A gyakorlatban a vasbeton és feszített beton szerkezetek diszkontinuitási régióinak méretezésére szabványosan a Strut-and-Tie (S&T) és a Stress Fields módszereket használják. A Compatible Stress Field Method (CSFM) ezen klasszikus elméletek kiterjesztésével jött létre, ami nagyfokú automatizálást tesz lehetővé, és megfelel a méretezési szabványnak. Egyszerűsége ellenére a módszer nagyon realisztikus leírást ad a beton szerkezet viselkedéséről mind a teherbírási határállapotban (ULS), mind a használhatósági határállapotban (SLS). A CSFM az IDEA StatiCa Detail-ban van implementálva.
1. ábra a) Fal nyílásokkal b) Nyírt fal c) Gerenda kivágott véggel és nyílásokkal d) Híd pillér e) Híd keresztfal
A beton szerkezetek keresztmetszeteinek méretezésére vonatkozó szabványos eljárások azokban a részekben alkalmazhatók, ahol a Bernoulli-Navier-féle síkalakváltozás-eloszlás hipotézise érvényes (B-régió). Azokat a helyeket, ahol ez a hipotézis nem érvényes, diszkontinuitási régióknak (D-régiók) nevezzük. Ide tartoznak a szerkezetek azon részei, ahol koncentrált terhek jelennek meg, vagy ahol hirtelen keresztmetszet-változás történik, például kivágott végek (3. ábra c), mélygerendák, nyílásokkal ellátott falak (1a, 1b ábra), vagy konzolok és cölöpsapkák. A híd mérnöki területén ezek pl. pillérfejek (1d ábra), keresztfalak (1e ábra), deviátorok stb.
1. Strut and Tie módszer
Az S&T modell definiálásakor az alapvető feltételezés, hogy a beton húzószilárdságát elhanyagoljuk. Egy egyszerű rácsos modell nyomott és húzott elemekből áll, amelyek az ULS viselkedést reprezentálják. Általánosságban ez nem összetett feladat, és egy alapvető S&T modell (2a ábra) definiálása nem okozhat gondot egy tapasztalt mérnöknek. Azonban még ennél az alapfeladatnál is a modell méretezési szabvány szerinti helyes értékelése fárasztó, kézi és iterációs folyamat lehet.
2. ábra a) S&T modell 1. opció b) S&T modell 2. opció c) S&T modell opció
A húzott elemeket, csomóterületeket és a nyomott rudakban lévő keresztirányú húzási alakváltozást is értékelni kell. Ha a modell nem felel meg az ellenőrzésen, az S&T geometriáját módosítani kell, vagy más S&T modellt kell választani (2b, 2c ábra). Ez gyakran azt eredményezi, hogy a statikus mérnök csak egyszer választja ki az S&T modell geometriáját, és csak a vasalást értékeli. Ez jelentős hibához vezethet. A modell kiválasztása mindig tapasztalati kérdés. Összetettebb szerkezeti részleteknél az S&T modell kiválasztása, amely megfelelően illik a szerkezet valós viselkedéséhez, nem feltétlenül olyan egyszerű, mint a fenti esetben. Továbbá az S&T csak a teherbírási határállapotok méretezésére alkalmas módszer. Nem teszi lehetővé a használhatósági határállapotok (alakváltozás, repedésképződés) méretezését, amelyek különösen fontos szempontok, főleg a jelentős fontosságú szerkezeteknél, mivel közvetlenül befolyásolják a szerkezet élettartamát.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
A CSFM egy modern nemlineáris módszer a D-régiók és azon elemek elemzésére, amelyek viselkedése síkfeszültségi, azaz 2D modellre egyszerűsíthető. Ugyanakkor még mindig a szabványok alapvető és biztonságos feltételezésén alapul: a beton nem vesz részt húzásban, és minden húzást a vasalásnak kell átvinnie. A Compatible Stress Field Method (CSFM) az S&T és a stress field módszerek fejlődése, amely megszünteti a fent említett fő hátrányaikat: a modellválasztás bizonytalanságait, az automatizálás nehézségét és a használhatósági határállapotok értékelésének lehetetlenségét.
3. ábra a) Síkalakváltozás b) Főfeszültség c) CSFM
A CSFM elve a vasbeton szerkezet alapvető síkelemének síkfeszültségi állapotán keresztül magyarázható. A 3a ábra a síkfeszültségi állapotban lévő alapvető 2D elemet mutatja, ahogyan azt minden rugalmasságtani és szilárdságtani tankönyvből ismerjük. Ez a szerkezet egy pontjában lévő feszültség, amelyet például lineárisan rugalmas analízissel, a végeselem-módszer (FEM) alkalmazásával kaphatunk meg. Az elemre egy vízszintes normálfeszültség σx, egy vertikális normálfeszültség σz, és egy nyírófeszültség τxz hat. Ezekből a feszültségekből meghatározhatók az úgynevezett főfeszültségek és azok θ szöggel definiált iránya (3b ábra). Az elemre ezután a σ1 húzási főfeszültség és a σ2 nyomási főfeszültség hat.
