eff. (podrobnosti viz EN 1992-1-1, kap. 7.3.2)

Účinná plocha taženého betonu

Důležitým, a zároveň nejsložitějším krokem výpočtu je určení účinné plochy taženého betonu obklopujícího vyztužení. Eurokód i Model Code uvažují jednoduché způsoby zatížení, kdy je železobetonový prvek zatížen jednoosým ohybem nebo tahem. Hodnota účinné výšky se určí jako:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 6  Určení Ac,eff pro ohýbané prvky (vlevo) a tažené prvky (vpravo)}}}$$

Obvykle je rozhodující hodnota h_c,eff = 2,5(h-d). U tažených prvků je horní mez h/2, zatímco u ohýbaných prvků je to (h-x)/3. Plocha A_c,eff je však omezena také šířkou určenou z rovnice 5(c+ϕ/2). Pokud je osová vzdálenost vyztužení větší než 5(c+ϕ/2), uvažuje se pro jednotlivé pruty účinná plocha taženého betonu o šířce 5(c+ϕ/2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 9  Určení Ac,eff na základě osové vzdálenosti vyztužení}}}$$

Maximální vzdálenost trhlin

Při výpočtu maximální vzdálenosti trhlin s_r,max mohou nastat dva případy:

• Osová vzdálenost soudržného vyztužení nepřekročí hodnotu 5(c+ϕ/2) – obr. 9a
• Osová vzdálenost soudržného vyztužení je větší než 5(c+ϕ/2) – obr. 9b

Maximální vzdálenost trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti vyztužení nepřekročí hodnotu 5(c+ϕ/2), je definována takto:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   hodnota krytí betonu v mm. Protože krytí okrajového vyztužení může být k vodorovným a svislým okrajům různé, doporučuje se uvažovat největší hodnotu krytí zjištěnou pro posuzované vyztužení.

ϕ     .   .   .   .   průměr soudržného vyztužení. V případě různých průměrů vyztužení se ekvivalentní průměr vypočítá podle rovnice 7.12 v EN 1992-1-1.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . součinitel zohledňující soudržnostní vlastnosti soudržného vyztužení

• k₁ = 0,8 pro pruty s vysokou soudržností
• k₁ = 1,6 pro pruty s prakticky hladkým povrchem (např. předpínací kabely)

k₂ .   .   .   . součinitel zohledňující rozdělení přetvoření

• k₂ = 1,0 pro ohyb
• k₂ = 0,5 pro čistý tah

Pro případy excentrického tahu nebo pro lokální oblasti je třeba použít mezilehlé hodnoty k₂, které lze vypočítat ze vztahu:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  součinitel vyjadřující délku oblasti v blízkosti trhliny, kde je narušena soudržnost mezi betonem a vyztužením. Doporučená hodnota základního součinitele podle EC k₃ = 3,4 může být upravena národní přílohou. 

k₄      .   .   .   .   součinitel vyjadřující vztah mezi soudržností a pevností betonu v tahu. Doporučená hodnota základního součinitele podle EC k4 = 0,425 může být upravena národní přílohou.

Maximální vzdálenost trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti vyztužení překročí hodnotu 5(c+ϕ/2), je definována takto:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Hodnoty maximální vzdálenosti trhlin podle rovnice

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

by měly být vždy větší než hodnoty určené z rovnice

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

v opačném případě se doporučuje uvažovat větší vzdálenost získanou z výše uvedených rovnic. Rovnice pro přetvoření betonu a vyztužení se pro případ velké osové vzdálenosti vyztužení neupravuje. V oblastech s regulovanou šířkou trhlin by osová vzdálenost jednotlivých vyztužení neměla být větší než 5(c+ϕ/2).

Výpočet šířky trhlin implementovaný v RCS

Určení účinné plochy A_c,eff

Protože není zcela jednoznačné určit, které vyztužení lze považovat za podélné vyztužení omezující trhliny, určuje se A_c,eff pomocí následujícího iteračního postupu.

• Ze všeho taženého vyztužení se určí těžiště tahových sil C_g,s,1. Účinná výška vyztužení d je vzdálenost mezi C_g,s a nejvíce tlačeným vláknem betonu, měřená ve směru výsledného ohybového momentu. Současně se určí poloha neutrální osy a výška tlačené oblasti x pro průřez s trhlinami. Tím lze určit účinnou výšku h_c,eff:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• Vyloučením veškerého vyztužení, které leží mimo A_c,eff,1, se určí nové těžiště vyztužení C_g,s,2 spolu s novou účinnou výškou vyztužení d. Účinná výška h_c,eff se určí stejným způsobem jako v předchozím kroku, pouze se změněnými vstupními hodnotami.

Opět se ověří, zda veškeré uvažované tažené vyztužení leží v A_c,eff,2. Je-li tato podmínka splněna, lze iteraci ukončit a hodnoty h_c,eff,2, A_c,eff,2 a A_s,eff,2 se zobrazí jako výsledné hodnoty v IDEA StatiCa RCS.

Možné případy výpočtu šířky trhlin

Obecně mohou při výpočtu šířek trhlin nastat tři případy:

• Tažené vyztužení leží v oblasti A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých vyztužení je menší než 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak použijí následující vztahy:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Tažené vyztužení leží v A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých vyztužení překračuje hodnotu 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak použijí následující vztahy:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• Tažené vyztužení neleží v A_c,eff (příčinou může být například velké krytí). 

V tomto případě by nebylo možné šířku trhlin vypočítat. Výpočet účinné výšky h_c,eff se proto upraví takto:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Současně se zobrazí následující nesplnění požadavků:

Účinná plocha taženého betonu obklopujícího vyztužení nebo předpínací kabely o výšce h_c,eff, kde h_c,eff je menší z hodnot 2,5(h – d) nebo h/2. Při uvažování hodnoty (h – x)/3 leží vyztužení mimo účinnou plochu taženého betonu, a proto by nebylo možné vypočítat šířku trhlin podle článku 7.3.4.

Diagram N-M-κ znázorňuje křivost prvku (ohybovou tuhost) jako funkci působícího ohybového momentu a normálové síly. Existují tři typy diagramů N-M-κ:
- krátkodobý,
- dlouhodobý
- MSÚ.
Tyto diagramy se liší typy diagramů napětí-přetvoření použitými pro výpočet (vysvětleno níže).

K určení diagramu N-M-κ se používá výpočet tuhosti pro vybrané charakteristické stavy průřezu. Obecně může jít o jakýkoli stav průřezu, pro který se vypočte odezva a z níž se odvodí ohybová tuhost a křivost. V IDEA RCS uvažujeme čtyři charakteristické body (M_r, M_c, M_s a M_u)

M_r - moment na mezi vzniku trhlin 

Průřez je zatížen uživatelem zadanou normálovou silou a rovina přetvoření se začne natáčet (ve směru zadaného ohybového momentu), dokud není v některém vlákně betonu dosaženo mezní pevnosti betonu v tahu (pro třídu betonu C30/37 je to f_ctm = 2,896 MPa). Pro výpočet se pro vyztužení i beton používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví.

M_c - ohybový moment, při kterém je dosaženo pevnosti betonu v tlaku

Z předchozího kroku se určí nejvíce využité tlačené vlákno betonu. Pro toto vlákno se nastaví přetvoření při mezní pevnosti betonu (f_ck/E_cm pro krátkodobý diagram, f_ck/E_ceff pro dlouhodobý diagram a f_cd/E_cm pro diagram MSÚ). Na základě zadané normálové síly a směru ohybového momentu se iteračním postupem hledá rovina přetvoření, při které je odezva průřezu v rovnováze se zadanou normálovou silou.  Pro výpočet se pro vyztužení i beton používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví.

M_s - ohybový moment, při kterém je dosaženo meze kluzu v nejvíce využitém výztužném prutu

Dalším charakteristickým bodem diagramu N-M-κ je stav napětí v průřezu, při kterém je dosaženo meze kluzu v nejvíce využitém výztužném prutu (přetvoření prutu výztuže se rovná f_yk/E_s pro krátkodobý a dlouhodobý diagram, f_yd/E_s pro diagram MSÚ). Iterační postup nalezne rovnováhu normálových sil v průřezu natáčením roviny přetvoření kolem bodu určeného polohou nejvíce využitého výztužného prutu. Pro výpočet se pro vyztužení i beton používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví.

M_u - ohybový moment v mezním stavu únosnosti

Jedná se o mezní únosnost průřezu v ohybu, když je průřez zatížen zadanou návrhovou normálovou silou N_ed. Při výpočtu únosnosti průřezu se předpokládá, že je dosaženo pevnosti v tlaku v nejvíce využitém vlákně betonu a pevnosti v tahu v nejvíce využitém výztužném prutu (maximální přetvoření betonu ε_cu = 0,1 a vyztužení ε_s,max = 0,5. Pro výpočet se pro vyztužení používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví a pro beton parabolicko-rektangulární diagram.

Výsledná tuhost a křivost pro uživatelem zadanou kombinaci normálové síly a ohybového momentu ( Md) se pak vypočtou lineární interpolací mezi jednotlivými charakteristickými body diagramu N-M-κ.

Výpočet tuhostí a křivostí

Tuhosti a křivosti pro každý stav napětí v průřezu (M_r, M_c, M_s nebo M_u) se vypočtou přímo z natočení roviny přetvoření. 

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}$$

E_Ax .   .    osová tuhost prvku

N . .   .   . zadaná normálová síla

ε_x .   .   .  osové přetvoření v těžišti betonového průřezu

$$E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }$$

E_Iy .   .   .   ohybová tuhost prvku

M .   .   .    vypočtený ohybový moment M_r, M_c, M_s nebo M_u

κ .   .   .   . křivost prvku, vypočtená jako tangenta úhlu mezi rovinou přetvoření a podélnou osou prvku

Praktický příklad

Betonový průřez (třída betonu C30/37) je vyztužen výztuží ϕ32 (třída B500B). Zadaná kvazistálá kombinace je N = -730 kN a M_y = 557 kNm.

Rovina přetvoření pro charakteristický bod M_s je v IDEA RCS určena takto:

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN$$

$$\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}$$

$$E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}$$

Diagramy napětí-přetvoření použité pro výpočet

Vyztužení - M_r, M_c, M_s a M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

[1] Bradáč Betonové konstrukce, 1. část: Dimenzování prvků ze železového a prostého betonu, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, včetně změny NA vyd. A (2007) a revize 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerické metody při nelineárním návrhu betonu, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, online kniha http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010