Hogyan fog kinézni a CSFM-mel elemzett ugyanazon elem alakváltozása? Az alakváltozást a 3c ábra mutatja. A nyomott beton a σ2 nyomási főfeszültség irányában jelenik meg. És egy σc2 feszültséggel jellemzett feszültségmező jön létre. Amint fentebb említettük, az alapvető feltételezés, hogy a beton nem vesz részt húzásban. Ezért a keresztirányú σ1 húzási főfeszültséget a beton nem viszi át, és az irányra merőlegesen repedés keletkezik. A σc1r feszültségnek ezért nullának kell lennie. A 2D elem tönkremenetelének elkerülése érdekében minden húzófeszültséget a vasalásnak kell átvinnie (a 3c ábrán kékkel jelölve), amelynek a számítási modell részét kell alkotnia.
Ha ezt a feszültségelemzést CSFM-mel folyamatosan a teljes 2D régióban elvégezzük, amelyet meg kell oldani, az eredmény egy folytonos nyomási mező a betonban, valamint húzási és nyomási feszültségek a vasalásban. A CSFM feszültségmező egyszerűsített grafikus ábrázolása a 4. ábrán látható. A beton és a vasalás kihasználtsági szintjei mellett az ábra a σc2 számított feszültségek eltérő irányait is jelzi a régiók mentén.
4. ábra Összesített eredmények az IDEA StatiCa Detailből
Egy részlet vagy szerkezet CSFM-mel történő elemzése a végeselem-módszeren alapul. A betont 2D fal elemekkel, a vasalást 1D szerkezeti elemekkel modellezzük (7. ábra). Az elemzés nem egy lépésben történik, mivel ez egy nemlineáris probléma. A terheket a számítás során növekményekben viszik fel, és a nemlineáris egyenletrendszer megoldását a Newton-Raphson módszerrel találjuk meg.
A fiktív elosztott repedések (ε1 az átlagérték) a főfeszültségek irányára merőlegesen "keletkeznek", amely irány a nemlineáris számítás során változhat, mivel az elem minden terhelési növekménynél "fokozatosan berepedezik". Összefoglalva, egy fiktív feszültségmentes, forgó repedést vesznek figyelembe.
A CSFM-mel végzett FEM megoldás eredménye egy kompatibilis feszültségmező (azaz a beton a modellben nem törik szét egyedi, egymástól függetlenül működő nyomott rudakra), és az alakváltozási állapot, amelyek folytonosak a megoldandó teljes 2D tartományon. Ez jelentős előny a klasszikus S&T megközelítésekhez képest, és lehetővé teszi a számítási modell automatizálását és finomítását, ahogyan az a következő bekezdésekben is leírásra kerül.
5. ábra A beton lágyulásának elve
A CSFM egyszerű megfogalmazása lehetővé teszi a beton nyomás alatti szabványos, egytengelyű, parabola-téglalap alakú feszültség-alakváltozás diagramjának alkalmazását a méretezési szabvány szerint. Mint jól ismert, a beton nyomószilárdsága csökken, amikor a beton keresztirányú repedések miatt károsodik (5. ábra). Ezt az úgynevezett nyomási lágyulás hatást a módszer a beton effektív nyomószilárdságának automatikus figyelembevételével tartalmazza.
A keresztirányú ε1 húzási alakváltozások szintje alapján a kc csökkentési tényezőt határozzuk meg, és a beton feszültség-alakváltozás diagramját ennek megfelelően módosítjuk (5. ábra). Mivel az alakváltozási mező a teljes szerkezetben ismert, a beton effektív nyomószilárdsága automatikusan kiszámítható az egyes szakaszokban, a ε1 keresztirányú húzási alakváltozások helyi szintjétől függően.
6. ábra A húzási merevítő hatás elve
Továbbá a CSFM figyelembe veszi a repedések közötti húzott beton merevítő hatását a vasalásra, az úgynevezett húzási merevítő hatást (tension stiffening). A számítási modellben az átlagos vasalási alakváltozási arányt εm használjuk. Ekkor a vasalás feszültség-alakváltozás diagramja módosul (6. ábra). Ez lehetővé teszi a repedésekkel károsított vasbeton szerkezet merevségének realisztikus ábrázolását. Ugyanakkor továbbra is igaz, hogy a beton húzószilárdsága nem járul hozzá a végső teherbírásához. A repedésekben a vasalásban lévő maximális σsr feszültség a méretezés szempontjából kritikus (6. ábra).
A CSFM a méretezési szabványokban definiált szokásos egytengelyű materiálmodelleket (feszültség-alakváltozás diagramokat) használja. Ezután a szokásos megközelítést, a részleges biztonsági tényezők módszerét alkalmazzuk az ULS értékeléséhez. A módszer egyszerűsége alkalmassá teszi a mérnöki gyakorlat számára, és megfelel a méretezési szabványoknak.
Habár ez egy nemlineáris FEM analízis, a statikus mérnöknek nem kell további materiáljellemzőket és beton karakterisztikákat megadnia a számításhoz, amelyek a méretezés fázisában akár nem is állnak rendelkezésre, és amelyek szükségesek, pl. a törésmechanikán alapuló nemlineáris FEM analízisekhez. Amint már jeleztük, a CSFM analízis egyik fő előnye, a teherbírási határállapotok mellett, a használhatósági határállapotok: elmozdulások, feszültségkorlátozások, és különösen a repedéstágasság értékelésének képessége.
7. ábra Példa a végeselem-modell megjelenítésére az IDEA StatiCa Detailben
(7. ábra) A CSFM-ben a FEM modell több típusú végeselemből áll:
- 1D elem axiális merevséggel a vasalás számára
- 2D izoparametrikus elem a beton számára
- Végrugók a vasalás lehorgonyzási modelljéhez, végkezeléssel
- Speciális 2D elem a vasalás és a beton közötti tapadás modellezéséhez
- Merev és interpolációs kényszerfeltételek (Multi-Point Constraints, MPC) a tapadási elemek és a beton között
Ha a méretezett vasalás megakadályozza az elem rideg tönkremenetelét, kimutatták, hogy a CSFM nagyon jó előrejelzéseket ad a szerkezet viselkedéséről és végső teherbírásáról, a megfogalmazás egyszerűsége ellenére. Más szóval, a módszer nem alkalmas például olyan gerendák méretezésére keresztirányú nyíróvasalás nélkül, amelyek potenciálisan rideg viselkedést mutatnak. A módszer ellenőrzéseit, beleértve a kísérleteket is, az [1] hivatkozásban találhatók. A módszer részletesebb leírása túlmutat a cikk keretein, és megtalálható a Theoretical Background dokumentumban is.
Nyilvánvaló, hogy a CSFM elvei általánosak, így alkalmazása nem korlátozódik a D-régiókra, hanem teljes szerkezeti elemek, pl. előregyártott gerendák modellezésére is használható, ahol az elem síkbeli 2D modellre egyszerűsíthető. A módszert és annak szoftveres implementációját (IDEA StatiCa Detail) is kiterjesztették, lehetővé tették a feszített és utófeszített vasalás megadását.
3. Példa pillérfej méretezésre
A CSFM gyakorlati alkalmazását a híd pillérfejének méretezése mutatja be a 8. ábrán. Ez egy három nyílású, 30,0 m, 42,0 m és 30,0 m hosszú folytatólagos híd második pillére. A vasbeton pillér feje C40/50 betonból készül, és vastagsága (a híd hossz-irányában) 2,0 m.
8. ábra Pillérfej: a) Összesített méretezés; b) Nyomófeszültség a betonban ULS-ben; c) Húzófeszültség a vasalásban ULS-ben; d) Repedéstágasság SLS-ben
A pillérfej tetején elsőként egy B500 minőségű, 20xϕ28+20xϕ25 vasalású keresztgerendát – a felső négy réteget – méreteztünk. A 8a ábra egy összesített méretezést mutat a teherbírási határállapotban, bemutatva a beton nyomófeszültségeit, a nyomófeszültségek irányait, és a vasalásban lévő feszültségeket. A beton és a vasalás részletesebb feszültségeloszlását a 8b és 8c ábrák dokumentálják. A keresztirányú vasalás éppen a folyáshatár alatt van, és a beton feszültségei (és a relatív alakváltozások) is kielégítők az ULS-ben. Azonban a repedéstágasság-számítás eredménye (8d ábra) azt mutatja, hogy a méretezés nem felel meg az SLS-ben: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. A korlátozó repedéstágasság eléréséhez szükséges a keresztgerenda vasalásának növelése 20xϕ32+20xϕ28-ra. wlim = 0,2 mm esetén (pl. sóterhelést generáló út közelében lévő pillér, XF2 környezeti hatásosztály), a keresztgerenda vasalását 24xϕ32+24xϕ28-ra kellene növelni.
Összefoglalás
A CSFM megfelel a mérnöki gyakorlatnak, mivel egyszerű, méretezési szabványban definiált materiálmodelleket használ. A teherbírási határállapotok mellett lehetővé teszi a használhatósági határállapotok méretezését is. Ezek értékelése korábban nehezen volt elképzelhető S&T modellek alkalmazásával. A módszer IDEA StatiCa Detailben történő implementálásával lehetővé válik a szerkezet viselkedésének realisztikus megragadása, valamint a diszkontinuitási régiók és nagyobb összeállítások hatékony és biztonságos méretezése és értékelése.
A CSFM-et főként Walter Kaufmann professzor munkája révén fejlesztették ki, aki a Svájci Szövetségi Műszaki Egyetem (ETH) Zürich Szerkezetépítési Tanszékének vezetője. Ő és csapata is ellenőrizte a módszert és annak szoftveres implementációját.
Irodalom
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Szerző
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.
